Teoria Completa
Centrado em zero
Imagine que temos uma função:
Se fizermos:
Beleza, sabemos que a função no ponto terá valor , mas qual o valor de ?
Na verdade, não tem um valor exato. Mas podemos aproximar esse valor. Como fazemos isso? Tem diversas formas, mas uma das mais usadas é o polinômio de Taylor.
O polinômio de Taylor é uma forma de aproximarmos uma função qualquer por um polinômio ao redor de um certo ponto.
Então, para aproximar , fazemos como em outras aproximações e escolhemos um ponto próximo tal que esteja próximo de .
Um bom ponto é , pois:
Que é conhecido e está próximo do valor que queremos aproximar. A aproximação por polinômio de Taylor para ordem disso aí será:
Então, calculamos:
Substituindo:
Para que é o valor que levará a :
Se você pegar sua calculadora, ela indicará . Então nossa aproximação ficou legal, mas dá para melhorar.
Um polinômio pode ter diferentes graus, com o polinômio de Taylor não é diferente. Para ordem dois:
Então, calculamos:
Substituindo:
No ponto :
Que está ainda mais próximo do valor desejado. Assim, quanto maior a ordem do polinômio de Taylor, melhor será aproximação.
Você pode pensar que, para ordem , temos:
Mas isso está errado! O certo é:
Onde .
A presença do fatorial ocorre no denominador de todos os termos. Ela não ficou clara para as aproximações em ordem e , pois:
Que, visualmente, não muda nada.
Bem, então vimos que, para ordem , o termo de maior grau será:
Para ordem :
E para ordem :
Assim, para uma ordem qualquer , o termo de maior grau será:
Onde é a n-éssima derivada de . Com tudo isso em mente, o polinômio de Taylor de ordem centrado em zero será:
Para que possamos fazer isso é necessário que a função seja derivável até ordem .
Não Centrado em Zero
Agora eu te pergunto e se o ponto não for zero? E se for, por exemplo . Cara, muda pouca coisa. Vou escrever a nossa fórmula geral
Como o ponto agora é 1, temos que avaliar a função e suas derivadas nesse ponto, ou seja, vamos mudar a fórmula para essa aqui
Só isso? Quase! A gente tem que deslocar o , desse jeito aqui
É isso ai! Só muda um pouco a fórmula, então para ficar craque pratica lá nos exercícios!
Exercício Resolvido #1
Determine o polinômio de Taylor de grau da função em torno do ponto
Passo 1
A primeira coisa a fazer é achar a derivada de ordem dessa função:
Agora temos que achar essa derivada e a função no ponto :
Passo 2
Temos agora que achar cada parcela do polinômio:
Passo 3
O polinômio vai ficar:
E pronto temos o polinômio de Taylor de grau . Quanto maior o grau, mais preciso ele vai ser. Normalmente o de grau não é muito preciso, então se ligue!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine o polinômio de Taylor de grau da função no ponto .
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem da função :
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:
Passo 2
Agora temos que achar cada termo da função:
Passo 3
O polinômio vai ficar:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta do dado.
Passo 1
Primeiro a gente calcula tudo que a gente vai precisar:
Pouca coisa, né?
Passo 2
Agora a gente substitui na fórmula do polinômio de Taylor:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Determine o polinômio de Taylor de grau da função no ponto
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem da função :
Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:
Passo 2
Agora temos que achar cada termo da função:
Passo 3
O polinômio vai ficar: