Introdução aos polinômios

Teoria Completa

Fala galera! Vamos falar um pouco de alguém que você vai querer como amigo, porque você vai ver toda hora a partir de agora: os polinômios.

Os polinômios estão com tudo e merecendo até um capítulo só para eles. Mas, não é à toa. Os caras estão em todas! Então é melhor ficar bem ligado.

Então vamos lá:

Os polinômios são expressões como:

x 5 + 2 x - 1

x 2 - 2 x

x - 1

Sabe o que tem em comum nesses termos? Vários x elevados a algum número sendo somados!

Ou seja, um polinômio é qualquer expressão na forma: a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + … + a 1 x + a 0

Onde os a ’s são constantes reais, podendo valer zero. Tipo assim, a 1 = 1 , a 2 = 0 e a 3 = 4 ...

As potências de x , números sempre naturais.

Ou seja, não são polinômios:

x 3 + 2 x

x 5 / 2 + 1

Pois tem expoentes não-naturais.

Ordem do polinômio

Até aqui, tudo bem? Então, vamos continuar. A ordem do polinômio é igual ao exponente da potência mais alta com coeficiente não nulo do polinômio, ou seja:

x 2 + 2 x + 1

É um polinômio de grau ou ordem 2 (ou de segundo grau), ao passo que:

0 ⋅ x 4 + 2 x 3 + 1

É um polinômio de grau 3 , pois há um zero multiplicando aquele x 4 lá e isso não vale!

Nomenclatura

O termo “poli” de polinômio indica várias. Várias o que? Várias potências de base x .

Assim, quando temos somente uma potência presente, podemos chamar o polinômio de monômio, como “mono” de único, como em:

x 2

Há também, binômios, com dois:

x 3 + 1

E assim sucessivamente até o cara que fez a questão cansar de contar e falar que é polinômio mesmo.

Valor Numérico

Pessoal, agora se segurem nas cadeiras que vamos ver um tópico muito difícil! Mentira, você vai ver que é mel na chupeta! Imagina que temos o seguinte polinômio:

x 3 + 2 x 2 - 1

Muitas vezes, ele vai ser representado com P ( x ) , ou seja:

P x = x 3 + 2 x 2 - 1

Daí, o cara te pergunta: qual o valor do polinômio quando x = 1 ?

O que você precisa fazer? Simples, só colocar o 1 aonde tiver x e fazer as contas

1 3 + 2.1 2 - 1 = 2

Representamos assim

P 1 = 2

Igualdade de polinômios

Bom, agora vou te contar uma parada que é pra você não ser mais enganado de forma alguma! Se liga:

x 2 + 2 x + 1

x 2 + 3 x + 1

Se eu te disser que esses dois polinômios são iguais, você acredita? NÃO ACREDITE, É MENTIRA!

Cara, dois polinômios são iguais quando TODOS os seus coeficientes são iguais! Então:

x 2 + 2 x + 1

x 2 + 2 x

NÃO SÃO IGUAIS, pois o termo independente é diferente. Preste atenção nesse detalhe!

Aplicações

Meu anjo, eu sei que você deve estar pensando: “Mas por que raios isso aparece sempre?” “Por que eu estudo isso desde que eu me entendo por gente”

A resposta é a seguinte: OS POLINÔMIOS ESTÃO POR TODA PARTE!

Tipo, se eu te digo que tenho um quadrado de lado L e te pergunto a área dele, o que você me diz?

L 2

Isso é um polinômio!!! E se eu te pergunto o perímetro?

4 L

Também é um polinômio! Então, tipo, não menospreze! Ele é muito é importante e provavelmente é a coisa que você mais usou na sua vida inteira!

Agora, partiu exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Classifique como polinômio ou não

a )   2 x 3 + x + 4

b )   x 3 + 3 x - 4

c ) 1 x 2 + 2 x

d )   x 1.3 + x - 7

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Passo 1

(a)

Temos aí coeficientes constante e x com expoentes sempre naturais ( 3,1 , 0 ) . Logo, é um polinômio.

