Erro do Polinômio de Taylor para f(x)

Teoria Completa

Uma parte importante do polinômio de Taylor é entender que ele é uma aproximação, e, sendo uma aproximação, tem um erro. Agora ferrou, né? Qual erro do polinômio?

Na verdade não podemos achar esse erro, mas podemos estimá-lo.

Não achar o erro exato é natural, uma vez que, se a gente conseguisse calculá-lo com exatidão, era só adicionar seu valor no polinômio e teríamos o valor exato do resultado.

Como, quanto maior a ordem de aproximação do polinômio, melhor o resultado, é natural pensar que o erro está associado a ordem superior aquela que escolhemos, ou seja, se aproximarmos por ordem 2 , o erro estará associado à ordem 3 , de forma que o erro do polinômio de Taylor de Grau n ao redor de x 0 = a vai ser:

E r r o = E x = f n + 1 c x - x 0 n + 1 n + 1 !

Onde c é um valor entre x 0 e x .

O erro depende do valor de x - x 0 ,. Por isso, se pegarmos um valor de x muito longe de x 0 esse erro vai ser enorme.

Vamos ver isso na pratica:

Determine o erro do polinômio de Taylor de grau 2 da função f x = e x em torno do ponto x 0 = 1 .

Beleza. Para poupar tempo, já vamos substituir os valores das derivadas até a derivada de grau 2 , e achamos cada termo do polinômio:

P 2 x = f ( 1 ) + f ' 1 x - 1 1 1 ! + f ' ' 1 x - 1 2 2 !

Para o erro temos que ir um termo além, nesse exemplo ele quer um polinômio de grau 2 então, para calcular o erro vamos achar a 3 ª derivada?

f ' ' ' x = e x

Agora achamos essa derivada num ponto x = c com c entre 0 e x .

f ' ' ' c = e c

Depois achamos o termo:

f ' ' ' c x - x 0 3 3 ! = e c ( x - 1 ) 3 3 !

Esse vai ser o erro:

E x = e c ( x - 1 ) 3 3 !

Mas isso não ajuda em lhufas né? Repara que temos:

1 < c < x

Como a nossa derivada é uma função crescente, vamos ter:

f ' ' ' 1 < f ' ' ' c < f ' ' ' x

Isso nos diz que

e < e c < e x

Então

e ( x - 1 ) 3 3 ! < e c ( x - 1 ) 3 3 ! < e x ( x - 1 ) 3 3 !

e ( x - 1 ) 3 3 ! < E x < e x ( x - 1 ) 3 3 !

Então repara que podemos estimar o intervalo que o erro pertence, vamos ver nos exercícios como trabalhar com isso direitinho.

Se quiséssemos fazer o erro no ponto x = 2 teriamos

e ( 2 - 1 ) 3 3 ! < E 2 < e 2 ( 2 - 1 ) 3 3 !

e 3 ! < E 2 < e 2 3 !

Usando uma calculadora para achar os valores do limite, só para te mostrar uma estimação desse erro:

0,45305 < E 2 < 1,23151

Então sabemos que o erro está nessa faixa.

Pronto, partiu exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Cálculo Volume 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: 2008, pp. 479-2. MODIFICADO

Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2 , avalie o erro.

  cos ⁡ ( 0.2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos considerar a função: f x = cos ⁡ ( x )

Nessas condições, um bom ponto para aproximar isso aí é o ponto x = 0 , já que f ( 0 ) está próximo de cos ⁡ ( 0.2 ) .

Para a ordem 2 pedida, o erro estará associado a ordem seguinte:

E x = f ' ' ' c 3 ! x 3

Passo 2

Para substituir, derivamos 3 vezes:

f ' x = - sin ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = sin ⁡ ( x ) ⟹ f ' ' ' c = sin ⁡ ( c )

Substituindo:

E x = sin ⁡ c 6 x 3

Para a distância escolhida:

E 0.2 = sin ⁡ c 6 0.2 3

Passo 3

Temos que 0 < c < 0.2 , então:

sin ⁡ 0 6 0.2 3 < E 0.2 < sin ⁡ 0.2 6 0.2 3

0 < E 0.2 < 0.000264892

É um erro bem, bem pequeno.

