Teoria Completa
FAAAAAALA AÍ, ANJINHO DO RESPONDE AÍ!
Hoje vamos falar um pouco de produtos notáveis. Mas o que que é isso?
Isso é uma técnica que troca uma soma ou subtração de termos por produtos! Existem alguns casos que precisamos estudar, casos principais. Então vamos lá!
Fator comum em evidência
Dá uma olhada nessa soma
Repara que cada parcela da soma tem um certo? Então, elas possuem o como fator comum.
Beleza, agora que identificamos isso, vamos colocar o em evidência para deixar essa soma na sua forma fatorada
“Ah, mas eu tenho medo de estar fazendo errado!”
Ora, para você saber se está no caminho certo, basta realizar a operação e checar se você chega no mesmo lugar.
Perfeito! Vamos seguir.
Agrupamento
Dá uma olhada nessa soma:
Elas não têm nenhum termo em comum, mas se olharmos os dois primeiros termos, podemos fatorar como já vimos
Os outros termos, tem o em comum, então podemos fatorar também
Vamos reescrever essa soma
Repara que agora as duas parcelas têm o mesmo termo entre parênteses, o .
Podemos colocar esse em evidência
Isso é o agrupamento, quando temos somas com termos em comum, e depois conseguimos por um termo de cada soma em evidência.
Diferença de quadrados
Vai vir algo tipo assim:
Tá vendo que temos dois termos ao quadrado e uma subtração entre eles? Nesse caso vai ser
Pois bem, por isso chamamos de diferença de quadrados!
E então a forma fatorada será:
Tá vendo como a subtração de dois termos virou o produto de outros dois? De uma forma mais geral, quando temos
Olha esse exemplo:
“Ah, pronto! Eu estava crente que já havia entendido e você vem com essa!”
Relaxa, coloquei esse exemplo porque não quero que você grave como “o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo”. ISSO PODE TE ENGANAR.
Grave assim: “o quadrado de quem conserva o sinal menos o quadrado de quem não conserva”
No nosso caso:
O número conservou o sinal, ou seja, tem o sinal de nas duas parcelas e o não conservou o sinal, já que ele mudou o sinal de uma parcela pra outra. Então:
Quadrados perfeitos
Vai vir algo assim:
Então a forma fatorada será:
Ele vai ter sempre essa carinha, beleza?
A mesma coisa serve para:
Cubo perfeito
Vamos ter expressões elevadas a 3, mas você vai tirar de letra. Acompanha aqui o raciocínio
Quando temos
É a mesma ideia do quadrado perfeito, só que agora é o cubo perfeito.
Sua forma fatorada vai ser:
Mesma coisa pra subtração...
Soma e Subtração de cubos
Por constatação temos que as seguintes relações são verdadeiras:
Ta lindo! Cansou? Corre ali, toma um café, come uma parada e volta pra a gente começar os exercícios, porque você usará BASTANTE essas relações (pode ter certeza!!).
Algumas observações
É importante que você não confunda com ou com . São duas coisas totalmente diferentes:
Toda vez que você erra isso, uma ovelhinha morre. Pense nisso!
Vou deixar aqui algumas relações também de potenciação e radiciação:
Só vem! :D
Exercício Resolvido #1
Fatore as seguintes expressões:
Passo 1
Bora começar do começo, ok?
Opa, 4 termos! No que eu te falei para pensar? Agrupamento!
Vamos tentar isolar o que se repete, como por exemplo as expressões e .
Passo 2
O fator também se repete!
Podemos melhorar isso aí, fazendo:
Show! Bora para próxima!
Passo 3
Ok, vamos fatorar essa belezinha aí.
Pegando o enunciado e reorganizando, encontramos:
Que pode ser escrito na forma:
Passo 4
Agora repare que:
Então a expressão vai ficar assim:
Daí é só botar o em evidência:
Passo 5
Dá uma olhada nessa última:
Antes de tudo, não se assuste com o e o , vamos trata-los como números quaisquer e chamá-los de e , respectivamente:
Reescrevendo da seguinte forma:
Passo 6
E daí vamos agrupar:
Isso é simplesmente:
Ou, voltando para as variáveis que substituímos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Vamos treinar algumas propriedades. Simplifique os termos a seguir:
Passo 1
Olááá, meu bem! Esse exercício é apenas para testarmos sua capacidade de simplificar termos com potências e raízes. Não se desespere, é apenas prática. Começando do começo:
Vamos primeiramente juntar os termos semelhantes:
E agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de potências. Você lembra qual é?
