Introdução aos polinômios

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Teoria

Fala galera! Vamos falar um pouco de alguém que você vai querer como amigo, porque você vai ver toda hora a partir de agora: os polinômios.

Os polinômios estão com tudo e merecendo até um capítulo só para eles. Mas, não é à toa. Os caras estão em todas! Então é melhor ficar bem ligado.

Então vamos lá:

Os polinômios são expressões como:

x 5 + 2 x - 1

x 2 - 2 x

x - 1

Sabe o que tem em comum nesses termos? Vários x elevados a algum número sendo somados!

Ou seja, um polinômio é qualquer expressão na forma: a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + … + a 1 x + a 0

Onde os a ’s são constantes reais, podendo valer zero. Tipo assim, a 1 = 1 , a 2 = 0 e a 3 = 4 ...

As potências de x , números sempre naturais.

Ou seja, não são polinômios:

x 3 + 2 x

x 5 / 2 + 1

Pois tem expoentes não-naturais.

Ordem do polinômio

Até aqui, tudo bem? Então, vamos continuar. A ordem do polinômio é igual ao exponente da potência mais alta com coeficiente não nulo do polinômio, ou seja:

x 2 + 2 x + 1

É um polinômio de grau ou ordem 2 (ou de segundo grau), ao passo que:

0 ⋅ x 4 + 2 x 3 + 1

É um polinômio de grau 3 , pois há um zero multiplicando aquele x 4 lá e isso não vale!

Nomenclatura

O termo “poli” de polinômio indica várias. Várias o que? Várias potências de base x .

Assim, quando temos somente uma potência presente, podemos chamar o polinômio de monômio, como “mono” de único, como em:

x 2

Há também, binômios, com dois:

x 3 + 1

E assim sucessivamente até o cara que fez a questão cansar de contar e falar que é polinômio mesmo.

Valor Numérico

Pessoal, agora se segurem nas cadeiras que vamos ver um tópico muito difícil! Mentira, você vai ver que é mel na chupeta! Imagina que temos o seguinte polinômio:

x 3 + 2 x 2 - 1

Muitas vezes, ele vai ser representado com P ( x ) , ou seja:

P x = x 3 + 2 x 2 - 1

Daí, o cara te pergunta: qual o valor do polinômio quando x = 1 ?

O que você precisa fazer? Simples, só colocar o 1 aonde tiver x e fazer as contas

1 3 + 2.1 2 - 1 = 2

Representamos assim

P 1 = 2

Igualdade de polinômios

Bom, agora vou te contar uma parada que é pra você não ser mais enganado de forma alguma! Se liga:

x 2 + 2 x + 1

x 2 + 3 x + 1

Se eu te disser que esses dois polinômios são iguais, você acredita? NÃO ACREDITE, É MENTIRA!

Cara, dois polinômios são iguais quando TODOS os seus coeficientes são iguais! Então:

x 2 + 2 x + 1

x 2 + 2 x

NÃO SÃO IGUAIS, pois o termo independente é diferente. Preste atenção nesse detalhe!

Aplicações

Meu anjo, eu sei que você deve estar pensando: “Mas por que raios isso aparece sempre?” “Por que eu estudo isso desde que eu me entendo por gente”

A resposta é a seguinte: OS POLINÔMIOS ESTÃO POR TODA PARTE!

Tipo, se eu te digo que tenho um quadrado de lado L e te pergunto a área dele, o que você me diz?

L 2

Isso é um polinômio!!! E se eu te pergunto o perímetro?

4 L

Também é um polinômio! Então, tipo, não menospreze! Ele é muito é importante e provavelmente é a coisa que você mais usou na sua vida inteira!

Agora, partiu exercícios!

Nomenclatura

Valor Numérico

Igualdade de polinômios

Aplicações

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Classifique como polinômio ou não

a )   2 x 3 + x + 4

b )   x 3 + 3 x - 4

c ) 1 x 2 + 2 x

d )   x 1.3 + x - 7

Passo 1

(a)

Temos aí coeficientes constante e x com expoentes sempre naturais ( 3,1 , 0 ) . Logo, é um polinômio.

Passo 2

(b)

Temos uma raiz em cima do x 3 , levando a:

x 3 = x 3 1 2 = x 3 2

Como 3 / 2   não é natural, não se trata de um polinômio.

Passo 3

(c)

Temos um termo 1 / x 2 que é a mesma coisa que:

x - 2

Como - 2 não é natural, não é um polinômio.

Passo 4

(d)

Novamente temos aí 1.3 que não é natural, logo também não será um polinômio.

Resposta

a) Polinômio

b) Não-polinômio

c) Não-polinômio

d) Não-polinômio

Exercício Resolvido #2

Dados os polinômios P x = x 4 - 3 x 2 + 7 x e Q x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 , determine:

a   P x + Q ( x )

b   P x . Q ( x )

c   Q x - P ( x )

Diga qual o grau de cada polinômio encontrado nas alternativas.

Passo 1

FAAAAALA AÍ, meu aluno mais dedicado ever!!! Bora começar essa questãozinha do começo:

a   P x + Q x

Ora, você lembra quem são esses caras?

P x = x 4 - 3 x 2 + 7 x

Q x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

Show, agora para somar esses caras, basta somarmos os termos semelhantes:

P x + Q x = x 4 - 3 x 2 + 7 x + 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

P x + Q x = 9 x 5 + 1 - 3 x 4 + 2 x 3 + - 3 + 1 x 2 + 7 x - 1

P x + Q x = 9 x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 7 x - 1

Bom, o grau desse polinômio que encontramos é a potência de maior valor, que no nosso caso é 5 . Logo, o grau do polinômio é 5 .

Passo 2

Bora pra próxima!

b   P x . Q x

Agora precisamos fazer a multiplicação entre os polinômios:

P x . Q x = x 4 - 3 x 2 + 7 x . 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

É só fazer o chuveirinho:

P x . Q x = x 4 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - 3 x 2 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 + 7 x 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 + 2 x 7 + x 6 - x 4 - 27 x 7 + 9 x 6 - 6 x 5 - 3 x 4 + 3 x 2 + 63 x 6 - 21 x 5 + 14 x 4 + 7 x 3 - 7 x

Finalmente, juntando os termos:

P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 - 2 5 x 7 + 73 x 6 - 27 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 3 x 2 - 7 x

Prontinho. E o grau desse polinômio é 9 .

Lembrando que para o grau de um produto de polinômios, basta somar o grau de cada um.

No nosso caso: grau de P x é 4 e o grau de Q ( x ) é 5 . Logo, o grau de P x . Q x = 4 + 5 = 9 .

Passo 3

Dá uma olhada nessa última:

c   Q x - P ( x )

Agora nós vamos subtrair um polinômio do outro:

Q x - P x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - x 4 - 3 x 2 + 7 x

Não se esqueça, só operamos os termos semelhantes (que têm o mesmo grau):

Q x - P x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - x 4 + 3 x 2 - 7 x

Q x - P x = 9 x 5 - 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 - 7 x - 1

E o grau desse amigo é 5 , que é o maior expoente.

Resposta

a   P x + Q x = 9 x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 7 x - 1   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   5

b   P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 - 25 x 7 + 73 x 6 - 27 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 3 x 2 - 7 x   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   9

c   Q x - P x = 9 x 5 - 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 - 7 x - 1   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   5

Exercício Resolvido #3

Seja

P x = 2 x 3 + 3 x 2 + x + 4

Então dê o valor de P 1 ,   P ( - 2 ) e P ( 0 ) .

Passo 1

Se P x = 2 x 3 + 3 x 2 + x + 4 , para achar P ( 1 ) , basta substituir x por 1 :

P 1 = 2 1 3 + 3 1 2 + 1 + 4 = 10

Passo 2

Da mesma maneira:

P - 2 = 2 - 2 3 + 3 - 2 2 - 2 + 4 = 2 ⋅ - 8 + 3 ⋅ 4 - 2 + 4 = - 2

Passo 3

E também:

P 0 = 2 0 3 + 3 0 2 + 0 + 4 = 4

Resposta

P 1 = 10

P - 2 = - 2

P 0 = 4

Exercício Resolvido #4

Determine m para que P x = m - 3 x 3 + m 2 - 9 x 2 + m + 3 x + 3 seja um polinômio do segundo grau.

Passo 1

FAAAALA AÍ!!! Bora resolver essa questão. Bom, para termos um polinômio do segundo grau, precisamos que a maior potência seja 2 .

Então, o coeficiente que acompanha o x 3 tem que ser IGUAL a 0 e o que acompanha x 2 tem quer DIFERENTE de 0 .

Ora, quem acompanha o x 3 é ( m - 3 ) , então:

m - 3 = 0

Temos que:

m = 3

E quem acompanha o x 2 é m 2 - 9 , então:

m 2 - 9 ≠ 0

m ≠ 3   e   m ≠ - 3

Passo 2

Ora, eu estou confusa. Para ser um polinômio do segundo grau, descobrimos que m = 3 e m ≠ 3 ao mesmo tempo, então NÃO EXISTE m que satisfaça essa condição, portanto, não temos como ter um polinômio do segundo grau nesse caso,

Resposta

Não existe m que faça com que o polinômio seja do segundo grau.

Exercício Resolvido #5

Determine A e B para que os polinômios P x = A + 2 B x 2 + ( 2 B - A ) x + 1 e Q x = 3 x 2 + x + 1 sejam iguais.

Passo 1

OI, MEU AMOOOOR!!! (Tomara que seu crush não seja ciumento)

Para ter uma igualdade entre polinômios, é necessário que TODOS os seus coeficientes sejam iguais.

Então, se queremos que esses polinômios P ( x ) e Q ( x ) sejam iguais, vamos tentar encontrar valores para A e B que satisfaçam essa condição.

A + 2 B = 3 2 B - A = 1 1 = 1

Concorda comigo? Eu igualei todos os coeficientes dos termos de cada polinômio.

Perceba que se os termos independentes fossem diferentes, já nem adiantaria tentar encontrar A e B , pois esses polinômios já seriam diferentes. Por este motivo eu coloquei ali um 1 = 1 , para você ver que podemos prosseguir com nosso cálculo.

Passo 2

Agora é resolver o sistema! Somando as duas primeiras equações, temos:

4 B = 4

B = 1

E portanto:

A + 2.1 = 3

A = 1

Logo, para que P ( x ) e Q ( x ) sejam iguais, precisamos que: A = B = 1 .

Resposta

A = 1

B = 1

Exercício Resolvido #6

O perímetro de um triângulo retângulo é 6 e a hipotenusa é x . Exprima a área do triângulo como função de x .

Passo 1

Olááá, meu anjo! Como eu te disse na teoria, é muito comum, em polinômios, aparecer questões de modelagem de área ou volume, etc.

Primeiramente, vamos desenhar o que temos até agora:

Esse é o desenho! Agora vamos escrever matematicamente o que ele diz em “o perímetro é 6 ”:

a + b + x = 6

E quando ele diz que é um triângulo retângulo, podemos assumir:

x 2 = a 2 + b 2

Passo 2

Maneiro, e o que queremos é:

Á r e a   d o   t r i â n g u l o = 1 2 b a s e × a l t u r a

S = a . b 2

Vamos ter que manipular as duas equações que temos para obter esse produto a . b em função de x .

Passo 3

Comecemos com a seguinte equação:

a + b + x = 6

Bom, a gente sabe que na outra equação temos um a 2 + b 2 , e a única forma desses termos aparecerem é se fizermos as seguintes manipulações:

a + b = 6 - x

a + b 2 = 6 - x 2

a 2 + 2 a . b + b 2 = 6 - x 2

E olha só o que apareceu!!!

a 2 + b 2 + 2 a . b = 6 - x 2

Eu não expandi o lado direito da igualdade por não haver nada que vá nos ajudar!

Passo 4

Agora, da outra equação temos:

a 2 + b 2 = x 2

Então podemos substituir essa relação nesta equação:

a 2 + b 2 + 2 a . b = 6 - x 2

Substituindo:

x 2 + 2 a . b = 6 - x 2

OPAAAAAA, encontramos a . b em função de x !!! Ainda não viu? Saca só:

2 a . b = 6 - x 2 - x 2

Ao simplificarmos os termos, ficamos com:

2 a . b = x 2 - 12 x + 36 - x 2

2 a . b = 36 - 12 x

Dividindo todo mundo por 2, ficamos assim:

a . b = 18 - 6 x

Passo 5

Finalmente, substituindo onde queríamos desde o início:

S = a . b 2

S = 18 - 6 x 2

S = 9 - 3 x

Resposta

S = 9 - 3 x