Resposta

0 < E 0.2 < 0.000264892

Exercício Resolvido #2

USP - Cálculo 1 - P3 2011.1 – 4

Seja f x = ln ⁡ ( 3 x + 1 ) , com x > - 1 3

a ) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f em torno do ponto x 0 = 0 .

b ) Usando o item ( a ) , calcule um valor aproximado para ln ⁡ ( 1,03 ) e para ln ⁡ ( 0,97 ) . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que 10 - 6 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a ) Primeiro vamos achar o polinômio de grau 3 da função f x = ln ⁡ ( 3 x + 1 ) .

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x :

f ' x = 3 x + 1 ' 3 x + 1 = 3 3 x + 1 = 3 3 x + 1 - 1

f ' ' x = 3 - 1 3 x + 1 - 1 - 1 . 3 x + 1 ' = - 3.3 3 x + 1   - 2 = - 9 3 x + 1 - 2

f ' ' ' x = - 9 - 2 3 x + 1 - 2 - 1 . 3 x + 1 ' = 18.3 3 x + 1   - 3 = 54 3 x + 1 - 3

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 0 = ln ⁡ ( 3.0 + 1 ) = ln ⁡ 0 + 1 = ln ⁡ 1 = 0

f ' 0 = 3 3.0 + 1 - 1 = 3 1 - 1 = 3

f ' '   0 = - 9 3.0 + 1 - 2 = - 9 1 - 2 = - 9

f ' ' ' 0 = 54 3.0 + 1 - 3 = 54 1 - 3 = 54

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f 0 = 0

f ' 0 x - 0 1 1 ! = 3 x - 0 1 ! = 3 x

f ' ' 0 x - 0 2 2 ! = - 9 x 2 2 ! = - 9 x 2 2

f ' ' ' 0 x - 0 3 3 ! = 54 x 3 3 ! = 54 x 3 6 = 9 x 3 = 9 x 3

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 3 x = 0 + 3 x - 9 x 2 2 + 9 x 3

P 3 x = 3 x - 9 x 2 2 + 9 x 3

Passo 4

b ) Vamos agora ao valor de ln ⁡ 1,03 . Repare que f x = ln ⁡ 1,03 , quando 3 x + 1 = 1,03

Então queremos o polinômio em x = 0,01 e não em x = 1,03 . Fique atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de x que devemos usar. Então, vamos fazer:

ln ⁡ 1,03 = f 0,01 ≅ P 3 0,01 = 3.0,01 - 9 0,01 2 2 + 9 . 0,01 3

ln ⁡ 1,03 ≅ P 3 0,01 = 0,03 - 9.0,0001 2 + 9.0,000001

ln ⁡ 1,03 ≅ P 3 0,01 = 0,03 - 0,0009 2 + 0,000009

ln ⁡ 1,03 ≅ P 3 0,01 = 0,03 - 0,00045 + 0,000009

ln ⁡ 1,03 ≅ 0,029559

Passo 5

Vamos agora ao valor de ln ⁡ 0,97 . Repare que f x = ln ⁡ 0,97 quando 3 x + 1 = 0,97 .

Então queremos o polinômio em x = - 0,01 e não em x = 0,97 :

ln ⁡ 0,97 = f - 0,01 ≅ P 3 - 0,01 = 3 . - 0,01 - 9 - 0,01 2 2 + 9 . - 0,01 3

ln ⁡ 0,97 ≅ P 3 - 0,01 = - 0,03 - 9.0,0001 2 + 9 . - 0,000001

ln ⁡ 0,97 ≅ P 3 - 0,01 = - 0,03 - 0,0009 2 - 0,000009

ln ⁡ 0,97 ≅ P 3 - 0,01 = - 0,03 - 0,00045 - 0,000009

ln ⁡ 0,97 ≅ - 0,030459

Passo 6

Vamos calcular o erro possível para isso agora. Primeiro vamos achar o termo do erro. Como temos um polinômio de grau 3 o erro vai ser o termo de ordem 4 :

E x = f i v c x - 0 4 4 !  

