Intervalos

Teoria Completa

OMG! Nem acredito que já estamos aquiii

FAAAAALA AÍ, mestre dos conjuntos! Hahahah Agora que você viu todos os conjuntos mais importantes pra você, e principalmente, vimos o conjunto dos números Reais, bora falar sobre intervalos!

Cara, intervalos nada mais são que conjuntos, mas são conjuntos que nós costumamos representar em uma reta: a famigerada RETA REAL. Dá uma olhada nela:

Aqui a gente só colocou em ordem todos os termos, do menor para o maior. Perceba que a reta é infinita, ok? Tem muuuuuitos números negativos antes do - 5 e muuuuuuitos números positivos depois do 5 , só que ficaria impossível colocar todos os números nessa reta 😊

Não se engane, eu sei que aparentemente não tem números irracionais, mas eles estão na reta sim! Por exemplo, o π está entre o 3 e o 4 , a gente só não colocou porque não faz muita diferença e polui a reta!

Intervalo fechado

Opa, já começamos com um dos dois tipos de intervalo! Imagina que te mostro o seguinte conjunto:

A = { x ∈ N   |   2 ≤ x ≤ 3 }

Você vai me dizer que esse cara na verdade é um conjunto desse jeito A = { 2 ,   3 } , pois não existe número natural entre 2 e 3 , e eu vou te dar um beijo porque essa resposta é perfeita!

Agora eu te dou o seguinte conjunto:

A = { x ∈ R   |   2 ≤ x ≤ 3 }

Opaaaa, agora a coisa ficou mais interessante! Concorda comigo que esse conjunto vai guardar TODOS os números entre 2 e 3 , incluindo racionais e irracionais? Cara, são muitos números, então seria impossível colocar na forma enumerativa, mas podemos representar isso na reta real! Saca só:

“Eita ferro, que bolinhas são essas?”

Essas bolinhas servem para delimitar o intervalo, note que 2 ≤ x , ou seja, 2 é o menor valor que x assume, assim como 3 é o maior. E o meio tem aquela sanfoninha para dizer que x pode ser qualquer valor ali também!

Chamamos essa bolinha de bola fechada e vai será sempre assim quando tivermos ≤   o u ≥

Intervalo é uma parada tão legal e importante, que ele tem sua própria linguagem, esse conjunto na notação de intervalo fica assim:

A = { x ∈ R   |   2 ≤ x ≤ 3 } = [ 2 ,   3 ]

A gente usa [   o u   ] para indicar intervalo fechado em um número (ou seja, bolinha fechada nele).

De forma geral:

A = { x ∈ R   |   a ≤ x ≤ b } = [ a ,   b ]

Onde a e b são quaisquer números, pode ser até os mais feios como π   o u   123 34 !!! ( a ∈ R , b ∈ R )

Intervalo aberto

Agora, bora esse lindo aqui!

Vou te mostrar o seguinte conjunto:

A = { x ∈ N   |   2 < x < 3 }

E você vai me responder que sou louca porque eu te mostrei um conjunto vazio num assunto de intervalo! Não existe natural entre 2 e 3 . *Tô adorando nossa relação*

E vou te mostrar esse agora:

A = { x ∈ R   |   2 < x < 3 }

Ora, esse conjunto guarda justamente os racionais e os irracionais entre 2 e 3 ... Não dá pra enumerar isso, pois são infinitos números! Mas podemos representar na forma de intervalo, olha o desenho:

Uou! Aqui tem mudanças significativas! Perceba que agora temos uma bolinha que chamamos de bola aberta! Por que ela é aberta?

Porque temos uma desigualdade do tipo < o u > . Temos a mesma sanfoninha entre 2 e 3 pra representar todos os racionais e irracionais que estão entre eles! Na notação de intervalo, isso fica assim:

A = { x ∈ R   |   2 < x < 3 } = 2 ,   3   o u   ] 2 ,   3 [

Aqui nos intervalos abertos, nós podemos usar os parênteses para indicar que é aberto OU usamos os colchetes, só que eles precisam estar de costas pros caras que tem bolinha aberta! Fica esperto!

De forma geral:

A = { x ∈ R   |   a < x < b } = a ,   b   o u   ] a ,   b [

Juntando os dois tipos de intervalos

Cara, agora a gente vai dar uma endoidada aqui, se prepara. A gente vai juntar os dois tipos de bolinhas (aberta e fechada) num mesmo intervalo. Saca só:

A = { x ∈ R   |   2 < x ≤ 3 }

Passo 1: Desenhar a reta real contendo os extremos do intervalo:

Passo 2: Colocar a sanfoninha entre os extremos:

Passo 3: Preencher os extremos com a bolinha aberta ( < o u > ) ou fechada ( ≤ o u ≥ )

Passo 4: Escrever na notação de intervalo:

A = ( 2 ,   3 ]   o u   ] 2 ,   3 ]

Show! Agora mais um exemplo:

A = { x ∈ R   |   x ≤ 3 }

Opa! Esse novo! Dessa vez, não temos a outra extremidade. Mas pensa comigo: se x é qualquer número menor que 3 , isso quer dizer que ele pode ser o 2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   - 2 ,   - 3 ,   …

Vamos desenhar na nossa reta:

Na notação de intervalos:

A = ( - ∞ ,   3 ]   o u   ] - ∞ ,   3 ]

ATENÇÃO!!! Toda vez que lidamos com ± ∞ no intervalo, o intervalo tem que ser aberto neles! Nunca escreva ∞ ]   o u   [ ∞ , isso está muito errado! Coloque sempre o (   o u   ) ou os colchetes de costas!

