Enunciado

Se |f (x)| <= k |x - a| para todo x != a , onde k é uma constante prove que underset(x -> a)(lim) f (x) = 0

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos fazer a seguinte afirmação:

0 <= |f (x)| <= k |x - a|

Passo 2

Agora vamos tirar o módulo de |f (x)| em toda a expressão.

- k |x - a| <= f (x) <= k |x - a|

Passo 3

Agora apliquemos limite de x tendendo a a em toda a expressão e resolvemos os limites.

underset(x -> a)(lim) - k |x - a| <= underset(x -> a)(lim) f (x) <= underset(x -> a)(lim) k |x - a|

- k ( 0 ) <= underset(x -> a)(lim) f (x) <= k ( 0 )

0 <= underset(x -> a)(lim) f (x) <= 0

Resposta

Como underset(x -> a)(lim) - k |x - a| que é menor que underset(x -> a)(lim) f (x) e underset(x -> a)(lim) k |x - a| que é maior que underset(x -> a)(lim) f (x) convergem para 0 , então pelo teorema do “sanduíche” underset(x -> a)(lim) f (x) é igual 0 .

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