Produtos Notáveis e Fatoração

Teoria Completa

FAAAAAALA AÍ, ANJINHO DO RESPONDE AÍ!

Hoje vamos falar um pouco de produtos notáveis. Mas o que que é isso?

Isso é uma técnica que troca uma soma ou subtração de termos por produtos! Existem alguns casos que precisamos estudar, casos principais. Então vamos lá!

Fator comum em evidência

Dá uma olhada nessa soma

2 x + 2 y

Repara que cada parcela da soma tem um 2 certo? Então, elas possuem o 2 como fator comum.

Beleza, agora que identificamos isso, vamos colocar o 2 em evidência para deixar essa soma na sua forma fatorada

2 x + 2 y = 2 x + y

“Ah, mas eu tenho medo de estar fazendo errado!”

Ora, para você saber se está no caminho certo, basta realizar a operação e checar se você chega no mesmo lugar.

2 x + y = 2 x + 2 y

Perfeito! Vamos seguir.

Agrupamento

Dá uma olhada nessa soma:

2 x + 2 y + x 2 + x y

Elas não têm nenhum termo em comum, mas se olharmos os dois primeiros termos, podemos fatorar como já vimos

2 x + 2 y = 2 x + y

Os outros termos, tem o x em comum, então podemos fatorar também

x 2 + x y = x x + y

Vamos reescrever essa soma

2 x + 2 y + x 2 + x y = 2 x + y + x x + y

Repara que agora as duas parcelas têm o mesmo termo entre parênteses, o x + y .

Podemos colocar esse x + y em evidência

2 x + y + x x + y = x + y 2 + x

Isso é o agrupamento, quando temos somas com termos em comum, e depois conseguimos por um termo de cada soma em evidência.

Diferença de quadrados

Vai vir algo tipo assim:

x 2 - 9

Tá vendo que temos dois termos ao quadrado e uma subtração entre eles? Nesse caso vai ser

x 2 - 3 2

Pois bem, por isso chamamos de diferença de quadrados!

E então a forma fatorada será:

x 2 - 3 2 = x - 3 ( x + 3 )

Tá vendo como a subtração de dois termos virou o produto de outros dois? De uma forma mais geral, quando temos

x 2 - a 2 = ( x - a ) ( x + a )

Olha esse exemplo:

- x + 2 x + 2

“Ah, pronto! Eu estava crente que já havia entendido e você vem com essa!”

Relaxa, coloquei esse exemplo porque não quero que você grave como “o quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo”. ISSO PODE TE ENGANAR.

Grave assim: “o quadrado de quem conserva o sinal menos o quadrado de quem não conserva”

No nosso caso:

- x + 2 x + 2

O número 2 conservou o sinal, ou seja, tem o sinal de + nas duas parcelas e o x não conservou o sinal, já que ele mudou o sinal de uma parcela pra outra. Então:

2 2 - x 2

4 - x 2

Quadrados perfeitos

Vai vir algo assim:

x 2 + 2 y x + y 2

Então a forma fatorada será:

x 2 + 2 y x + y 2 = x + y x + y = x + y 2

Ele vai ter sempre essa carinha, beleza?

A mesma coisa serve para:

x 2 - 2 y x + y 2 = x - y 2

Cubo perfeito

Vamos ter expressões elevadas a 3, mas você vai tirar de letra. Acompanha aqui o raciocínio

Quando temos

a 3 + 3 a 2 b + 3 b 2 a + b 3

É a mesma ideia do quadrado perfeito, só que agora é o cubo perfeito.

Sua forma fatorada vai ser:

a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = a + b 3

Mesma coisa pra subtração...

a 3 - 3 a 2 b + 3 b 2 a - b 3 = a - b 3

Soma e Subtração de cubos

Por constatação temos que as seguintes relações são verdadeiras:

a 3 + b 3 = a + b ( a 2 - a b + b 2 )

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

a 2 + b 2 = a + b 2 - 2 a b

a 2 - b 2 = a - b 2 + 2 a b

Ta lindo! Cansou? Corre ali, toma um café, come uma parada e volta pra a gente começar os exercícios, porque você usará BASTANTE essas relações (pode ter certeza!!).

