Enunciado

Se r → do exercício 51 é uma função vetorial, mostre que r → ' ' t + ω 2 r → t = 0 .

Passo 1

A função r → do exercício 51 é: r → t = a ^ cos ⁡ ω t + b ^ sin ⁡ ω t

Precisamos calcular quem é r → ' ' ( t ) , desta forma vamos calcular a segunda derivada de r → t , como esta é uma função vetorial precisamos calcular a derivada de cada componete, que neste caso são a ^   e   b ^ .

Derivada da componente a ^ :

d d t cos ⁡ ω t = - ω sin ⁡ ω t

d d t - ω sin ⁡ ω t = - ω 2 cos ⁡ ω t

Derivada da componente b ^ :

d d t sin ⁡ ω t = ω cos ⁡ ω t

d d t ω cos ⁡ ω t = - ω 2 sin ⁡ ω t

Então r → ' ' ( t ) é:

r → ' ' t = - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ - ω 2 sin ⁡ ω t b ^  

Passo 2

Agora temos tudo que precisamos para poder calcular r → ' ' t + ω 2 r → t .

r → ' ' t + ω 2 r → t = - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ - ω 2 sin ⁡ ω t b ^ + ω ² cos ⁡ ω t a ^ + ω ² sin ⁡ ω t b ^

Mas a soma vetorial é a soma de cada componente, então:

r → ' ' t + ω 2 r → t = ( - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ + ω ² cos ⁡ ω t a ^ ) + ( - ω 2 sin ⁡ ω t b ^ + ω ² sin ⁡ ω t b ^ )

r → ' ' t + ω 2 r → t = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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