Mais um exemplo:

A = { x ∈ R   |   x > 2 }

Representando isso na reta:

Escrevendo na notação de intervalo:

A = 2 ,   ∞   o u   ] 2 ,   ∞ [

União e interseção de intervalos

Como eu disse, intervalos são conjuntos, então todas as operações são válidas aqui também!

Saca só esse intervalo:

A = { x ∈ R   | - 1 ≤ x ≤ 0   o u   2 < x ≤ 3 }

A gente já viu em conjuntos que toda vez que temos " o u " , estamos tratando de uma união. Vamos desenhar dois caras:

Perceba que são pedaços disjuntos (não tem nenhum número em comum), então a notação fica:

A = 1 ,   0 ∪ ( 2 ,   3 ]   o u   1 ,   0 ∪   ] 2 ,   3 ]

Agora vejamos esse conjunto:

A = { x ∈ R   | - 1 ≤ x ≤ 4   o u   2 < x ≤ 3 }

Na reta:

Percebe que se a gente une os dois, todos os elementos da linha de cima passam a serem membros da linha de baixo, só que eles já estão nela!!! Então ficamos com:

A = - 1 ,   4

Bom, eu te disse que esses tracinhos têm números em comum, e esses números em comum representam a interseção dos intervalos!

( 2 ,   3 ] ∩ - 1 ,   4 = ( 2 ,   3 ]

Os números em comum são aqueles de partem de 2 (mas não são 2 ) e chegam em 3 .

Último exemplo (juro):

A = { x ∈ R   | 1 ≤ x ≤ 4   o u   2 < x ≤ 5 }

Olha o desenho (desenhei em retas separadas só pra ficar melhor de visualizar, mas na prática, os intervalos são representados juntos)

Na notação de intervalo:

A = 1 ,   4 ∪ ( 2 ,   5 ] = 1 ,   5

1 ,   4 ∩ ( 2 ,   5 ] = ( 2 ,   4 ]

Lembre-se: fala de intervalo só faz sentido quando estamos na reta real (tratando de números reais)

Bora exercitar?!

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Exercício Resolvido #1

Reescrever os conjuntos abaixo usando a notação de intervalo e, a seguir, representá-los graficamente.

a   A = { x ∈ R   |   x > 2 }

b   W = { x ∈ R   | - π ≤ x ≤ - 3 }

c   I = { x ∈ R   |   x ≤ - 3   o u   0 < x ≤ 5 }

d   M = x ∈ R   x < 0   o u   2 < x < e   o u   x > π }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, é aquilo que sempre digo, é do começo que se começa (tá, isso tinha ficado melhor na minha cabeça)

a   A = { x ∈ R   |   x > 2 }

Veja que temos que x é estritamente maior que 2 e ele não tem um máximo, pode ir embora até quando quiser. Ele tem apenas um chão, um valor do qual ele não passa, e nesse caso, ele nunca chega àquele valor 2 , por conta da desigualdade. Vamos ter o seguinte:

A = 2 , ∞   o u   A = ] 2 , ∞ [

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo aberto em 2 , precisamos de uma bolinha aberta nele.

Passo 2

Show, bora pro próximo!

b   W = { x ∈ R   | - π ≤ x ≤ - 3 }

Aqui temos que x está dentro de um intervalo que tem o - 3 como maior valor e - π como seu menor valor, e x pode assumir quaisquer um dos dois valores inclusive. Sendo assim, temos um intervalo fechado:

W = [ - π , - 3 ]

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo fechado em - π e em - 3 , a bolinha precisa ser fechada nesses pontos.

Passo 3

Dá uma olhada nessa aqui agora:

c   I = { x ∈ R   |   x ≤ - 3   o u   0 < x ≤ 5 }

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que x pode ser qualquer valor menor que - 3 e pode ser - 3 inclusive. Então o intervalo é fechado em - 3 e aberto no infinito negativo:

G = - ∞ , - 3   o u   G = ] - ∞ , - 3 ]

E o segundo é um intervalo aberto em 0 e fechado em - 5 , isso porque temos apenas o sinal de desigual em 0 mas temos um sinal de igualdade ali também em 5 .

H = 0,5   o u   H = ] 0,5 ]

Ora, agora vamos uni-los:

I = G ∪ H

I = ( - ∞ , - 3 ] ∪ ( 0,5 ]

A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):

Passo 4

Olha só essa última:

d   M = x ∈ R   x < 0   o u   2 < x < e   o u     x > π }

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que x pode ser qualquer valor menor que 0. Então o intervalo é aberto em 0 e aberto no infinito negativo:

G = - ∞ , 0   o u   G = ] - ∞ , 0 [

E o segundo é um intervalo aberto em 2 e em e , isso porque temos apenas o sinal de desigual em 2 e e :

H = ( 2 , e )   o u   H = ] 2 ,   e [  

Por último, temos um intervalo que diz que x é estritamente maior que π , então teremos um intervalo aberto em