Funções Trigonométricas – Parte 2

Teoria Completa

Na primeira parte nós falamos sobre as principais funções trigonométricas: Seno e Cosseno.

Agora veremos as funções que utilizam essas duas, funções que dependem delas. Na prática, usaremos muita coisa que já entendemos e teremos alterações principalmente na parte gráfica.

A primeira que veremos é a função tangente

Função Tangente

A função tangente é dada por

f x = t a n x = s e n x c o s ⁡ ( x )

Bom, agora a coisa complica mais um pouco. Para achar o domínio dessa função temos que ver os pontos problemáticos, isto é, os pontos em que o denominador é zero.

Porque NÃO existe divisão por zero!!!

O denominador da função zera quando o c o s ⁡ ( x ) zera, que acontece quando:

x = π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 ,   7 π 2 …

Generalizando, vemos que ocorre para:

x = π 2 + k π   ,   k ∈ Z

Logo o domínio da função tangente é:

D f = x ∈ R x ≠ π 2 + k π ,   c o m   k ∈ Z  

Quanto à imagem, nada limita essa tangente e, portanto, a imagem é sempre o conjunto dos números reais: I m = R

Por exemplo, se quisermos a imagem da função:

f ( x ) =   t g ( 5 x )

Ela também será igual ao conjunto dos números reais, assim como se multiplicássemos ou somássemos a função um determinado valor.

Como vimos antes, existem alguns valores para os quais a nossa função não estará definida, isso vai implicar em como será formado o nosso gráfico. Novamente vamos usar aquela tabelinha que tínhamos antes, com os valores notáveis

Observa que para aqueles valores que mostramos antes a função não existe, a medida que vamos nos aproximando mais dele, ele vai tendendo pro infinito

Por exemplo, se fizermos na calculadora a tangente de 89,9° encontraremos

t g   89,9 ° ≅ 572,95

Ao passo que

t g   89,999 ° ≅ 57295,77

E a medida que vamos nos aproximando do   90 ° π 2   r a d temos valores cada vez mais altos e isso vai se refletir no nosso gráfico também. Desenhando ele, fica assim ó

Um obs, essas linhas que estão tracejadas nós chamamos de assíntotas verticais. Além de ser um nome legal pra se usar com a família nos almoços de domingo, ela indica que a função se aproxima MUITO, mas não está definida para aqueles valores de x.

Observe que o período diferentemente do seno e do cosseno, será igual a π .

Isso significa que se quisermos determinar o período da função

g x = t g ( 5 x )

Teremos

5 T = π → T = π 5  

Além disso, dá pra ver uma simetria bonita em relação a origem, portanto, a função é impar e:

tg ⁡ - x = - tg ⁡ ( x )

Função Cotangente

A função cotangente é o inverso da função tangente, logo podemos escrevê-la como

f x = c o t g x = 1 t g ( x )

Além disso como a tangente é dada por

t g x = s e n x cos ⁡ x

A cotangente será o inverso, ou seja

c o t g x = c o s x s e n ⁡ ( x )

Para achar o domínio dessa função temos que ver os pontos em que o denominador é zero.

Porque NÃO existe divisão por zero!!!

O denominador da função zera quando o s e n ⁡ ( x ) zera, que acontece quando:

x = 0 , π , 2 π , 3 π ,   …

Generalizando, vemos que ocorre para:

x = k π   ,   k ∈ Z

Logo o domínio da função tangente é:

D f = x ∈ R x ≠ k π ,   c o m   k ∈ Z  

Quanto à imagem, nada limita essa tangente e, portanto, a imagem é sempre o conjunto dos números reais: I m = R

O gráfico dessa função será muito parecido com o da função tangente, mas como vimos o domínio será diferente.

O período será igual a   π igual ao da função tangente.

Observa como o gráfico será muito parecido

Só que nesse a curva vai para o lado contrário e as assíntotas(linhas tracejadas) estão em posições diferentes do gráfico da função tangente.

Função Secante e Cossecante

Chegamos nas últimas, eu prometo!

A função secante será dada por

f x = s e c x = 1 c o s ⁡ ( x )

Como temos o c o s ⁡ ( x ) no denominador, o domínio da função secante é o mesmo da função tangente, isto é

D f x = x ∈ R x ≠ π 2 + k π ,   c o m   k ∈ Z  

Quanto a imagem, temos o cosseno no denominador e no numerador o 1 . Considerando os valores positivos do cosseno, temos:

f x = 1 g ( x )

Onde 0 < g x ≤ 1 .

Se dividirmos o 1 por um número entre 0 e 1 sempre teremos um valor maior que 1 . Por exemplo:

1 0,5 = 2

De maneira análoga, considerando a parte negativa do cosseno, temos:

f x = 1 h ( x )

Onde - 1 ≤ h x < 0 .  

Se dividirmos o 1 por um número entre - 1 e 0 sempre teremos um valor menor que - 1 .Por exemplo:

1 - 0,5 =   - 2

Dessa forma, a imagem da função estará sempre fora do intervalo ( - 1,1 ) e será, portanto:

I m f = y ∈ R   y ∈   - 1,1 [

Não foi erro de digitação, o colchete ao contrário indica valores fora do intervalo.

A secante, assim como o cosseno, terá período 2 π e o gráfico será:

Simétrica em relação ao eixo y e, portanto, par:

sec ⁡ ( x ) = sec ⁡ - x

Já a cossecante será dada por

f x = c o s s e c x = 1 s e n ⁡ ( x )

A cossecante será muito parecida com a secante. Teremos apenas algumas diferenças

A primeira é que como agora o seno está no denominador, precisaremos tirar do domínio os valores em que ele é igual a zero. Isso acontecerá, por exemplo para

s e n   0 = s e n   π = s e n   2 π = 0

Generalizando para todos os reais, o domínio será

D f = x ∈ R x ≠ k π ,   c o m   k ∈ Z

O gráfico será MUITO parecido, mas com a diferença que a cossecante tem valor y = 1 para x = π 2 . O nosso gráfico fica assim ó

Pra você ver como eles são parecidos, olha eles lado a lado. O da secante está de azul

Além disso a função cossecante, é ímpar, pois é simétrica em relação a origem, portanto:

cossec ⁡ - x = - cossec ⁡ ( x )

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Exercício Resolvido #1

Mackenzie 2017

Os valores de x ( x ∈ R ) , para os quais a função   f x = 1 3   t g 3 x - π 4 não é definida, são

a)   π + k π ,   k ∈ Z

b) π 2 + k π ,   k ∈ Z

c)   3 π 4 + k π ,   k ∈ Z

d) π 4 + k π ,   k ∈ Z

e) π 4 + k π 3 ,   k ∈ Z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Em outras palavras, o que queremos com esse enunciado é encontrar o domínio da nossa função.

Para uma função g x = t g x

Temos que o domínio é igual a

D g = x   ∈ R   x ≠ π 2 + k π ,   c o m   k ∈ Z

Passo 2

No enunciado, temos que f x = 1 3   t g 3 x - π 4