Algumas observações

É importante que você não confunda a + b 2 com a 2 + b 2 ou a - b 3 com a 3 - b 3 . São duas coisas totalmente diferentes:

a ± b n ≠ a n ± b n

Toda vez que você erra isso, uma ovelhinha morre. Pense nisso!

Vou deixar aqui algumas relações também de potenciação e radiciação:

a m . a n = a m + n

a m a n = a m - n

a m n = a m . n

a . b m = a m . b m

a b m = a m b m

a m n = a m n

Só vem! :D

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Fatore as seguintes expressões:

a   c m - c n - d n + d m

b   a b - 1 + a - b

c   γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora começar do começo, ok?

a   c m - c n - d n + d m

Opa, 4 termos! No que eu te falei para pensar? Agrupamento!

Vamos tentar isolar o que se repete, como por exemplo as expressões m   e n .

c m + d m = m [ c + d ]

- c n - d n = - n [ c + d ]

Passo 2

O fator c + d também se repete!

Podemos melhorar isso aí, fazendo:

c + d [ m - n ]

Show! Bora para próxima!

Passo 3

Ok, vamos fatorar essa belezinha aí.

b   a b - 1 + a - b

Pegando o enunciado e reorganizando, encontramos:

a b + a - b - 1

Que pode ser escrito na forma:

a b + 1 - b - 1

Passo 4

Agora repare que:

- b - 1 = - ( b + 1 )

Então a expressão vai ficar assim:

a b + 1 - b + 1

Daí é só botar o b + 1 em evidência:

( a - 1 ) ( b + 1 )

Passo 5

Dá uma olhada nessa última:

c   γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β

Antes de tudo, não se assuste com o cos ⁡ β e o tan ⁡ θ , vamos trata-los como números quaisquer e chamá-los de c e d , respectivamente:

cos ⁡ β = c

tg ⁡ θ = d

γ cos ⁡ β + α tg ⁡ θ + α γ + tg ⁡ θ cos ⁡ β → γ c + α d + α γ + d c

Reescrevendo da seguinte forma:

γ c + α γ + α d + d c

Passo 6

E daí vamos agrupar:

γ ( c + α ) + d ( c + a )

Isso é simplesmente:

c + α d + γ

Ou, voltando para as variáveis que substituímos:

( cos ⁡ β + α ) ( tg ⁡ θ + γ )

Resposta

a   ( c + d ) ( m - n )

b   ( a - 1 ) ( b + 1 )

c   ( cos ⁡ β + α ) ( tg ⁡ θ + γ )

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Vamos treinar algumas propriedades. Simplifique os termos a seguir:

a   a 5 3 . b 3 4 . 3 a 1 3 . b 5 4

b   2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

c   9 x - 6 . y 4

d   4 x 6 . y 9 x 3 5

e   x 3 - 4 x y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Olááá, meu bem! Esse exercício é apenas para testarmos sua capacidade de simplificar termos com potências e raízes. Não se desespere, é apenas prática. Começando do começo:

a   a 5 3 . b 3 4 . 3 a 1 3 . b 5 4

Vamos primeiramente juntar os termos semelhantes:

b 3 4 . b 5 4 . 3 a 1 3 . a 5 3

E agora vamos aplicar a propriedade da multiplicação de potências. Você lembra qual é?

x m . x n = x m + n

Então:

b 3 4 . b 5 4 . 3 a 1 3 . a 5 3 = b 3 4 + 5 4 . 3 a 1 3 + 5 3

3 b 8 4 . a 6 3 = 3 b 2 a 2 = 3 b . a 2

Prontinho!

Passo 2

Bora para a próxima:

b   2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

Bom, começando com multiplicação de frações, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador:

2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2

E agora vamos usar a propriedade da multiplicação de potência ( a m . a n = a m + n ) :

2 x 1 2 y 2 3 . 3 x - 2 3 y 1 2 = 6 x 1 2 - 2 3 y 2 3 + 1 2

6 x 1 2 - 2 3 y 2 3 + 1 2 = 6 x - 1 6 y 7 6 = 6 x - 1 y 7 1 6

Aqui eu usei a propriedade de que a m n = a m . n

E agora, usando o fato de que a - 1 = 1 a :

6 1 x y 7 1 6

Finalmente, sabendo que a m n = a m n