Teoria Completa
OMG! Nem acredito que já estamos aquiii
FAAAAALA AÍ, mestre dos conjuntos! Hahahah Agora que você viu todos os conjuntos mais importantes pra você, e principalmente, vimos o conjunto dos números Reais, bora falar sobre intervalos!
Cara, intervalos nada mais são que conjuntos, mas são conjuntos que nós costumamos representar em uma reta: a famigerada RETA REAL. Dá uma olhada nela:
Aqui a gente só colocou em ordem todos os termos, do menor para o maior. Perceba que a reta é infinita, ok? Tem muuuuuitos números negativos antes do e muuuuuuitos números positivos depois do , só que ficaria impossível colocar todos os números nessa reta 😊
Não se engane, eu sei que aparentemente não tem números irracionais, mas eles estão na reta sim! Por exemplo, o está entre o e o , a gente só não colocou porque não faz muita diferença e polui a reta!
Intervalo fechado
Opa, já começamos com um dos dois tipos de intervalo! Imagina que te mostro o seguinte conjunto:
Você vai me dizer que esse cara na verdade é um conjunto desse jeito , pois não existe número natural entre e , e eu vou te dar um beijo porque essa resposta é perfeita!
Agora eu te dou o seguinte conjunto:
Opaaaa, agora a coisa ficou mais interessante! Concorda comigo que esse conjunto vai guardar TODOS os números entre e , incluindo racionais e irracionais? Cara, são muitos números, então seria impossível colocar na forma enumerativa, mas podemos representar isso na reta real! Saca só:
“Eita ferro, que bolinhas são essas?”
Essas bolinhas servem para delimitar o intervalo, note que , ou seja, é o menor valor que assume, assim como é o maior. E o meio tem aquela sanfoninha para dizer que pode ser qualquer valor ali também!
Chamamos essa bolinha de bola fechada e vai será sempre assim quando tivermos
Intervalo é uma parada tão legal e importante, que ele tem sua própria linguagem, esse conjunto na notação de intervalo fica assim:
A gente usa para indicar intervalo fechado em um número (ou seja, bolinha fechada nele).
De forma geral:
Onde e são quaisquer números, pode ser até os mais feios como !!!
Intervalo aberto
Agora, bora esse lindo aqui!
Vou te mostrar o seguinte conjunto:
E você vai me responder que sou louca porque eu te mostrei um conjunto vazio num assunto de intervalo! Não existe natural entre e . *Tô adorando nossa relação*
E vou te mostrar esse agora:
Ora, esse conjunto guarda justamente os racionais e os irracionais entre e ... Não dá pra enumerar isso, pois são infinitos números! Mas podemos representar na forma de intervalo, olha o desenho:
Uou! Aqui tem mudanças significativas! Perceba que agora temos uma bolinha que chamamos de bola aberta! Por que ela é aberta?
Porque temos uma desigualdade do tipo . Temos a mesma sanfoninha entre e pra representar todos os racionais e irracionais que estão entre eles! Na notação de intervalo, isso fica assim:
Aqui nos intervalos abertos, nós podemos usar os parênteses para indicar que é aberto OU usamos os colchetes, só que eles precisam estar de costas pros caras que tem bolinha aberta! Fica esperto!
De forma geral:
Juntando os dois tipos de intervalos
Cara, agora a gente vai dar uma endoidada aqui, se prepara. A gente vai juntar os dois tipos de bolinhas (aberta e fechada) num mesmo intervalo. Saca só:
Passo 1: Desenhar a reta real contendo os extremos do intervalo:
Passo 2: Colocar a sanfoninha entre os extremos:
Passo 3: Preencher os extremos com a bolinha aberta ou fechada
Passo 4: Escrever na notação de intervalo:
Show! Agora mais um exemplo:
Opa! Esse novo! Dessa vez, não temos a outra extremidade. Mas pensa comigo: se é qualquer número menor que , isso quer dizer que ele pode ser o
Vamos desenhar na nossa reta:
Na notação de intervalos:
ATENÇÃO!!! Toda vez que lidamos com no intervalo, o intervalo tem que ser aberto neles! Nunca escreva , isso está muito errado! Coloque sempre o ou os colchetes de costas!
Mais um exemplo:
Representando isso na reta:
Escrevendo na notação de intervalo:
União e interseção de intervalos
Como eu disse, intervalos são conjuntos, então todas as operações são válidas aqui também!
Saca só esse intervalo:
A gente já viu em conjuntos que toda vez que temos , estamos tratando de uma união. Vamos desenhar dois caras:
Perceba que são pedaços disjuntos (não tem nenhum número em comum), então a notação fica:
Agora vejamos esse conjunto:
Na reta:
Percebe que se a gente une os dois, todos os elementos da linha de cima passam a serem membros da linha de baixo, só que eles já estão nela!!! Então ficamos com:
Bom, eu te disse que esses tracinhos têm números em comum, e esses números em comum representam a interseção dos intervalos!
Os números em comum são aqueles de partem de (mas não são ) e chegam em .
Último exemplo (juro):
Olha o desenho (desenhei em retas separadas só pra ficar melhor de visualizar, mas na prática, os intervalos são representados juntos)
Na notação de intervalo:
Lembre-se: fala de intervalo só faz sentido quando estamos na reta real (tratando de números reais)
Bora exercitar?!
Exercício Resolvido #1
Reescrever os conjuntos abaixo usando a notação de intervalo e, a seguir, representá-los graficamente.
Passo 1
Bom, é aquilo que sempre digo, é do começo que se começa (tá, isso tinha ficado melhor na minha cabeça)
Veja que temos que é estritamente maior que e ele não tem um máximo, pode ir embora até quando quiser. Ele tem apenas um chão, um valor do qual ele não passa, e nesse caso, ele nunca chega àquele valor , por conta da desigualdade. Vamos ter o seguinte:
A representação gráfica será (em vermelho):
Como temos um intervalo aberto em , precisamos de uma bolinha aberta nele.
Passo 2
Show, bora pro próximo!
Aqui temos que está dentro de um intervalo que tem o como maior valor e como seu menor valor, e pode assumir quaisquer um dos dois valores inclusive. Sendo assim, temos um intervalo fechado:
A representação gráfica será (em vermelho):
Como temos um intervalo fechado em e em , a bolinha precisa ser fechada nesses pontos.
Passo 3
Dá uma olhada nessa aqui agora:
MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!
Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que pode ser qualquer valor menor que e pode ser inclusive. Então o intervalo é fechado em e aberto no infinito negativo:
E o segundo é um intervalo aberto em e fechado em , isso porque temos apenas o sinal de desigual em mas temos um sinal de igualdade ali também em .
Ora, agora vamos uni-los:
A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):
Passo 4
Olha só essa última:
MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!
Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que pode ser qualquer valor menor que 0. Então o intervalo é aberto em 0 e aberto no infinito negativo:
E o segundo é um intervalo aberto em e em , isso porque temos apenas o sinal de desigual em e :
Por último, temos um intervalo que diz que é estritamente maior que , então teremos um intervalo aberto em :
Ora, agora vamos uni-los:
A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):
Resposta
Exercício Resolvido #2
Representar os conjuntos abaixo, dados graficamente pela parte pintada em vermelho, usando a notação de intervalo e a notação de desigualdades.
Passo 1
Antes de começar a resolver, vamos entender as notações e o que a figura quer dizer!
Repara na linha que temos umas bolinhas vazias e umas todas preenchidas da cor vermelho. Elas vão ser chamadas de bolas abertas e fechadas, respectivamente.
E o que cada uma representa?
- Bola abertaintervalo aberto, ou seja, aquele número não pertence ao intervalo. A gente representa com um parênteses ou com um colchete virado para fora. Você pode escolher parênteses ou colchetes, ok?
- Bola fechadaintervalo fechado, ou seja, aquele número pertence ao intervalo. A gente representa com um colchete virado para dentro.
Passo 2
Bora fazer essas coisas do começo:
Então as extremidades do intervalo são e , com as bolinhas abertas neles. Então temos:
Essa foi a notação de intervalo, vamos fazer a de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) está entre e , então:
Foi um bom começo né? Vamos continuar arrasando.
Passo 3
Aqui temos a união de intervalos, percebe?
Vamos escrever em intervalo o primeiro tracinho vermelho, que tem uma bola aberta em :
A gente a setinha ta indo em direção a um número negativo muito grande, a gente usa essa representação com , ok?!
No segundo tracinho vermelho temos um intervalo aberto tanto em quanto em :
O terceiro tracinho vermelho tem uma bolinha aberta em e segue para o infinito:
Então o intervalo é a união dos três que encontramos agora:
Vamos escrever agora em notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) menor que OU ele está entre OU ele é maior que :
Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.
Passo 4
Agora temos um aí só pra te colocar medo! Hahahaha mas relaxa, o processo é o mesmo!
Temos ali uma bolinha fechada em e ponto, não tem tracinho nenhum. O que isso quer dizer? Quer dizer apenas que assume o valor , bem simples e objetivo.
Já o outro tracinho, nos mostra um intervalo que de vai de a , ambos com bolinha aberta. Vamos escrever o intervalo:
Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)
Maneiro né? Bora escrever na notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) é igual a OU ele está entre :
Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.
Passo 5
NOSSSSAAAAAA AGORA EU ENTREGO PRA DEUS!
Não faça isso, você verá que é a mesma coisa!!! Agora temos a união de quatro intervalinhos.
Olhando pro primeiro:
Agora olhando pro segundo:
Perceba que agora temos uma bolinha fechada em , então o intervalo foi fechadinho nele.
Olhando por terceiro:
Pois é, esse é somente um número porque temos só uma bolinha e pronto. Agora olhando pro quarto tracinho:
Show, bora unir essa galera:
Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)
Agora passando isso para notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que (um número real qualquer) é menor que OU ele está entre OU ele é igual a OU ele é maior que :
Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Dados os conjuntos e , efetue as operações pedidas e dê as respostas na notação de intervalo.
Passo 1
Primeiramente, vamos dar uma olhada em nossos dois intervalos, para ficar mais claro:
Vamos começar com a letra
Essa operação significa que vamos unir os dois intervalos, que graficamente seria o seguinte:
Perceba que a bolinha aberta some na união!!! Então o intervalo da união é:
Passo 2
A próxima letra pede:
Agora, não vamos unir os termos, vamos ver quais termos estão nos dois intervalos ao mesmo tempo! Olha o desenho:
Agora é só escrever como intervalo:
Passo 3
Dá uma olhada nessa aqui:
Agora nós precisamos pegar o intervalo e tirar todos os elementos que estão em . Novamente, olhe o desenho (desenhos são as melhores técnicas para esse tipo de questão):
Agora é só escrever na notação de intervalo:
Passo 4
Olhaaaaaa, já estamos na última! Você tá indo bem, só mais uma, vem:
Então, a agora é justamente o contrário: vamos pegar o conjunto e tirar todos os elementos que estão no conjunto também. Olha o desenho de como fica:
Perceba que temos uma bolinha aberta agora no , isso aconteceu porque estava no intervalo e no , portanto tivemos que tirá-lo dessa brincadeira! Agora escrevendo com a notação de intervalo:
FIMMM!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Sejam os intervalos reais é correto afirmar que:
Passo 1
Ok, dá pra ver que tem muita conta pra fazer, mas vamos nos adiantar logo em algumas coisas.
Guarda isso aí!
Falta só mais umazinha:
Passo 2
Agora que já fizemos nosso esboço, vamos atacar as alternativas!
Olha como fica o desenho:
Lembrando que a primeira reta é e . Escrevendo em notação de intervalo:
Lembrando também que
Passo 3
Próxima alternativa:
Olhe só o desenho de como o lado esquerdo fica:
Lembrando que a primeira reta representa e . Escrevendo em forma de intervalo:
Agora vamos ver o desenho de :
Perceba que são iguais, ou seja, essa está correta!!!
Passo 4
Olha só o desenho de como fica isso (lembrando que ):
Passando isso pra notação de intervalo:
Logo, essa afirmação não é verdade.
Passo 5
Saca só como fica o desenho dessa parada (lembrando que ):
Escrevendo isso na notação de intervalo:
Portanto, esta não está certa.
Passo 6
Olha essa agora:
Se liga como fica o desenho (lembrando que ):