Função Modular

Teoria Completa

Introdução

A função modular é uma função que transforma todo número dentro do módulo em um número positivo. Representamos-a da seguinte maneira:

f x = x

Onde x é o módulo de x . Podemos pensar no que é o módulo, módulo têm haver com calcular a distância de um número até o 0, como sabemos, não existe um tamanho negativo. A ideia dela é sempre deixar o cara positivo, vamos ver uns exemplos antes de falar mais coisas complexas rs.

Vamos começar achando 2 , isso é o módulo de 2 , ou seja, temos que pegar o 2 e deixar ele positivo, mas repara que ele já é positivo, então o módulo dele é ele mesmo:

2 = 2

Ou seja, a distância do 0 ao 2 é 2.

Agora vamos para - 3 , dessa vez o cara dentro do módulo é negativo, temos que trocar o seu sinal para fazer com que ele fique positivo, assim seu módulo vai ser 3 :

- 3 = - - 3 = 3

A distância do -3 ao 0 é 3

Repara que aquele menos na frente ao tirar o módulo, é isso que faz o sinal ficar positivo.

Entendeu a lógica? Sempre que o número for positivo, o seu módulo é ele mesmo, e sempre que um número for negativo nós vamos pegar o seu simétrico. Escrevendo isso com um pouco mais de rigorosidade vai ser:

f x = x = x s e x ≥ 0 - x s e x < 0

Essa é a ideia da função modular.

Funções dentro do módulo

Uma outra forma de se usar a função modular é se tiver uma função dentro da outra, por exemplo

f x = x 2 + 7 x + 12

Como vai ficar essa função? Vamos escrever a definição de módulo:

f x = x 2 + 7 x + 12 s e x 2 + 7 x + 12 ≥ 0 - x 2 + 7 x + 12 s e x 2 + 7 x + 12 < 0

Repara que fizemos a mesma coisa de antes: trocamos x pelo cara dentro do módulo. Mas isso não está nada arrumado ou fácil de entender. Temos que analisar aqueles intervalos da função. O que temos que fazer aqui é a análise de sinal desse cara dentro do módulo para saber quando ele é positivo, e quando ele é negativo, e esses são os intervalos da função.

Para a análise de sinal temos que fazer o gráfico dessa função, já vimos esse gráfico no exercício de fixação da parte de função de 2 º grau.

Assim vamos ter,

P o s i t i v o s e x ≤ - 4 o u x ≥ - 3 N e g a t i v o s e - 4 < x < - 3

Assim, para aquela nossa função com módulo vamos mudar onde ele diz positivo pelo intervalo que achamos, e onde ele diz negativo também.

f x = x 2 + 7 x + 12 s e x ≤ - 4 o u x ≥ - 3 - x 2 + 7 x + 12 s e - 4 < x < - 3

E pronto agora temos a nossa função direitinho. Meio estranho isso, mas é assim que se faz.

Gráfico envolvendo funções modulares

Aqui não é muito diferente do que fazíamos antes, quando temos uma função envolvendo coisas modulares.

A primeira coisa é separá-la pela definição:

f x = x 2 + 7 x + 12

Leva a:

f x = x 2 + 7 x + 12 s e x ≤ - 4 o u x ≥ - 3 - x 2 + 7 x + 12 s e - 4 < x < - 3

Depois é só fazer o gráfico das partes. Vamos fazer a parte positiva, ou seja, em x ≤ - 4 ou x ≥ - 3 .

Isso é uma função de segundo grau, se fosse o intervalo completo o gráfico seria:

Mas aquela parte ali do meio, entre - 4 e - 3 não está, então temos que tirar essa parte:

Falta aquele pedaço do meio, o gráfico é igual a esse azul só que com todo mundo de sinal trocado, também se fosse o intervalo todo seria:

Mas só queremos aquela parte entre - 4 e - 3 , ficando:

Juntando tudo, o gráfico vai ficar:

Beleza? Lembre-se, se você ficar com dúvida nessa parada do módulo usa a definição de função modular que é sucesso.

Domínio e imagem

A presença do módulo não afeta o domínio da função, ou seja, o domínio de uma função polinomial, racional, exponencial ou logarítmica será o mesmo com ou sem módulo.

Já para a imagem, teremos mudanças. Como o módulo faz com que o valor seja sempre positivo, para a função mais geral f x = x , teremos:

I m f = y ∈ R   |   y ≥ 0

Ou simplesmente:

I m f = R +

Para não faltar nada...

A função modular é uma “fórmula” matemática que vai ajudar a evitar problemas em contas matemáticas, o exemplo mais clássico é quando temos a raiz de um número ao quadrado:

x 2

Normalmente você ia pensar, aaah é só “cortar” a raiz com o quadrado que vai dar x . Olha, isso está errado, na verdade o resultado é o módulo de x . Isso é para que a o resultado de uma raiz quadrada seja sempre positiva, então fique ligado:

x 2 = x

Sempre precisa desse módulo, se não a conta pode dar errado.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o domínio da função definida em R por:

f x = | x 2 + 8 x + 7 |

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, os valores pertencentes ao domínio dessa função são os valores de x que satisfazem

x 2 + 8 x + 7 ≥ 0

Porem essa equação é maior ou igual a zero para todo x ∈ R logo, temos que

D = R

Resposta

D = R

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Construir o gráfico da função definida em R por:

f x = x + 2 - 2 x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom para fazer o gráfico de uma função modular a primeira coisa que temos que fazer é fazer aqueles módulos pela definição, e depois vamos somar os pedaços das funções.

Assim

x + 2 = x + 2 s e x + 2 ≥ 0 - x + 2 s e x + 2 < 0

x + 2 = x + 2 s e x ≥ - 2 - x - 2 s e x < - 2

A outra parte vai ficar

2 x - 2 = 2 x - 2 s e 2 x - 2 ≥ 0 - 2 x - 2 s e 2 x - 2 < 0

2 x - 2 = 2 x - 2 s e x ≥ 1 - 2 x + 2 s e x < 1

Passo 2

Agora é só jogar isso de volta na fórmula da função para fazermos isso direitinho. Antes disso, vamos entender os intervalos que apareceram. Vamos ter 3 partes, uma menor que - 2 , outra entre - 2 e 1 e outra maior que 1 .

x < - 2 - 2 ≤ x < 1 x ≥ 1

A nossa função vai ser

f x = ? ? s e x < - 2 ? ? s e - 2 ≤ x < 1 ? ? s e x ≥ 1

Temos que ir vendo como é cada função daquelas do módulo nos intervalos, vamos olhar uma coisa de cada vez

Começando com x < - 2 , aqui vamos ter, olhando a definição de módulo

x + 2 = - x - 2

2 x - 2 = - 2 x + 2

Vamos ter, para x < - 2

f x = - x - 2 - - 2 x + 2

f x = - x - 2 + 2 x - 2

f x = x - 4

Passo 3

agora com - 2 ≤ x < 1 , aqui vamos ter, olhando a definição de módulo

x + 2 = x + 2

2 x - 2 = - 2 x + 2

Vamos ter, para o nosso intervalo

f x = x + 2 - - 2 x + 2

f x = x + 2 + 2 x - 2

f x = 3 x

Passo 4

Vamos para x ≥ 1 , aqui vamos ter, olhando a definição de módulo

x + 2 = x + 2

2 x - 2 = 2 x - 2

Vamos ter, para o nosso intervalo

f x = x + 2 - 2 x - 2

f x = x + 2 - 2 x + 2

f x = - x + 4

Passo 5

Agora que vimos as partes, vamos escrever a nossa função

f x = x - 4 s e x < - 2 3 x s e - 2 ≤ x < 1 - x + 4 s e x ≥ 1

Temos 3 funções de primeiro grau aqui, que são retas, então vamos pegar dois pontos em cada intervalo para fazer o gráfico,

Primeiro com x < - 2

x = - 2 → f - 2 = - 2 - 4 = - 6

x = - 3 → f - 3 = - 3 - 4 = - 7

O gráfico dessa parte vai ficar

Lembra que temos que parar o gráfico em x = - 2 , mas o valor nesse ponto não entra na conta, por isso coloquei aquela bola aberta

Agora com - 2 ≤ x < 1

x = - 2 → f - 2 = 3 ∙ - 2 = - 6

= x = 0 → f 0 = 3 ∙ 0 = 0

O gráfico dessa parte vai ficar

Lembrando que aqui temos que incluir o valor do extremo em x = - 2 , mas excluir a parte em x = 1

Para a última parte, onde x ≥ 1 , vamos ter

x = 1 → f 1 = - 1 + 4 = 3

x = 2 → f 2 = - 2 + 4 = 2