Então:
Prontinho!
Passo 2
Bora para a próxima:
Bom, começando com multiplicação de frações, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador:
E agora vamos usar a propriedade da multiplicação de potência :
Aqui eu usei a propriedade de que
E agora, usando o fato de que :
Finalmente, sabendo que :
Passo 3
Dá uma olhada nessa:
Particularmente, eu não gosto muito de raiz, eu acho o expoente inteiro muito mais bonitinho. Então, eu vou escrever aquela raiz da seguinte forma:
Concorda comigo? Apenas usei a propriedade da radiciação .
Agora, temos uma potência de potências. O que fazemos? Faremos chover dentro dos parênteses em cada termo:
Lembrando que :
Agora é só multiplicar essas belezuras:
Usando a propriedade :
Passo 4
Paciência, que nós já estamos no fim! Olha a próxima:
Bom, primeiramente, simplificando aquela fração, temos:
Aqui, usamos a propriedade
Bom, não temos muito mais o quê simplificar, então a resposta é essa mesma.
“Nossa, que exemplo fraco”
Na verdade, ele está aqui de propósito, para que você veja que nem sempre você consegue simplificar tudo bonitinho, algumas coisas são esquisitas e esquisitas elas permanecerão.
Passo 5
A última, finalmente, porém não menos importante:
Aqui temos a seguinte situação:
Além disso:
Então:
Colocando em evidência:
Prontinho! Ufa!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Simplifique as expressões fracionárias:
Passo 1
Olááá, meu anjinho! Tudo bem? Vamos fazer essa questão pra você ficar craque em fatoração!
É como eu sempre digo, vamos começar do começo:
Bom, vamos começar simplificando aquele com o :
Temos uma divisão de polinômios, vamos tentar fatorar os termos. Perceba que não temos o que fazer no denominador, mas no numerador podemos lembrar daquele produto notável:
Então:
Pronto!
Passo 2
Dá uma olhada nesse bichinho lindo agora:
Simplificando os números divisíveis por na primeira fração:
Escreveremos da seguinte forma:
Bom, simplificando o e colocando o em evidência:
Olha que beleza, agora podemos cortar aquele termo :
Pronto, bora pra última!
Passo 3
Finalmente, a última:
Eita ferro! Esse é um monstro! Hahahaha são os meus preferidos! Bora lá!
Vou sair escrevendo na forma de produto notável tudo que eu conseguir!
Agora colocando isso na fração:
Vamos cortar o termo e colocar o em evidência na primeira fração:
Simplificando os termos e :
Pronto!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Fatore:
Passo 1
Vamos tratar do denominador isoladamente, para começar. Deixamos também o em evidência para tudo ficar mais claro:
Perceba que dentro do parêntese temos um quadrado perfeito de duas variáveis e :
Substituindo na expressão original:
Podemos simplificar isso aí:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Fatora Aí:
Passo 1
Quando uma fatoração não está bem clara pra gente, vale a pena a gente tentar manipular algumas equações, como trocando de lugar algumas coisas pra ver se fica mais claro, ou somando e subtraindo algum valor, enfim. Nesse caso, podemos reescrever essa equação por:
Passo 2
Opa! Calma aí! Isso parece alguma coisa que a gente já conhece, não?
Chama o de, sei lá, . Teremos:
Wow! Agora temos a nossa famosa diferença de quadrados e podemos substituir por:
Passo 3
Substituindo novamente o , vai sobrar...
Resposta
Exercício Resolvido #6
Fatora Aí:
Passo 1
Xiih! Me parece esquisito isso. Não conheço nenhuma fatoração com coisas elevado a 6! Mas pera ai, podemos escrever
Então,
Passo 2
Se tivesse uma parada tipo seria molezinha, era só substituir na fórmula .
Opa, mas pera! Podemos fazer umas substituiçõezinhas e chegar nisso, não?
Se a gente chamasse o de e de , teríamos:
Wow! Agora é só tacar lá as substituições que já encontramos.
E é isso aí! :}