Operações com Conjuntos

Teoria Completa

FAAAAALA AÍ!!! Agora que tu já está começando a se entender com conjuntos, eu vim te mostrar que nós temos como relacionar os conjuntos entre si!

“Mas como é isso?”

Calma, meu anjo, vamos ver isso agora :D

União, Interseção e Diferença de Conjuntos

Bom, imagina que eu quero criar um conjunto que tenha os números que são múltiplos de 3 ou que sejam múltiplos de 5 . Isso pode ser expresso como uma UNIÃO entre dois conjuntos: um conjunto dos múltiplos de 3 e um conjunto dos múltiplos de 5 .

Normalmente na construção de um conjunto, quando falamos de OU, estamos falando de união. A notação é a seguinte:

A ∪ B

No diagrama de Venn:

A região vermelha representa a operação A ∪ B .

Numericamente seria o seguinte:

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   B = 4 ,   5 ,   6 ,   7

O conjunto união será:

A ∪ B = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7

Não se esqueça de colocar uma vez só cada termo, ainda que eles apareçam mais vezes!

Agora imagina que eu quero um conjunto que tenha os números que são múltiplos de 3 e 5 . O que temos dessa vez é uma INTERSEÇÃO entre dois conjuntos: um conjunto com os múltiplos de 3 e outro com os múltiplos de 5 .

Normalmente na construção de um conjunto, quando falamos de E, estamos falando de interseção. A notação é a seguinte:

A ∩ B

No diagrama de Venn:

A região vermelha representa a operação A ∩ B . A grosso modo, interseção é o conjunto dos elementos em comum.

Numericamente seria o seguinte:

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   B = 4 ,   5 ,   6 ,   7

O conjunto interseção será:

A ∩ B = { 4 }

MASSSSSS, pode acontecer de os conjuntos não terem termos em comum, a vida é assim mesmo hahaha

A = 1 ,   2 ,   3   e   B = 4 ,   5 ,   6

Nesse caso:

A ∩ B = ∅ = {   }

E dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.

Agora eu quero criar outro conjunto: quero um conjunto que tenha todas as cores, mas que não tenha aquelas que começam com a letra “a”.

Isso é o que chamamos de diferença de conjuntos: eu pego um conjunto que contenha todas as cores e subtraio um conjunto que tenha as cores que começam com a letra “a”.

Normalmente na construção de conjuntos, quando temos RESTRIÇÃO, temos uma diferença de conjuntos. A notação é:

A - B   o u   A \ B

No diagrama de Venn:

A região vermelha representa a operação A - B .

Numericamente seria o seguinte:

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4   e   B = 4 ,   5 ,   6 ,   7

O conjunto restrição será:

A - B = A \ B = 1 ,   2 ,   3

Eu pego tudo que tem em A e tiro aquilo que está em B também.

Complementar e número de elementos de um conjunto

Bom, para começar, quero criar um conjunto que tenha todos os números menos os números pares. A gente acabou de ver que isso é uma diferença de conjuntos, né?

Eu não menti, isso é verdade, mas também é verdade dizer que se trata de complementar de um conjunto.

“Ahn??? Mas o que é isso?”

Complementar de um conjunto é tudo o que NÃO é o próprio conjunto. No meu caso, eu estaria pegando o complementar do conjunto dos números pares!

Quando falamos de diferença de conjuntos, também estamos falando de complementar!

A notação é a seguinte:

A C = t u d o   a q u i l o   q u e   n ã o   é   o   A

No diagrama de Venn

Lembrando que isso é para quando estamos considerando apenas o conjunto A e um conjunto universo U .

Mas se estivéssemos falando apenas de A e B , teríamos o seguinte no diagrama de Venn:

E isso em termos de complementar seria:

A - B = C A B = B C

Lê-se complementar de B em relação a A ou apenas complementar de B .

Vamos só dar uma passadinha rápida em número de elementos de um conjunto ou também conhecida e temida por cardinalidade de um conjunto. Bom, isso é apenas um número que pegamos para quantificar os elementos de um conjunto!

A = 1 ,   2 ,   3 ,   4

n A = c a r d A = 4

Perceba que temos algumas notações, como está aqui em cima, essas são as mais comuns!

Vou te dar uns truques que aparecem às vezes em algumas questões:

n A ∪ B = n A + n B - n ( A ∩ B )

Vou te explicar só essa fórmulinha e o resto você segue o mesmo raciocínio, ok?

Vamos pensar assim: pra eu saber o número de elementos da união de dois conjuntos, olhando pro diagrama de Venn, temos a seguinte situação:

Então, eu posso somar a quantidade de elementos em A e somar a quantidade de elementos em B . Só que perceba que a gente conta a parte do meio (a interseção) duas vezes, então subtraímos isso para ficar certinha a quantidade.

