Intervalos
Teoria
OMG! Nem acredito que já estamos aquiii
FAAAAALA AÍ, mestre dos conjuntos! Hahahah Agora que você viu todos os conjuntos mais importantes pra você, e principalmente, vimos o conjunto dos números Reais, bora falar sobre intervalos!
Cara, intervalos nada mais são que conjuntos, mas são conjuntos que nós costumamos representar em uma reta: a famigerada RETA REAL. Dá uma olhada nela:
Aqui a gente só colocou em ordem todos os termos, do menor para o maior. Perceba que a reta é infinita, ok? Tem muuuuuitos números negativos antes do e muuuuuuitos números positivos depois do , só que ficaria impossível colocar todos os números nessa reta 😊
Não se engane, eu sei que aparentemente não tem números irracionais, mas eles estão na reta sim! Por exemplo, o está entre o e o , a gente só não colocou porque não faz muita diferença e polui a reta!
Intervalo fechado
Opa, já começamos com um dos dois tipos de intervalo! Imagina que te mostro o seguinte conjunto:
Você vai me dizer que esse cara na verdade é um conjunto desse jeito , pois não existe número natural entre e , e eu vou te dar um beijo porque essa resposta é perfeita!
Agora eu te dou o seguinte conjunto:
Opaaaa, agora a coisa ficou mais interessante! Concorda comigo que esse conjunto vai guardar TODOS os números entre e , incluindo racionais e irracionais? Cara, são muitos números, então seria impossível colocar na forma enumerativa, mas podemos representar isso na reta real! Saca só:
“Eita ferro, que bolinhas são essas?”
Essas bolinhas servem para delimitar o intervalo, note que , ou seja, é o menor valor que assume, assim como é o maior. E o meio tem aquela sanfoninha para dizer que pode ser qualquer valor ali também!
Chamamos essa bolinha de bola fechada e vai será sempre assim quando tivermos
Intervalo é uma parada tão legal e importante, que ele tem sua própria linguagem, esse conjunto na notação de intervalo fica assim:
A gente usa para indicar intervalo fechado em um número (ou seja, bolinha fechada nele).
De forma geral:
Onde e são quaisquer números, pode ser até os mais feios como !!!
Intervalo aberto
Agora, bora esse lindo aqui!
Vou te mostrar o seguinte conjunto:
E você vai me responder que sou louca porque eu te mostrei um conjunto vazio num assunto de intervalo! Não existe natural entre e . *Tô adorando nossa relação*
E vou te mostrar esse agora:
Ora, esse conjunto guarda justamente os racionais e os irracionais entre e ... Não dá pra enumerar isso, pois são infinitos números! Mas podemos representar na forma de intervalo, olha o desenho:
Uou! Aqui tem mudanças significativas! Perceba que agora temos uma bolinha que chamamos de bola aberta! Por que ela é aberta?
Porque temos uma desigualdade do tipo . Temos a mesma sanfoninha entre e pra representar todos os racionais e irracionais que estão entre eles! Na notação de intervalo, isso fica assim:
Aqui nos intervalos abertos, nós podemos usar os parênteses para indicar que é aberto OU usamos os colchetes, só que eles precisam estar de costas pros caras que tem bolinha aberta! Fica esperto!
De forma geral:
Juntando os dois tipos de intervalos
Cara, agora a gente vai dar uma endoidada aqui, se prepara. A gente vai juntar os dois tipos de bolinhas (aberta e fechada) num mesmo intervalo. Saca só:
Passo 1: Desenhar a reta real contendo os extremos do intervalo:
Passo 2: Colocar a sanfoninha entre os extremos:
Passo 3: Preencher os extremos com a bolinha aberta ou fechada
Passo 4: Escrever na notação de intervalo:
Show! Agora mais um exemplo:
Opa! Esse novo! Dessa vez, não temos a outra extremidade. Mas pensa comigo: se é qualquer número menor que , isso quer dizer que ele pode ser o
Vamos desenhar na nossa reta:
Na notação de intervalos:
ATENÇÃO!!! Toda vez que lidamos com no intervalo, o intervalo tem que ser aberto neles! Nunca escreva , isso está muito errado! Coloque sempre o ou os colchetes de costas!
Mais um exemplo:
Representando isso na reta:
Escrevendo na notação de intervalo:
União e interseção de intervalos
Como eu disse, intervalos são conjuntos, então todas as operações são válidas aqui também!
Saca só esse intervalo:
A gente já viu em conjuntos que toda vez que temos , estamos tratando de uma união. Vamos desenhar dois caras:
Perceba que são pedaços disjuntos (não tem nenhum número em comum), então a notação fica:
Agora vejamos esse conjunto:
Na reta:
Percebe que se a gente une os dois, todos os elementos da linha de cima passam a serem membros da linha de baixo, só que eles já estão nela!!! Então ficamos com:
Bom, eu te disse que esses tracinhos têm números em comum, e esses números em comum representam a interseção dos intervalos!
Os números em comum são aqueles de partem de (mas não são ) e chegam em .
Último exemplo (juro):
Olha o desenho (desenhei em retas separadas só pra ficar melhor de visualizar, mas na prática, os intervalos são representados juntos)
Na notação de intervalo:
Lembre-se: fala de intervalo só faz sentido quando estamos na reta real (tratando de números reais)
Bora exercitar?!
União e interseção de intervalos
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