Enunciado

Voltagem em um capacitor sendo descarregado. Suponha que a eletricidade de um capacitor esteja escapando por seus terminais a uma taxa proporcional à voltagem Ve que, se t for

medido em segundos,

d V d t = - 1 40   V

Determine V nessa equação, usando V 0 para indicar o valor de V quando t t = 0 . Quanto tempo a voltagem levará para atingir 10 % de seu valor inicial?

Passo 1

Inicialmente para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de V e do outro todo mundo que depende de t .

d V d t = - 1 40   V ⇒ 1 V d V = - 1 40 d t

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 V d V     = ∫ - 1 40 d t   ⇒ ln ⁡ V + C 1 = - 1 40 ∫ 1   d t = - 1 40 t + C 2

Portanto, a solução da EDO é da forma,

∫ 1 V d V     = ∫ - 1 40 d t   ⇒ ln ⁡ V + C 1 = - 1 40 t + C 2

Assim,

ln ⁡ V = - 1 40 t + C

Onde, C = C 2 - C 1

Como desejamos encontrar apenas V , então

ln ⁡ V = k t + C ⇒ e ln ⁡ V = e - 1 40 t + C ⇒ V = e C . e - 1 40 t

Considerando e C = V 0 teremos,

V = V 0 e - 1 40 t

Passo 2

Como desejamos determinar o tempo que a voltagem levará em levará para atingir 10 % de seu valor inicial, ou seja, queremos saber o valor de t   quando   V = 0,1 V 0 .Então,

0,1 V 0 = V 0 e - 1 40 t ⇒ 0,1 V 0 1 V 0   = e - 1 40 t

⇒ e - 1 40 t = 0,1 ⇒ l n ⁡ ( e - 1 40 t ) = l n ⁡ ( 0,1   )

⇒ - 1 40 t = ln ⁡ 0,1   ⇒ t = - 40 l n ⁡ ( 0,1   )

⇒ t ≈ 92,1 s  

Resposta

t ≈ 92,1 s  

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