Determine o comprimento da curva y = x^2, 0 <= x <= raiz(3)/2 .

Passo 1

Vamos usar a fórmula do comprimento de curva, que é dada por:

L =   ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Então, vamos calcular primeiro a derivada da função, e depois aplicá-la na fórmula no intervalo pedido...

f ' x = 2 x  

Então, calculamos o comprimento assim:

L =   ∫ 0 3 2 1 + ( 2 x ) 2 d x =   ∫ 0 3 2 1 + 4 x 2   d x  

Passo 2

Agora, vamos fazer umas manipulações algébricas para usar as fórmulas de integração:

∫ 0 3 2 1 + 4 x 2   d x   = ∫ 0 3 2 4 1 4 + x 2 d x

2 ∫ 0 3 2 1 4 + x 2 d x

Usando a fórmula de integração da tabela de integrais, ficamos com:

2 x 2 1 4 + x 2 + 1 4 1 2 ln ⁡ x + 1 4 + x 2 3 2 0

Daí a gente volta pra forma...

x 2 1 + 4 x 2 + 1 4 ln ⁡ x + 1 2 1 + 4 x 2 0 3 2

Agora substituímos os valores:

3 4 1 + 4 3 4 + 1 4 ln ⁡ 3 2 + 1 2 1 + 4 3 4 - 0 + 1 4 ln ⁡ 0 + 1 2

Resolvemos...

3 4 2 + 1 4 ln ⁡ 3 2 + 1 + 1 4 ln ⁡ 2  

Então...

L = 3 2 + 1 4 ln ⁡ 3 + 2  

Resposta

L = 3 2 + 1 4 ln ⁡ 3 + 2  

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