Para c entre 0 e x , vamos começar achando a derivada de f i v :

f i v x = 54 - 3 3 x + 1 - 3 - 1 . 3 x + 1 ' = - 162.3 3 x + 1 - 4 = - 486 3 x + 1 - 4

Vamos tomar essa derivada em c :

f i v c = - 486 3 c + 1 - 4

O erro vai ficar:

E x = - 486 3 c + 1 - 4 x 4 4 ! = - 486 3 c + 1 - 4 x 4 24 = - 81 4 3 c + 1 - 4 x 4

Passo 7

Vamos ver esse erro para os dois valores de x que temos. Primeiro para x = 0,01 :

E 0,01 = - 81 4 3 c + 1 - 4 0,01 4 = 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:

0 < c < 0,01

0 + 1 < 3 c + 1 < 0,03 + 1

Como o expoente de 3 c + 1 é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar:

1 - 4 > 3 c + 1 - 4 > 1,03 - 4

Vamos pegar aqui apenas o valor maior que é o que nos interessa. Saber que o erro é maior que algo não é tão útil assim.

1 > 3 c + 1 - 4

Multiplicando por 81 4 10 - 8 :

81 4 10 - 8 > 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

E 0,01 < 81 4 10 - 8

Como queremos que apareça 10 - 6 vamos fazer:

81 4 < 100

81 4 10 - 8 < 100 . 10 - 8

81 4 10 - 8 < 10 - 6

Vamos ter:

E 0,01 < 81 4 10 - 8 < 10 - 6

Passo 8

Vamos ver esse erro para os dois valores de x que temos. Primeiro para x = - 0,01 :

E - 0,01 = - 81 4 3 c + 1 - 4 - 0,01 4 = 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:

0 > c > - 0,01

Isso acontece porque temos um valor negativo de x :

0 + 1 > 3 c + 1 > - 0,03 + 1

Como o expoente de 3 c + 1 é negativo, quando passarmos o expoente, a ordem vai mudar:

1 - 4 < 3 c + 1 - 4 < 0,97 - 4

Vamos pegar aqui apenas o valor maior, que é o que nos interessa.

3 c + 1 - 4 < 0,97 - 4

Queremos um número nessa bagunça ,então repare que:

0,97 - 4 < 0,9 - 4 = 0,81 - 2 < 0,8 - 2 = 0,64 - 1 < 0,5 - 1 = 2

Então, vamos ter:

3 c + 1 - 4 < 2

Nós queremos um número, porque é mais fácil fazer essas contas com um número. A parada aqui é ir vendo coisas em comum. O objetivo é tentar chegar no bendito 0,5 - 1 .

Multiplicando por 81 4 10 - 8 :

2 81 4 10 - 8 > 81 4 10 - 8 3 c + 1 - 4

E - 0,01 < 81 2 10 - 8

Como vimos antes, vamos fazer:

81 2 < 100

Então:

E - 0,01 < 81 2 10 - 8 < 100 . 10 - 8

E - 0,01 < 10 - 6

Como queremos que apareça 10 - 6 vamos fazer:

0,97 >

Como vimos com potencia negativa essa desigualdade vira:

0,97 - 4 < 0,1 - 4

81 4 < 100

81 4 10 - 8 < 100 . 10 - 8

81 4 10 - 8 < 10 - 6

Resposta

P 3 x = 3 x - 9 x 2 2 + 9 x 3

ln ⁡ 1,03 ≅ 0,029559

ln ⁡ 0,97 ≅ - 0,030459

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