Polinômio de Taylor para f(x)

Resumo Completo

Centrado em zero

Imagine que temos uma função: f x = x + 4

Se fizermos:

f 0.1 = 4.1

Beleza, sabemos que a função no ponto x = 0.1 terá valor 4.1 , mas qual o valor de 4.1 ?

Na verdade, 4.1 não tem um valor exato. Mas podemos aproximar esse valor. Como fazemos isso? Tem diversas formas, mas uma das mais usadas é o polinômio de Taylor.

O polinômio de Taylor é uma forma de aproximarmos uma função qualquer por um polinômio ao redor de um certo ponto.

Então, para aproximar 4.1 , fazemos como em outras aproximações e escolhemos um ponto próximo x = x 0 tal que f x 0 esteja próximo de 4.1 .

Um bom ponto é x = 0 , pois: f 0 = 0 + 4 = 4

Que é conhecido e está próximo do valor que queremos aproximar. A aproximação por polinômio de Taylor para ordem 1 disso aí será:

P 1 x = f 0 + f ' 0 x

Então, calculamos:

f x = x + 4   f 0 = 4 = 2

f ' x = 1 2 x + 4   f ' 0 = 1 2 4 = 1 4

Substituindo:

P 1 x = 2 + 1 4 x

Para x = 0.1 que é o valor que levará a 4.1 :

P 1 0.1 = 2 + 1 4 0.1 = 2.025

Se você pegar sua calculadora, ela indicará 4.1 2.0248 . Então nossa aproximação ficou legal, mas dá para melhorar.

Um polinômio pode ter diferentes graus, com o polinômio de Taylor não é diferente. Para ordem dois:

P 2 x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 x 2

Então, calculamos:

f ' ' ( x ) = - 1 4 x + 4 3   f ' ' ( 0 ) = - 1 32

Substituindo:

P 2 x = 2 + 1 4 x - 1 64 x 2

No ponto x = 0.1 :

P 2 0.1 = 2.02484  

Que está ainda mais próximo do valor desejado. Assim, quanto maior a ordem do polinômio de Taylor, melhor será aproximação.

Você pode pensar que, para ordem 3 , temos:

P 3 x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 x 2 + f ' ' ' 0 3 x 3

Mas isso está errado! O certo é:

P 3 x = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3

Onde 3 ! = 3 2 1 = 6 .

A presença do fatorial ocorre no denominador de todos os termos. Ela não ficou clara para as aproximações em ordem 1 e 2 , pois:

1 ! = 1 ; 2 ! = 2 1 = 2

Que, visualmente, não muda nada.

Bem, então vimos que, para ordem 1 , o termo de maior grau será:

f ' 0 1 ! x

Para ordem 2 :

f ' ' 0 2 ! x 2

E para ordem 3 :

f ' ' ' 0 3 ! x 3

Assim, para uma ordem qualquer n , o termo de maior grau será: f n 0 n ! x n

Onde f n x é a n-éssima derivada de f ( x ) . Com tudo isso em mente, o polinômio de Taylor de ordem n centrado em zero será:

P n x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + + f n 0 n ! x n = k = 0 n f k 0 k ! x k

Para que possamos fazer isso é necessário que a função f seja derivável até ordem n .

Não Centrado em Zero

Agora eu te pergunto e se o ponto não for zero? E se for, por exemplo x 0 = 1 . Cara, muda pouca coisa. Vou escrever a nossa fórmula geral

P n x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + + f n 0 n ! x n = k = 0 n f k 0 k ! x k

Como o ponto agora é 1, temos que avaliar a função e suas derivadas nesse ponto, ou seja, vamos mudar a fórmula para essa aqui

P n x = f 1 + f ' 1 1 ! x + f ' ' 1 2 ! x 2 + + f n 1 n ! x n = k = 0 n f k 1 k ! x k

