Teoria Completa
Na primeira parte nós falamos sobre as principais funções trigonométricas: Seno e Cosseno.
Agora veremos as funções que utilizam essas duas, funções que dependem delas. Na prática, usaremos muita coisa que já entendemos e teremos alterações principalmente na parte gráfica.
A primeira que veremos é a função tangente
Função Tangente
A função tangente é dada por
Bom, agora a coisa complica mais um pouco. Para achar o domínio dessa função temos que ver os pontos problemáticos, isto é, os pontos em que o denominador é zero.
Porque NÃO existe divisão por zero!!!
O denominador da função zera quando o zera, que acontece quando:
Generalizando, vemos que ocorre para:
Logo o domínio da função tangente é:
Quanto à imagem, nada limita essa tangente e, portanto, a imagem é sempre o conjunto dos números reais:
Por exemplo, se quisermos a imagem da função:
Ela também será igual ao conjunto dos números reais, assim como se multiplicássemos ou somássemos a função um determinado valor.
Como vimos antes, existem alguns valores para os quais a nossa função não estará definida, isso vai implicar em como será formado o nosso gráfico. Novamente vamos usar aquela tabelinha que tínhamos antes, com os valores notáveis
Observa que para aqueles valores que mostramos antes a função não existe, a medida que vamos nos aproximando mais dele, ele vai tendendo pro infinito
Por exemplo, se fizermos na calculadora a tangente de 89,9° encontraremos
Ao passo que
E a medida que vamos nos aproximando dotemos valores cada vez mais altos e isso vai se refletir no nosso gráfico também. Desenhando ele, fica assim ó
Um obs, essas linhas que estão tracejadas nós chamamos de assíntotas verticais. Além de ser um nome legal pra se usar com a família nos almoços de domingo, ela indica que a função se aproxima MUITO, mas não está definida para aqueles valores de x.
Observe que o período diferentemente do seno e do cosseno, será igual a .
Isso significa que se quisermos determinar o período da função
Teremos
Além disso, dá pra ver uma simetria bonita em relação a origem, portanto, a função é impar e:
Função Cotangente
A função cotangente é o inverso da função tangente, logo podemos escrevê-la como
Além disso como a tangente é dada por
A cotangente será o inverso, ou seja
Para achar o domínio dessa função temos que ver os pontos em que o denominador é zero.
Porque NÃO existe divisão por zero!!!
O denominador da função zera quando o zera, que acontece quando:
Generalizando, vemos que ocorre para:
Logo o domínio da função tangente é:
Quanto à imagem, nada limita essa tangente e, portanto, a imagem é sempre o conjunto dos números reais:
O gráfico dessa função será muito parecido com o da função tangente, mas como vimos o domínio será diferente.
O período será igual a igual ao da função tangente.
Observa como o gráfico será muito parecido
Só que nesse a curva vai para o lado contrário e as assíntotas(linhas tracejadas) estão em posições diferentes do gráfico da função tangente.
Função Secante e Cossecante
Chegamos nas últimas, eu prometo!
A função secante será dada por
Como temos o no denominador, o domínio da função secante é o mesmo da função tangente, isto é
Quanto a imagem, temos o cosseno no denominador e no numerador o . Considerando os valores positivos do cosseno, temos:
Onde .
Se dividirmos o 1 por um número entre e sempre teremos um valor maior que . Por exemplo:
De maneira análoga, considerando a parte negativa do cosseno, temos:
Onde .
Se dividirmos o 1 por um número entre e 0 sempre teremos um valor menor que .Por exemplo:
Dessa forma, a imagem da função estará sempre fora do intervalo e será, portanto:
Não foi erro de digitação, o colchete ao contrário indica valores fora do intervalo.
A secante, assim como o cosseno, terá período e o gráfico será:
Simétrica em relação ao eixo e, portanto, par:
Já a cossecante será dada por
A cossecante será muito parecida com a secante. Teremos apenas algumas diferenças
A primeira é que como agora o seno está no denominador, precisaremos tirar do domínio os valores em que ele é igual a zero. Isso acontecerá, por exemplo para
Generalizando para todos os reais, o domínio será
O gráfico será MUITO parecido, mas com a diferença que a cossecante tem valor para . O nosso gráfico fica assim ó
Pra você ver como eles são parecidos, olha eles lado a lado. O da secante está de azul
Além disso a função cossecante, é ímpar, pois é simétrica em relação a origem, portanto:
Show?
Agora, #PartiuExercícios
Exercício Resolvido #1
Os valores de , para os quais a função não é definida, são
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Em outras palavras, o que queremos com esse enunciado é encontrar o domínio da nossa função.
Para uma função
Temos que o domínio é igual a
Passo 2
No enunciado, temos que
Para que essa função esteja definida, precisamos que o argumento dela, ou seja
Seja diferente de
Passo 3
Então teremos
Portanto, a resposta será a letra E.
Passo 4
Resposta
Letra E
Exercício Resolvido #2
Se e então o valor de é
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, a primeira coisa que vamos fazer, é dar uma simplificada naquela função. Temos
Como
Podemos escrever
Beleza, elevando aqueles caras ao quadrado, temos
Que será igual a
Até você deve estar pensando que não melhoramos muito em relação ao que tínhamos antes. Mas tem um pulo do gato, que será muito importante agora. Lembra daquela relação fundamental da trigonometria?
Ela diz que
Ou seja,
Então podemos escrever que
Beleza?
Divisão de Frações, nós repetimos o primeiro e....
Isso mesmo, multiplicamos pelo inverso do segundo. Portanto
Beleza, chegamos numa expressão bem mais amigável
Passo 2
No enunciado, temos a informação que. Então vamos utilizar isso agora
Novamente temos uma divisão de frações, então
Que será igual a
A resposta certa será a Letra A
Resposta
Letra A
Exercício Resolvido #3
Sendo determine o período e o domínio da função
Passo 1
Beleza, sabemos que o período da função cotangente é igual a
Para determinarmos o período, pegaremos aquele número que está ao lado do x, no nosso caso é o 2. Faremos o seguinte
Show?
Passo 2
O domínio da função cotangente é dado por
Mas como o que está dentro do nosso parênteses no exercício é o
Então teremos que
Ou seja,
Resposta
Exercício Resolvido #4
Considere o conjunto mais amplo possível na função real , dada por
Sobre a função é correto afirmar que
a)
b) é periódica com período igual a
c) é decrescente se
d) é ímpar.
Passo 1
Primeira coisa que vamos fazer, é procurar simplificar aquela função dada no enunciado. Temos:
Como e , podemos escrever
Que é igual a
Ou seja
Uma função bem mais amigável que aquela do início, certo?
Passo 2
Lembra da relação fundamental da trigonometria?
Ela diz que
Portanto, aquela função que tínhamos lá no início pode ser escrita como
Que é uma função CONSTANTE.
Sendo assim, ela não é nem periódica, nem decrescente e muito menos ímpar
Só vai nos restar a letra A como resposta, uma vez que ela será válida para o domínio dado.
Resposta
Letra A.