Outra fórmula:

n A ∪ B ∪ C = n A + n B + n C - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n ( A ∩ B ∩ C )

Propriedades de união e interseção

Dados três conjuntos A ,   B   e   C , as seguintes propriedades são válidas:

Propriedade comutativa:

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Propriedade associativa:

A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C

A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C

Propriedade distributiva:

A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ A ∩ C

A ∪ B ∩ C = A ∪ B ∩ A ∪ C

Se A está contido em B   ( A ⊂ B ) :

A ∪ B = B     ⇔   A ∩ B = A

A ∪ C ⊂ B ∪ C

A ∩ C ⊂ B ∩ C

Leis de Morgan:

A ∪ B C = A C ∩ B C

A ∩ B C = A C ∪ B C

Expandir

Exercício Resolvido #1

Sejam dados os conjuntos X = { 0 } , Y = { 0 ,   1 } e Z = { 0 ,   1 } . Determine se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:

a   X ∈ Z

b   X ⊂ Z

c   X ∩ Z ≠ ∅

d   X ∩ Y ≠ ∅

e   Y ⊂ Z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, bora avaliar o que é dito em cada letra. Começando do começo hahahah

( a )

Dá uma olhada na afirmação:

X ∈ Z

Primeiramente, se liga que a gente tem ali um símbolo e isso remete a um ELEMENTO pertencer a um CONJUNTO. Show. Olha quem é o Z :

Z = { 0 , 1 }

Os elementos de Z são { 0 } e 1 . Exatamente!!! Temos um conjunto { 0 } como elemento! E esse conjunto { 0 } é justamente o X , logo, é VERDADE que X ∈ Z .

Passo 2

( b )

Vamos ver essa aqui agora:

X ⊂ Z

Aqui temos essa afirmação que diz que o conjunto { 0 } é um subconjunto de Z = { 0 ,   1 } . Isso não é verdade, pois um dos subconjuntos seria { 0 } e isso não é a mesma coisa.

Pensa no seguinte, imagina que não estamos falando do { 0 } , mas do 1 : nessa afirmação seria como se ele dissesse que 1 é subconjunto de Z e isso não verdade, pois 1 nem é conjunto hahaha

A mesma ideia serve pro { 0 } , você não pode pegar um ELEMENTO do conjunto e dizer que ele é subconjunto! Logo, é FALSA.

Passo 3

( c )

Show de bola! Agora vamos nessa:

X ∩ Z ≠ ∅

Bom, aqui ele diz que a interseção do conjunto X com o conjunto Z não é vazia, ou seja, existem elementos em comum nos dois conjuntos! Vamos ver se é verdade:

X = 0

Z = { 0 ,   1 }

Aqui tem uma casca de banana doida pra que você escorregue nela! Hahaha

O único elemento de X é o 0 e os elementos de Z são { 0 } e 1 . Perceba que não existem elementos em comum, ou seja, a interseção é vazia sim! O pulo do gato é você perceber que 0 e { 0 } são diferentes! Logo, FALSA.

Passo 4

( d )

Dá uma olhada na afirmação:

X ∩ Y ≠ ∅

Bom, aqui ele diz que a interseção do conjunto X com o conjunto Y não é vazia, ou seja, existem elementos em comum nos dois conjuntos! Vamos ver se é verdade:

X = 0

Y = { 0 ,   1 }

Agora simmmmm! O único elemento de X é o 0 , e os elementos de Y são 0 e 1 . Logo,

X ∩ Y = { 0 } ≠ ∅

VERDADE.

Passo 5

( e )

Vejamos esta afirmação:

Y ⊂ Z

Isso quer dizer que Y é um subconjunto de Z . Dá uma olhada nos dois:

Y = 0 ,   1

Z = 0 ,   1

Y jamais seria um subconjunto de Z pois, primeiramente, Y nem tem os mesmos elementos de Z . Logo, FALSA.

Resposta

a   V

b   F

c   F

d   V

e   F

Exercício Resolvido #2

Sejam x e y números tais que os conjuntos { 0 ,   7 ,   1 } e { x ,   y ,   1 } são iguais. Então podemos afirmar que:

a   x = 0 ,   y = 5

b   x + y = 7

c   x = 0 ,   y = 1

d   x + 2 y = 7

e   x = y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Cara, para dois conjuntos serem iguais, é necessário que eles tenham exatamente OS MESMOS elementos. Olha o nosso conjunto “incógnita” (vou chamar assim esse bonito):

x , y , 1

O único elemento que ele tem em comum com o conjunto dado é o 1 .

