Enunciado

Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

f x ,   y = x 2 + y 2 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0 , y = 0 , y + 2 x = 2 no primeiro quadrante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.

Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado limitado D :

  1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .
  2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .
  3. O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função f dada no enunciado:

f x = 2 x

f y = 2 y

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

2 x = 0         ( I ) 2 y = 0     ( I I )

Da equação (I), temos:

x = 0

E na equação (II):

y = 0

Sendo assim, o único ponto crítico existente é 0 ,   0 . O valor de f neste ponto é:

f 0 ,   0 = 0

Passo 2

No ponto (b), consideramos um lado do triângulo de cada vez, que é constituído por 3 segmentos de reta L 1 , L 2 e L 3 , de acordo com a Figura:

Em L 1 , temos y = 0 . A função:

f x ,   y = f x ,   0 = x 2

f x ,   y = x 2 + y 2 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0 , y = 0 , y + 2 x = 2 no primeiro quadrante.

Pode ser considerada uma função x definida no intervalo fechado 0 ≤ x ≤ 1 . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:

  • x = 0 onde f 0 ,   0 = 0 ;
  • x = 1 onde f 1 ,   0 = 1 .
  • E nos pontos interiores onde f ' x ,   0 = 0 , o único ponto interior é:

    f ' 0 ,   y = 2 x = 0 → x = 0

    Que é o mesmo ponto encontrado anteriormente 0 ,   0 .

    Passo 3

    No segmento L 2 , temos x = 0 :

    f x ,   y = f 0 ,   y = y 2

    Sabemos pela simetria de f em x e y , e que 0 ≤ y ≤ 2 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 0 ,   0 = 0 ;
  • f 0 ,   2 = 4 .

Passo 3

Já levamos em consideração os valores de f nas extremidades de L 3 , assim precisamos somente examinar os pontos interiores de L 3 . Com y + 2 x = 2 , temos:

y = 2 - 2 x

f x , y = f x ,   2 - 2 x = x 2 + 2 - 2 x 2

= x 2 + 4 - 8 x + 4 x 2

= 5 x 2 - 8 x + 4

Fazer f ' x ,   x = 10 x - 8 = 0 , resulta:

10 x = 8

x = 4 5

Nesse valor de x :

y = 2 - 2 ∙ 4 5 = 2 5

Então o ponto 4 5 , 2 5 é:

f 4 5 , 2 5 = 4 5

Então, agora conseguimos relacionar os candidatos: 0 , 4 5 , 1 e 4 . O mínimo é 0 , que f assume em 0 ,   0 e o máximo é 4 , que f assume em 0 ,   2 .

Resposta

  • Mínimo absoluto: 0 em 0 ,   0 ;
  • Máximo absoluto: 4 em 0 ,   2 .

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