Enunciado

(a) Mostre que a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n 2 é convergente.

(b) Encontre um limitante superior para o erro na aproximação s ≈ s n .

(c) Qual é o menor valor de n tal que esse limitante superior seja menor que 0,05 ?

(d) Encontre s n para esse valor de n .

Passo 1

(a) Galera, temos que f x = ln ⁡ x x 2 é uma função contínua e positiva para x > 1 . Também temos:

f ' x = 2 ln ⁡ x ( 1 - ln ⁡ x ) x 3

Se x > e , então f ' x < 0 , o que preenche os requisitos para podermos aplicar o Teste da Integral. Se usarmos um CAS, obteremos:

∫ 1 ∞ ln ⁡ x x 2 d x = 2

Então a série realmente converge.

Passo 2

(b) Já que o Teste da Integral é aplicável, podemos escrever:

R n ≤ ∫ n ∞ ln ⁡ x x 2 d x = ln ⁡ n 2 + 2 ln ⁡ n + 2 n

Passo 3

(c) Usando um CAS, podemos resolver a seguinte inequação:

ln ⁡ n 2 + 2 ln ⁡ n + 2 n < 0,05 ⇒ n ≥ 1373

Passo 4

(d) Novamente, usando um CAS, podemos obter a soma dos 1373 primeiros termos:

s 1373 ≈ 1,94

Resposta

(b) ln ⁡ n 2 + 2 ln ⁡ n + 2 n

(c) 1373

(d) 1,94

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