Então, a gente precisa que exista um 0 e um 7 ali no x ou y . Mas como a gente sabe quem é 0 e quem é 7 ? Seria x = 0 e y = 7 ? Ou talvez o contrário? Nunca saberemos hahaha

Passo 2

Vamos olhar pro conjunto dado:

0 ,   7 ,   1

E o nosso:

x ,   y ,   1

Lembrando que a ordem num conjunto não altera em nada os elementos. O conjunto 1 ,   2 é igual ao conjunto { 2 ,   1 } .

Beleza, acendeu uma luz aqui! Eu não posso afirmar nada, mas sei que a soma de todos os termos tem que ser igual, então:

0 + 7 + 1 = x + y + 1

Isso nos diz que:

x + y = 7

E faz sentido né? Se você olhar pras opções, vai ver que elas não fazem sentido algum.

Passo 3

Começando pela letra ( a )   x = 0 ,   y = 5

Isso é falso, pois se y = 5 , os conjuntos não seriam iguais.

c   x = 0 ,   y = 1

Isso também é falso, pois se y = 1 , os conjuntos não seriam iguais.

d   x + 2 y = 7

Isso é falso, pois a relação correta foi a que encontramos.

e   x = y

Isso também é falso, pois suponha que x = y = 1 , os conjuntos não seriam iguais!

Resposta

L e t r a   ( b )

Exercício Resolvido #3

No diagrama de Venn-Euler abaixo, cada região foi denominada com um número entre parênteses indicar as regiões que determinam:

a   A ∩ B

b   A ∪ B

c   A - B

d   A C

e   B C

f   A ∪ B C

g   A ∩ B C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Amigx, se prepara porque você vai ver muito essa figura aqui no exercício hahaha BORA LÁ!

a

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A ∩ B

Ou seja, a área comum do diagrama entre A e B , look at this:

Concorda comigo que é área de número 1 ? É a parte que pertence tanto ao conjunto A quanto ao B , AO MESMO TEMPO.

Passo 2

b

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A ∪ B

Ou seja, a área toda do diagrama que representa o conjunto A e o B unidos, take a look:

Concorda comigo que são as áreas de números 1 ,   2   e   3 ? São as partes que pertencem ao conjunto A , ou ao B ou aos dois.

Passo 3

c

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A - B

Ou seja, a área toda do diagrama que representa o conjunto A e aí a gente tira tudo que é do conjunto B também, take a look:

Concorda comigo que é a área de número 2 ? É parte que pertence somente ao conjunto A , sem nada do que tinha em comum com B . Basicamente, é você tirar a interseção dos dois, que na figura era o número 1 .

Passo 4

d

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A C

Já que estamos tratando de complementar, vale dizer que o complementar de um conjunto é tudo aquilo que NÃO é o próprio conjunto. Na imagem, tenta ver quem seria o complementar de A .

O que temos que pegar aqui são todas as áreas que NÃO são do conjunto A , que no caso são as áreas de números 3 e 4 .

Passo 5

e

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

B C

Já que estamos tratando de complementar, vale dizer que o complementar de um conjunto é tudo aquilo que NÃO é o próprio conjunto. Na imagem, tenta ver quem seria o complementar de B .

O que temos que pegar aqui são todas as áreas que NÃO são do conjunto B , que no caso são as áreas de números 2 e 4

Passo 6

f

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

( A ∪ B ) C

Agora que você já está cansado de ver o complementar, decidi dar uma esquentadinha. Bora tentar fazer esse? Faremos de duas formas. Primeiro, vamos resolver de dentro para fora, vamos ver quais são as áreas da união desses conjuntos:

São as áreas 1 ,   2   e   3 . Agora vamos tomar o complementar delas, ou seja, vamos pegar a área que NÃO seja ela, ok? Nesse caso é a área 4 .

Agora faremos de outra forma, usando a propriedade do complementar:

( A ∪ B ) C = A C ∩ B C

Bom, já vimos que os números que representam o complementar de A são 3   e   4 e os números que representam o complementar de B são 2   e   4 .

O número que aparece nos dois é aquele que representa a área de interseção dos complementares. No caso, o número 4 .

Passo 7

g

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

( A ∩ B ) C

Agora que você já está cansado de ver o complementar, decidi dar uma esquentadinha. Bora tentar fazer esse? Faremos de duas formas. Primeiro, vamos resolver de dentro para fora, vamos ver quais são as áreas da interseção desses conjuntos:

É a área 1 . Agora vamos tomar o complementar dela, ou seja, vamos pegar a área que NÃO seja ela, ok? Nesse caso é a área representada pelos números 2 ,   3   e   4 .

Agora faremos de outra forma, usando a propriedade do complementar:

( A ∩ B ) C = A C ∪ B C

Bom, já vimos que os números que representam o complementar de A são 3   e   4 e os números que representam o complementar de B são 2   e   4 .

Se unirmos todos esses caras ficamos com 2 ,   3   e   4 .

Resposta

Exercício Resolvido #4

Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 } :

I .     ∅ ∈ U ,   n U = 10

I I .     ∅ ⊂ U ,   n U = 10

I I I .     5 ∈ U ,   { 5 } ⊂ U

I V .     0 ,   1 ,   2 ,   5 ∩ 5 = 5

Pode-se dizer que é(são) verdadeira(s):

a   A p e n a s   I   e   I I I

b   A p e n a s   I I   e   I I I

c   A p e n a s   I I   e   I V

d   A p e n a s   I V

e   T o d a s   a s   a f i r m a ç õ e s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar analisando as proposições desde o começo:

I .

Essa afirmação diz que:

∅ ∈ U ,   n U = 10

Lembrando que n ( U ) é a quantidade de elementos que existem em U .

Nesse ponto está correto pois U tem realmente 10 elementos.

Agora temos uma casca de banana, cuidado pra não pisar! Quando usamos o símbolo , estamos falando de um ELEMENTO pertencer ao conjunto.

O símbolo é o símbolo do conjunto vazio, que também pode ser substituído por {   } . Perceba que ele não é um elemento do conjunto U , logo, a afirmação I é FALSA.

Passo 2

I I .

Essa afirmação diz que:

∅ ⊂ U ,   n U = 10

Lembrando que n ( U ) é a quantidade de elementos que existem em U .

Nesse ponto está correto pois U tem realmente 10 elementos.

Quando usamos o símbolo , estamos falando de um conjunto ser um subconjunto de algum outro conjunto.

O símbolo é o símbolo do conjunto vazio, que também pode ser substituído por {   } . Amigx, lembre-se de que o conjunto vazio é subconjunto de TODO conjunto! Logo, a afirmação I I é VERDADEIRA.

Passo 3

I I I .

Essa afirmação diz que:

5 ∈ U ,   { 5 } ⊂ U

Note que 5 realmente é um elemento de U .

Além disso, { 5 } é um subconjunto de U , realmente. Pensa assim: ele é um conjunto pequenininho que tem um elemento que está em outro conjunto também!

Logo, essa afirmação I I I é VERDADEIRA.

Passo 4

I V .

Dá uma olhada no que ela diz:

0 ,   1 ,   2 ,   5 ∩ 5 = 5

Isso é uma casca de bananaaaaaa! Fique atento! Dá muita vontade de dizer que está certo, né? Mas não está!!!

Quando fazemos a interseção entre dois conjuntos, o resultado é um CONJUNTO!!! O que temos ali é apenas um número, portanto, a afirmação I V é FALSA.

Resposta

L e t r a   ( b )

Exercício Resolvido #5

Sejam  A ,   B   e   C  conjuntos de números inteiros, tais que A  tem 8 elementos, B tem 4 elementos, C tem 7 elementos e A ∪ B ∪ C  tem 16 elementos. Então, o número máximo de elementos que o conjunto D = A ∩ B ∪ ( B ∩ C ) pode ter é igual a:

a   1

b   2

c   3

d   4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, queremos n ( D ) né? Mas primeiro, vamos trabalhar com as informações que foram dadas:

n A ∪ B ∪ C = 16

n A = 8

n B = 4

n C = 7

Passo 2

Mas existe uma relação, que é a seguinte:

n A ∪ B ∪ C = n A + n B + n C - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n ( A ∩ B ∩ C )

E olha só o que o problema nos forneceu! Vamos substituir:

16 = 8 + 4 + 7 - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n A ∩ B ∩ C

- 3 = - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n A ∩ B ∩ C

n A ∩ B + n A ∩ C + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3

Vamos guardar isso por enquanto, ok? Guarda aí!

Passo 3

Bora atacar o problema por outro lado:

n D = n A ∩ B ∪ B ∩ C

Aqui vai mais uma relação:

n A ∩ B ∪ B ∩ C = n A ∩ B + n B ∩ C - n ( A ∩ B ∩ C )

Então:

n D = n A ∩ B + n B ∩ C - n ( A ∩ B ∩ C )

Só que se a gente olhar para aquela equação ali:

n A ∩ B + n A ∩ C + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3

Passando o termo n ( A ∩ C ) pro outro lado, ficamos com:

n A ∩ B + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3 - n A ∩ C

Perceba que o lado esquerdo é justamente o que queremos, logo:

n D = 3 - n A ∩ C

E como desejamos que ele seja MÁXIMO, isso só acontece quando n A ∩ C = 0 e logo o número máximo de elementos é 3 .

Resposta

L e t r a   ( c )

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