Teoria Completa
Uma parte importante do polinômio de Taylor é entender que ele é uma aproximação, e, sendo uma aproximação, tem um erro. Agora ferrou, né? Qual erro do polinômio?
Na verdade não podemos achar esse erro, mas podemos estimá-lo.
Não achar o erro exato é natural, uma vez que, se a gente conseguisse calculá-lo com exatidão, era só adicionar seu valor no polinômio e teríamos o valor exato do resultado.
Como, quanto maior a ordem de aproximação do polinômio, melhor o resultado, é natural pensar que o erro está associado a ordem superior aquela que escolhemos, ou seja, se aproximarmos por ordem , o erro estará associado à ordem , de forma que o erro do polinômio de Taylor de Grau ao redor de vai ser:
Onde é um valor entre e .
O erro depende do valor de ,. Por isso, se pegarmos um valor de muito longe de esse erro vai ser enorme.
Vamos ver isso na pratica:
Determine o erro do polinômio de Taylor de grau 2 da função em torno do ponto .
Beleza. Para poupar tempo, já vamos substituir os valores das derivadas até a derivada de grau , e achamos cada termo do polinômio:
Para o erro temos que ir um termo além, nesse exemplo ele quer um polinômio de grau então, para calcular o erro vamos achar a derivada?
Agora achamos essa derivada num ponto com entre e .
Depois achamos o termo:
Esse vai ser o erro:
Mas isso não ajuda em lhufas né? Repara que temos:
Como a nossa derivada é uma função crescente, vamos ter:
Isso nos diz que
Então
Então repara que podemos estimar o intervalo que o erro pertence, vamos ver nos exercícios como trabalhar com isso direitinho.
Se quiséssemos fazer o erro no ponto teriamos
Usando uma calculadora para achar os valores do limite, só para te mostrar uma estimação desse erro:
Então sabemos que o erro está nessa faixa.
Pronto, partiu exercícios!!
Exercício Resolvido #1
Utilizando polinômio de Taylor de ordem , avalie o erro.
Passo 1
Podemos considerar a função:
Nessas condições, um bom ponto para aproximar isso aí é o ponto , já que está próximo de .
Para a ordem pedida, o erro estará associado a ordem seguinte:
Passo 2
Para substituir, derivamos 3 vezes:
Substituindo:
Para a distância escolhida:
Passo 3
Temos que , então:
É um erro bem, bem pequeno.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Seja , com
Determine o polinômio de Taylor de ordem de em torno do ponto .
Usando o item , calcule um valor aproximado para e para . Verifique que o erro em ambas as aproximações é menor do que .
Passo 1
Primeiro vamos achar o polinômio de grau da função .
A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem da função :
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:
Passo 2
Agora temos que achar cada termo da função:
Passo 3
O polinômio vai ficar:
Passo 4
Vamos agora ao valor de . Repare que , quando
Então queremos o polinômio em e não em . Fique atento a isso, devemos sempre ver com cuidado o valor de que devemos usar. Então, vamos fazer:
Passo 5
Vamos agora ao valor de . Repare que quando .
Então queremos o polinômio em e não em :
Passo 6
Vamos calcular o erro possível para isso agora. Primeiro vamos achar o termo do erro. Como temos um polinômio de grau o erro vai ser o termo de ordem :
Para entre e , vamos começar achando a derivada de :
Vamos tomar essa derivada em :
O erro vai ficar:
Passo 7
Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos. Primeiro para :
Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:
Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente a ordem vai mudar:
Vamos pegar aqui apenas o valor maior que é o que nos interessa. Saber que o erro é maior que algo não é tão útil assim.
Multiplicando por :
Como queremos que apareça vamos fazer:
Vamos ter:
Passo 8
Vamos ver esse erro para os dois valores de que temos. Primeiro para :
Vamos analisar esse erro. Repare que vamos ter:
Isso acontece porque temos um valor negativo de :
Como o expoente de é negativo, quando passarmos o expoente, a ordem vai mudar:
Vamos pegar aqui apenas o valor maior, que é o que nos interessa.
Queremos um número nessa bagunça ,então repare que:
Então, vamos ter:
Nós queremos um número, porque é mais fácil fazer essas contas com um número. A parada aqui é ir vendo coisas em comum. O objetivo é tentar chegar no bendito .
Multiplicando por :
Como vimos antes, vamos fazer:
Então:
Como queremos que apareça vamos fazer:
Como vimos com potencia negativa essa desigualdade vira: