Funções Trigonométricas – Parte 2

Teoria Completa

Na primeira parte nós falamos sobre as principais funções trigonométricas: Seno e Cosseno.

Agora veremos as funções que utilizam essas duas, funções que dependem delas. Na prática, usaremos muita coisa que já entendemos e teremos alterações principalmente na parte gráfica.

A primeira que veremos é a função tangente

Função Tangente

A função tangente é dada por

f x = t a n x = s e n x c o s ⁡ ( x )

Bom, agora a coisa complica mais um pouco. Para achar o domínio dessa função temos que ver os pontos problemáticos, isto é, os pontos em que o denominador é zero.

Porque NÃO existe divisão por zero!!!

O denominador da função zera quando o c o s ⁡ ( x ) zera, que acontece quando:

x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 ,   7 π 2 …

Generalizando, vemos que ocorre para:

x = π 2 + k π   ,   k ∈ Z

Logo o domínio da função tangente é:

D f = x ∈ R x ≠ π 2 + k π ,   c o m   k ∈ Z  

Quanto à imagem, nada limita essa tangente e, portanto, a imagem é sempre o conjunto dos números reais: I m = R

Por exemplo, se quisermos a imagem da função:

f ( x ) =   t g ( 5 x )

Ela também será igual ao conjunto dos números reais, assim como se multiplicássemos ou somássemos a função um determinado valor.

Como vimos antes, existem alguns valores para os quais a nossa função não estará definida, isso vai implicar em como será formado o nosso gráfico. Novamente vamos usar aquela tabelinha que tínhamos antes, com os valores notáveis

Observa que para aqueles valores que mostramos antes a função não existe, a medida que vamos nos aproximando mais dele, ele vai tendendo pro infinito

Por exemplo, se fizermos na calculadora a tangente de 89,9° encontraremos

t g   89,9 ° ≅ 572,95

Ao passo que

t g   89,999 ° ≅ 57295,77

E a medida que vamos nos aproximando do   90 ° π 2   r a d temos valores cada vez mais altos e isso vai se refletir no nosso gráfico também. Desenhando ele, fica assim ó

Um obs, essas linhas que estão tracejadas nós chamamos de assíntotas verticais. Além de ser um nome legal pra se usar com a família nos almoços de domingo, ela indica que a função se aproxima MUITO, mas não está definida para aqueles valores de x.

Observe que o período diferentemente do seno e do cosseno, será igual a π .

Isso significa que se quisermos determinar o período da função

g x = t g ( 5 x )

Teremos

5 T = π → T = π 5  

Além disso, dá pra ver uma simetria bonita em relação a origem, portanto, a função é impar e:

tg ⁡ - x = - tg ⁡ ( x )

Função Cotangente

A função cotangente é o inverso da função tangente, logo podemos escrevê-la como

f x = c o t g x = 1 t g ( x )

Além disso como a tangente é dada por

t g x = s e n x cos ⁡ x

A cotangente será o inverso, ou seja

c o t g x = c o s x s e n ⁡ ( x )

Para achar o domínio dessa função temos que ver os pontos em que o denominador é zero.

Porque NÃO existe divisão por zero!!!

O denominador da função zera quando o s e n ⁡ ( x ) zera, que acontece quando:

x = 0 , π , 2 π , 3 π ,   …

Generalizando, vemos que ocorre para:

x = k π   ,   k ∈ Z

Logo o domínio da função tangente é:

D f = x ∈ R x ≠ k π ,   c o m   k ∈ Z  

Quanto à imagem, nada limita essa tangente e, portanto, a imagem é sempre o conjunto dos números reais: I m = R

O gráfico dessa função será muito parecido com o da função tangente, mas como vimos o domínio será diferente.

O período será igual a   π igual ao da função tangente.

Observa como o gráfico será muito parecido

Só que nesse a curva vai para o lado contrário e as assíntotas(linhas tracejadas) estão em posições diferentes do gráfico da função tangente.

Função Secante e Cossecante

Chegamos nas últimas, eu prometo!

