Enunciado

Você opera uma agência de excursões que pratica os seguintes preços:

$   200 por pessoa, caso 50 pessoas (o número mínimo necessário para fechar um grupo) participem da excursão.

• Para cada pessoa a mais, até um máximo de 80 pessoas, o preço é reduzido em   $   2 .

A realização da excursão custa $   6000 (custo fixo) mais $   32 por pessoa. Quantas pessoas são necessárias para maximizar o lucro?

Passo 1

Então galera, para começarmos a pensar em como maximizar o lucro dessa agência, primeiro temos que encontrar uma expressão do lucro, não é mesmo? Chamando de x quantidade de pessoas a mais do que as 50 originais e utilizando os dados que a questão nos cede, teremos:

l x = 50 + x 200 - 2 x - 32 50 + x - 6000

Opaaa, pera aí! Da onde saiu essa expressão? Vamos por partes:

O termo ( 50 + x ) representa o fixo de pessoas mais a quantidade de pessoas x que pode ter na viagem. Esse termo aparece multiplicado por ( 200 - 2 x ) porque 200 é o preço para cada pessoa e, a cada pessoa a mais ( x ), o preço é reduzido em $   2 , é por isso que vem acompanhado com o sinal de negativo também. O prejuízo da agência é o custo de   $   32 por pessoa acrescido dos $   6000 que é um valor fixo!

Passo 2

Ufa! Agora que encontramos e demos significado para a expressão do passo 1, podemos começar a pensar em maximização. Antes disso, vamos simplificar a expressão, se liga:

l x = 200.50 - 2 x . 50 - 200 x - 2 x 2 - 32.50 - 32 x - 6000

l x = - 2 x 2 + 68 x + 2400

Para encontrarmos o máximo dessa função, vamos encontrar seus pontos críticos derivando a mesma e igualando a zero, como manda o figurino! Fazendo isso, teremos:

l ' x = - 4 x + 68

- 4 x + 68 = 0

x = 17

Para confirmarmos se esse valor é um máximo de fato, vamos derivar novamente a equação do lucro (derivada segunda) para ver a concavidade do gráfico dessa função:

l ' ' x = - 4

Como a derivada segunda deu um valor menor do que zero então, de fato, 17 é um máximo. Portanto, para maximizar o lucro, a quantidade necessária de pessoas será:

50 + 17 = 67   p e s s o a s

Resposta

67   p e s s o a s

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