Enunciado

Demonstre a Propriedade 5 dos vetores algebricamente para n = 3 . Use então a semelhança de triângulos para fazer uma demonstração geométrica

Passo 1

Queremos mostrar algebricamente que c a + b = c a + c b

Então vamos dizer que a = a 1 , a 2 , a 3 ,     b = b 1 , b 2 , b 3 e c é um número qualquer.

Para mostrar o que queremos, podemos pensar na estratégia de desenvolver um dos lados da equação, depois o outro e no fim concluir que as duas respostas são iguais.

Começaremos fazendo c a + b

c a + b = c a 1 , a 2 , a 3 + b 1 , b 2 , b 3

= c ( a 1 + b 1 ,   a 2 + b 2 ,   a 3 + b 3 )

= ( c a 1 + c b 1 ,   c a 2 + c b 2 ,   c a 3 + c b 3 )

Beleza! Agora fazemos c a + c b

= c a 1 , a 2 , a 3 + c ( b 1 , b 2 , b 3 )

= ( c a 1 ,   c a 2 , c a 3 ) + ( c b 1 , c b 2 , c b 3 )

= ( c a 1 + c b 1 ,   c a 2 + c b 2 ,   c a 3 + c b 3 )

Assim, conseguimos mostrar que c a + b = c a + c b

Passo 2

Agora vamos demonstrar a mesma coisa, só que de forma geométrica.

Para isso, pegamos um triângulo com um lado igual ao vetor a e outro lado igual ao vetor b , logo, o terceiro lado será a soma a + b .

Se multiplicarmos os lados a e b por uma constante c , notamos que a soma vetorial a + b deve ser multiplicada pela mesma constante para completar o triângulo:

Assim, concluímos que c a + b = c a + c b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam A 2,1 , 3 , B m , 3,5 e C 0,4 , 1 vértices de um triângulo (Figura 2.18 ) responda:Calcular a medida da projeção do cateto A B sobre a hipotenusa B C .
Determinar os vetores projeção de v → = 4 i → - 3 j → + 2 k → sobre os eixos cartesianos x , y e z .
Para cada um dos pares de vetores u → e v → , encontrar a projeção ortogonal de v → sobre u → e decompor v → como soma de v → 1 com v → 2 , sendo v → 1 | | u → e v → 2 ⊥ u → . u → = 3,1 , - 3 e v → =
Determinar o valor de k para que os vetores u → = ( - 2,3 ) e v → = ( k , - 4 ) sejam:paralelos
Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores:b)u → = ( 1 , - 1 ) e v → - ( - 4 , - 2 )