Só isso? Quase! A gente tem que deslocar o x , desse jeito aqui

P n x = f 1 + f ' 1 1 ! ( x - 1 ) + f ' ' 1 2 ! ( x - 1 ) 2 + + f n 1 n ! ( x - 1 ) n = k = 0 n f k 1 k ! ( x - 1 ) k

É isso ai! Só muda um pouco a fórmula, então para ficar craque pratica lá nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Determine o polinômio de Taylor de grau 1 da função f x = 4 sen x em torno do ponto x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de ordem 1 dessa função:

f ' x = 4 cos x

Agora temos que achar essa derivada e a função no ponto x = 0 :

f 0 = 4 sen 0 = 0

f ' 0 = 4 cos 0 = 4

Passo 2

Temos agora que achar cada parcela do polinômio:

f 0 = 0

f ' 0 x 1 1 ! = 4 x 1 = 4 x

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 1 x = 0 + 4 x = 4 x

E pronto temos o polinômio de Taylor de grau 1 . Quanto maior o grau, mais preciso ele vai ser. Normalmente o de grau 1 não é muito preciso, então se ligue!

Resposta

P 1 x = 4 x

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função f x = sen x 2 no ponto x = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 2 da função f x :

f ' x = cos x 2 . 2 x = 2 x cos x 2

f ' ' x = 2 cos x 2 + 2 x - sen x 2 . 2 x = 2 cos x 2 - 4 x 2 sen x 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 0 = sen 0 2 = 0

f ' 0 = 2.0 . cos 0 2 = 0

f ' ' 0 = 2 cos 0 2 - 4.0 2 . sen 0 2 = 2

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f 0 = 0

f ' 0 x 1 1 ! = 0

f ' ' 0 x 2 2 ! = 2 x 2 2 = x 2

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 2 x = 0 + 0 + x 2

P 2 x = x 2

Resposta

P 2 x = x 2

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Hamilton Luiz Guidorizzi, Cálculo Volume 1, 5ª ed. Rio de Janeiro: 2008, pp. 469-1.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta do x 0 dado.

  f x = x , x 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro a gente calcula tudo que a gente vai precisar:

f ' x = 1 2 x f ' 1 = 1 2

Pouca coisa, né?

Passo 2

Agora a gente substitui na fórmula do polinômio de Taylor:

P 1 x = f 1 + f ' 1 x - 1 = 1 + 1 2 ( x - 1 )

Resposta

P 1 x = 1 + 1 2 ( x - 1 )

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Determine o polinômio de Taylor de grau 3 da função f x = cos x 2 no ponto x = π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x :

f ' x = - sen x 2 2 x = - 2 x sen x 2

f ' ' x = - 2 sen x 2 - 2 x cos x 2 2 x = - 2 sen x 2 - 4 x 2 cos x 2

f ' ' ' x = - 2 cos x 2 2 x - 4 2 x cos x 2 - 4 x 2 - sen x 2 2 x = - 4 x cos x 2 - 8 x cos x 2 + 8 x 3 sen x 2

f ' ' ' x = - 12 x cos x 2 + 8 x 3 sen x 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f π 2 = cos π 2 2 = cos π 2 = 0

f ' π 2 = - 2 π 2 sen π 2 2 sen π 2 = 1 = - 2 π 2 = - 2 π

f ' ' π 2 = - 2 sen π 2 2 sen π 2 = 1 - 4 π 2 2 cos π 2 2 cos π 2 = 0 = - 2

f ' ' ' π 2 = - 12 π 2 cos π 2 2 cos π 2 = 0 + 8 π 2 3 sen π 2 2 sen π 2 = 1 = 2 3 π 2 3 = 2 π 3 2

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f π 2 = 0

f ' π 2 x - π 2 1 1 ! = - 2 π x - π 2

f ' ' π 2 x - π 2 2 2 ! = - 2 2 ! x - π 2 2 = - x - π 2 2

f ' ' ' π 2 x - π 2 3 3 ! = 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 3 π 2 = 0 - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

Resposta

P 3 π 2 = - 2 π x - π 2 - x - π 2 2 + 2 π 3 2 6 x - π 2 3

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