Passo 2

(b)

Temos uma raiz em cima do x 3 , levando a:

x 3 = x 3 1 2 = x 3 2

Como 3 / 2   não é natural, não se trata de um polinômio.

Passo 3

(c)

Temos um termo 1 / x 2 que é a mesma coisa que:

x - 2

Como - 2 não é natural, não é um polinômio.

Passo 4

(d)

Novamente temos aí 1.3 que não é natural, logo também não será um polinômio.

Resposta

a) Polinômio

b) Não-polinômio

c) Não-polinômio

d) Não-polinômio

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Dados os polinômios P x = x 4 - 3 x 2 + 7 x e Q x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 , determine:

a   P x + Q ( x )

b   P x . Q ( x )

c   Q x - P ( x )

Diga qual o grau de cada polinômio encontrado nas alternativas.

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Passo 1

FAAAAALA AÍ, meu aluno mais dedicado ever!!! Bora começar essa questãozinha do começo:

a   P x + Q x

Ora, você lembra quem são esses caras?

P x = x 4 - 3 x 2 + 7 x

Q x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

Show, agora para somar esses caras, basta somarmos os termos semelhantes:

P x + Q x = x 4 - 3 x 2 + 7 x + 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

P x + Q x = 9 x 5 + 1 - 3 x 4 + 2 x 3 + - 3 + 1 x 2 + 7 x - 1

P x + Q x = 9 x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 7 x - 1

Bom, o grau desse polinômio que encontramos é a potência de maior valor, que no nosso caso é 5 . Logo, o grau do polinômio é 5 .

Passo 2

Bora pra próxima!

b   P x . Q x

Agora precisamos fazer a multiplicação entre os polinômios:

P x . Q x = x 4 - 3 x 2 + 7 x . 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

É só fazer o chuveirinho:

P x . Q x = x 4 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - 3 x 2 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 + 7 x 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1

P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 + 2 x 7 + x 6 - x 4 - 27 x 7 + 9 x 6 - 6 x 5 - 3 x 4 + 3 x 2 + 63 x 6 - 21 x 5 + 14 x 4 + 7 x 3 - 7 x

Finalmente, juntando os termos:

P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 - 2 5 x 7 + 73 x 6 - 27 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 3 x 2 - 7 x

Prontinho. E o grau desse polinômio é 9 .

Lembrando que para o grau de um produto de polinômios, basta somar o grau de cada um.

No nosso caso: grau de P x é 4 e o grau de Q ( x ) é 5 . Logo, o grau de P x . Q x = 4 + 5 = 9 .

Passo 3

Dá uma olhada nessa última:

c   Q x - P ( x )

Agora nós vamos subtrair um polinômio do outro:

Q x - P x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - x 4 - 3 x 2 + 7 x

Não se esqueça, só operamos os termos semelhantes (que têm o mesmo grau):

Q x - P x = 9 x 5 - 3 x 4 + 2 x 3 + x 2 - 1 - x 4 + 3 x 2 - 7 x

Q x - P x = 9 x 5 - 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 - 7 x - 1

E o grau desse amigo é 5 , que é o maior expoente.

Resposta

a   P x + Q x = 9 x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 7 x - 1   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   5

b   P x . Q x = 9 x 9 - 3 x 8 - 25 x 7 + 73 x 6 - 27 x 5 + 10 x 4 + 7 x 3 + 3 x 2 - 7 x   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   9

c   Q x - P x = 9 x 5 - 4 x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 - 7 x - 1   e   o   p o l i n ô m i o   t e m   g r a u   5

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Seja

P x = 2 x 3 + 3 x 2 + x + 4

Então dê o valor de P 1 ,   P ( - 2 ) e P ( 0 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se P x = 2 x 3 + 3 x 2 + x + 4 , para achar P ( 1 ) , basta substituir x por 1 :

P 1 = 2 1 3 + 3 1 2 + 1 + 4 = 10

Passo 2

Da mesma maneira:

P - 2 = 2 - 2 3 + 3 - 2 2 - 2 + 4 = 2 ⋅ - 8 + 3 ⋅ 4 - 2 + 4 = - 2

Passo 3

E também:

P 0 = 2 0 3 + 3 0 2 + 0 + 4 = 4