Enunciado

Se 1 ≤ f x ≤ x 2 + 2 x + 2 para todo x , encontre lim x → - 1 ⁡ f ( x ) .

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para mais uma resolução? Então bora!!!

Aqui a gente precisa encontrar o limite de uma função f ( x ) , que é limitada. Para situações como essas nós temos o teorema do confronto.

Iremos utilizar o teorema do confronto, que em expressões matemáticas é assim:

f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x )

Se

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

E

lim x → a ⁡ h x = L

podemos afirmar que

lim x → a ⁡ g ( x ) = L

Basicamente, iremos calcular o limite de f ( x ) calculando os limites das funções que o limitam.

Passo 2

Como o enunciado nos deu a nossa função em um intervalo, vamos aplicar o limite quando x → - 1 em toda a desigualdade e vamos obter

lim x → - 1 ⁡ 1 ≤ l i m x → - 1 f x ≤   l i m x → - 1   x 2 + 2 x + 2

Se os limites das extremidades tiverem valores iguais, podemos concluir pelo teorema do sanduíche que o limite de f ( x ) quando x → - 1 terá esse mesmo valor.

Calculemos separadamente cada um dos limites para verificar se seus valores são iguais. Assim, teremos:

lim x → - 1 ⁡ 1 = 1

l i m x → - 1   x 2 + 2 x + 2 = l i m x → - 1 x 2 + l i m x → - 1 2 x + l i m x → - 1 2

l i m x → - 1   x 2 + 2 x + 2 = - 1 2 + 2 ⋅ - 1 + 2

l i m x → - 1   x 2 + 2 x + 2 = 1  

Veja então que como os limites que limitam nossa função são iguais, podemos dizer que:

l i m x → - 1 f x = 1

Resposta

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