A função secante será dada por

f x = s e c x = 1 c o s ⁡ ( x )

Como temos o c o s ⁡ ( x ) no denominador, o domínio da função secante é o mesmo da função tangente, isto é

D f x = x ∈ R x ≠ π 2 + k π ,   c o m   k ∈ Z  

Quanto a imagem, temos o cosseno no denominador e no numerador o 1 . Considerando os valores positivos do cosseno, temos:

f x = 1 g ( x )

Onde 0 < g x ≤ 1 .

Se dividirmos o 1 por um número entre 0 e 1 sempre teremos um valor maior que 1 . Por exemplo:

1 0,5 = 2

De maneira análoga, considerando a parte negativa do cosseno, temos:

f x = 1 h ( x )

Onde - 1 ≤ h x < 0 .  

Se dividirmos o 1 por um número entre - 1 e 0 sempre teremos um valor menor que - 1 .Por exemplo:

1 - 0,5 =   - 2

Dessa forma, a imagem da função estará sempre fora do intervalo ( - 1,1 ) e será, portanto:

I m f = y ∈ R   y ∈   - 1,1 [

Não foi erro de digitação, o colchete ao contrário indica valores fora do intervalo.

A secante, assim como o cosseno, terá período 2 π e o gráfico será:

Simétrica em relação ao eixo y e, portanto, par:

sec ⁡ ( x ) = sec ⁡ - x

Já a cossecante será dada por

f x = c o s s e c x = 1 s e n ⁡ ( x )

A cossecante será muito parecida com a secante. Teremos apenas algumas diferenças

A primeira é que como agora o seno está no denominador, precisaremos tirar do domínio os valores em que ele é igual a zero. Isso acontecerá, por exemplo para

s e n   0 = s e n   π = s e n   2 π = 0

Generalizando para todos os reais, o domínio será

D f = x ∈ R x ≠ k π ,   c o m   k ∈ Z

O gráfico será MUITO parecido, mas com a diferença que a cossecante tem valor y = 1 para x = π 2 . O nosso gráfico fica assim ó

Pra você ver como eles são parecidos, olha eles lado a lado. O da secante está de azul

Além disso a função cossecante, é ímpar, pois é simétrica em relação a origem, portanto:

cossec ⁡ - x = - cossec ⁡ ( x )

Show?

Agora, #PartiuExercícios

Expandir

Exercício Resolvido #1

Mackenzie 2017

Os valores de x ( x ∈ R ) , para os quais a função   f x = 1 3   t g 3 x - π 4 não é definida, são

a)   π + k π ,   k ∈ Z

b) π 2 + k π ,   k ∈ Z

c)   3 π 4 + k π ,   k ∈ Z

d) π 4 + k π ,   k ∈ Z

e) π 4 + k π 3 ,   k ∈ Z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Em outras palavras, o que queremos com esse enunciado é encontrar o domínio da nossa função.

Para uma função g x = t g x

Temos que o domínio é igual a

D g = x   ∈ R   x ≠ π 2 + k π ,   c o m   k ∈ Z

Passo 2

No enunciado, temos que f x = 1 3   t g 3 x - π 4

Para que essa função esteja definida, precisamos que o argumento dela, ou seja

3 x - π 4

Seja diferente de

π 2 + k π ,   c o m   k ∈ Z

Passo 3

Então teremos

3 x - π 4 ≠ π 2 + k π

3 x ≠ π 4 + π 2 + k π

3 x ≠ 3 π 4 + k π

x ≠ π 4 + k π 3 , c o m   k ∈ Z

Portanto, a resposta será a letra E.

Passo 4

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #2

IFCE 2016

Se s e n   x = 1 3 e π 2 ≤ x ≤ π então o valor de y = sec 2 ⁡ x - t g 2 x 1 - c o s s e c   x é

a) - 1 2

b) - 1

c) 1 2

d)   1

e)   0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza, a primeira coisa que vamos fazer, é dar uma simplificada naquela função. Temos

y = sec 2 ⁡ x - t g 2 x 1 - c o s s e c   x

Como

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x ;   t g   x = s e n   x cos ⁡ x ;   c o s s e c   x = 1 s e n   x  

Podemos escrever

y = sec 2 ⁡ x - t g 2 x 1 - c o s s e c   x =   1 cos ⁡ x 2 - s e n   x cos ⁡ x 2 1 - 1 s e n   x

Beleza, elevando aqueles caras ao quadrado, temos

y = 1 cos 2 ⁡ x - s e n 2   x cos 2 ⁡ x 1 - 1 s e n   x

Que será igual a

y = 1 - s e n 2   x cos 2 ⁡ x s e n   x - 1 s e n   x

Até você deve estar pensando que não melhoramos muito em relação ao que tínhamos antes. Mas tem um pulo do gato, que será muito importante agora. Lembra daquela relação fundamental da trigonometria?

Ela diz que

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Ou seja,

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Então podemos escrever que

y = 1 - s e n 2   x cos 2 ⁡ x s e n   x - 1 s e n   x = c o s 2   x cos 2 ⁡ x s e n   x - 1 s e n   x = 1 s e n   x - 1 s e n   x

Beleza?

Divisão de Frações, nós repetimos o primeiro e....

Isso mesmo, multiplicamos pelo inverso do segundo. Portanto

y = 1 s e n   x - 1 s e n   x = s e n   x s e n   x - 1

Beleza, chegamos numa expressão bem mais amigável

y = s e n   x s e n   x - 1

Passo 2

No enunciado, temos a informação que   s e n   x = 1 3 . Então vamos utilizar isso agora

y = s e n   x s e n   x - 1 = 1 3 1 3 - 1 = 1 3 - 2 3

Novamente temos uma divisão de frações, então

y = 1 3   .   - 3 2

Que será igual a

y = - 1 2

A resposta certa será a Letra A

Resposta

Letra A

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Sendo f x = 1 + c o t g 2 x + π 6 , determine o período e o domínio da função

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Beleza, sabemos que o período da função cotangente é igual a π

Para determinarmos o período, pegaremos aquele número que está ao lado do x, no nosso caso é o 2. Faremos o seguinte

2 T = π

T = π 2

Show?

Passo 2

O domínio da função cotangente   g x = c o t g x é dado por

D g = x ∈ R x ≠ k π ,   c o m   k ∈ Z }  

Mas como o que está dentro do nosso parênteses no exercício é o

2 x + π 6

Então teremos que

2 x + π 6 ≠ k π

2 x ≠ k π - π 6

Ou seja,

x ≠ k π 2 - π 12 , c o m   k ∈ Z

Resposta

T = π 2           e         D f = x ∈ R x ≠ k π 2 - π 12 , c o m   k ∈ Z }  

Exercício Resolvido #4

Epcar 2012

Considere A o conjunto mais amplo possível na função real f : A → R , dada por

f x = s e n   x c o s s e c   x + cos ⁡ x sec ⁡ x

Sobre a função f é correto afirmar que

a) A = x ∈ R x ≠ k π 2 ,   k ∈ Z

b) é periódica com período igual a π

c) é decrescente se x ∈ R π 2 + 2 k π < x < π + 2 k π ,   k ∈ Z

d) é ímpar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa que vamos fazer, é procurar simplificar aquela função dada no enunciado. Temos:

f x = s e n   x c o s s e c   x + cos ⁡ x sec ⁡ x

Como c o s s e c   x = 1 s e n   x e s e c   x = 1 c o s   x , podemos escrever

f x = s e n   x 1 s e n   x   + cos ⁡ x 1 c o s   x

Que é igual a

f x = s e n   x     .     s e n   x + cos ⁡ x     .     cos ⁡ x  

Ou seja

f x = s e n   ²   x + c o s ²   x  

Uma função bem mais amigável que aquela do início, certo?

Passo 2

Lembra da relação fundamental da trigonometria?

Ela diz que

s e n   ²   x + c o s ²   x = 1

Portanto, aquela função que tínhamos lá no início pode ser escrita como

f x = 1

Que é uma função CONSTANTE.

Sendo assim, ela não é nem periódica, nem decrescente e muito menos ímpar

Só vai nos restar a letra A como resposta, uma vez que ela será válida para o domínio dado.

Resposta

Letra A.

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