Teoria

Introdução

FAAAAALA AÍ, MEU ANJO! Tudo bom? Bem, já vimos o que é um polinômio. Olha só a forma geral dele:

P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + … + a 1 x + a 0

Onde n é um número natural. Exemplos:

x 2 + 2 x + 1

3 x 4 + 7 x

Já vimos também como obtemos o valor numérico de um polinômio.

Agora, sabe o que mais vamos fazer com esses caras? Nós vamos tentar achar raízes de polinômios. Isso é muito útil para algumas aplicações do Cálculo, que você em breve aprenderá!

“Ahn? Mas o que são raízes? Só conheço a raiz quadrada, serve?”

Não, meu bem! Raízes são os valores da variável que fazem com que o polinômio seja ZERO. Em termos matemáticos, queremos saber para quais x , é verdade que:

P x = 0

E aqui nessa teoria, vamos ver um truque de como encontrar raízes racionais.

Pesquisa de raízes: inspeção

Bom, pesquisar raízes através de uma inspeção é você chutar alguns valores que você acha que pode zerar. Ou você nem precisa achar, mas existem números que eu sempre testo, porque muitas vezes dão certo!

Se liga, queremos zerar o seguinte polinômio:

x - 1

Então igualamos a zero:

x - 1 = 0

x = 1

Show, agora queremos zerar o próximo polinômio:

x 2 - 5 x + 6

Fazemos:

x 2 - 5 x + 6 = 0

E depois de fazermos Bháskara:

x = 2   o u   x = 3

Agora, olha esse aqui:

x 3 + x 2 - x - 1

Então. A pesquisa de raízes por inspeção se aplica mais neste caso, onde não temos uma fórmula prontinha para resolver isso (até temos, mas é bem feia, não vale a pena gravar).

Pois bem, o que fazemos agora é chutar valores que normalmente aparecem como raízes do polinômio: - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 .

Perceba que eu também peguei números negativos, é importante considera-los também. Bom, testando:

x = - 2 → - 2 3 + - 2 2 - - 2 - 1 = - 3

x = - 1 → - 1 3 + - 1 2 - - 1 - 1 = 0

x = 0 → 0 3 + 0 2 - 0 - 1 = - 1

x = 1 → 1 3 + 1 2 - 1 - 1 = 0

Olha só que lindo! Conseguimos encontrar duas raízes! Isso é um grande avanço.

“Ah, mas são três raízes!”

Sim, eu sei, mas por esse método, dificilmente conseguiremos achar todas.

“Af, então pra que eu estou vendo isso?”

Estou te falando isso porque nem sempre precisamos de todas, e mesmo que precisemos, temos um método de reduzirmos o grau de um polinômio, conhecendo algumas de suas raízes, então é muito bom ter uma noção de como encontrar raízes.

Pesquisa de raízes: Teorema das Raízes Racionais

Nem sempre encontrar a raiz de um polinômio é um processo simples, mas para achá-la, podemos usar outro teorema simpático: o teorema das raízes racionais.

Considerando o polinômio geral:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 1 x + a 0

Se pudermos representar as raízes do polinômio na forma p / q , então, garantimos que a n é divisível por q e a 0 é divisível por p . Veja que é o contrário do que se pode pensar, o primeiro coeficiente é divisível pelo denominador q e o último coeficiente é divisível pelo numerador p .

Então, vamos aplicar isso ao polinômio:

x 4 - 5 x 2 + 4

Repare que a n é igual a 1 , dessa maneira, q = ± 1 para poder ser divisível. Já a 0 é 4 e p = ± 4 , ± 2 ± 1 para ser divisível. Dessa maneira, as possibilidades para p / q são:

p q = ± 4 ; ± 2 ; ± 1

Temos, portanto, 6 possibilidades e um máximo de 4 raízes, já que o polinômio é de grau 4 . Como saber quais são as certas? Testando! Se der zero é raiz:

P 4 = 4 4 - 5 4 2 + 4 = 180 ≠ 0

Logo, essa não é uma raiz:

P - 4 = - 4 4 - 5 - 4 2 + 4 = 180 ≠ 0

Portanto, não é raiz também. Vamos testar as outras: P 2 = 2 4 - 5 2 2 + 4 = 0

Então é raiz. Da mesma forma:

P - 2 = - 2 4 - 5 - 2 2 + 4 = 0

Também é raiz. Para as restantes:

P 1 = 1 4 - 5 1 2 + 4 = 0

E:

P - 1 = - 1 4 - 5 - 1 2 + 4 = 0

Portanto, as raízes serão:

x 1 = 2 x 2 = - 2 x 3 = 1 x 4 = - 1

Podíamos achar essas raízes fazendo a substituição u = x 2 e resolver como se fosse uma equação de segundo grau. Isso muitas vezes não será possível. Dessa forma, esse é um método muito poderoso para achar raízes. Não se esqueça, achamos apenas as raízes RACIONAIS, não as irracionais.

Na prática, apenas selecionamos os divisores de a n e os divisores de a 0 .

Fatoração de polinômios

Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de suas raízes. Para o nosso exemplo:

x 4 - 5 x 2 + 4

Tem raízes ± 2 e ± 1 . Então podemos escrevê-lo como: x - 2 x + 2 x - 1 x + 1

Repare que, se distribuirmos:

x - 2 x + 2 x - 1 x + 1 = x 2 - 4 x 2 - 1 = x 4 - 5 x 2 + 4

Chegaremos novamente no polinômio fatorado. Olha outro exemplo:

2 x 2 - 10 x + 12

Tem raízes 2 e 3 . Então, escreveremos:

2 x - 2 x - 3

Viu a sutil diferença? O termo líder, ou seja, aquele que acompanha o x 2 é o 2 , então precisamos multiplica-lo do lado de fora.

De maneira geral, temos:

Um polinômio geral:

P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 1 x + a 0

Com raízes:

x n ; x n - 1 ; x n - 2 … ; x 1

Podemos escrevê-lo na forma:

P x = a n x - x n x - x n - 1 x - x n - 2 … x - x 1

x = x i

( x - x i )

Com o sinal de menos na frente! Justamente para que, quando x = x i :

x i - x i = 0

Veja também que, se isso é verdade, um polinômio é sempre divisível, ou seja, sem resto, pelo monômio da sua raiz. Pois: x - x n x - x n - 1 x - x n - 2 … x - x 1 x - x n - 1 =   x - x n x - x n - 2 … x - x 1

Ou seja:

x 2 - 5 x + 6

Pode ser escrito como:

x - 2 x - 3

Se quisermos, então, dividir o nosso polinômio por x - 2 :

x - 2 x - 3 x - 2 = x - 3

Ou seja, nunca deixa resto!

E isso é válido para todas as raízes do polinômio. Legal? Vamos agora aos exercícios!

Pesquisa de raízes: Teorema das Raízes Racionais

Fatoração de polinômios

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre as raízes dos polinômios abaixo através do método de inspeção:

a   x 2 - x

b   8 - 2 x 2

c   x 3 - 1

Passo 1

Oiiiiii, meu orgulho! É como eu sempre digo, vamos começar do começo:

a   x 2 - x

Lembra do que eu havia te falado sobre inspeção? Não é nada para te atrapalhar, é apenas uma forma de você encontrar uma raiz rapidamente. Porém, você não precisa entrar em desespero se não conseguir pegar essa técnica!

Vamos começar testando os números mais básicos. Lembrando que como temos um polinômio do segundo grau, acharemos duas raízes.

x = - 2 → - 2 2 - - 2 = 6

x = - 1 → - 1 2 - - 1 = 2

x = 0 → 0 2 - 0 = 0

x = 1 → 1 2 - 1 = 0

Opa, já encontramos os dois zeros que precisávamos. Logo, as raízes são 1 e 0 .

E podemos fatorar o polinômio da seguinte forma:

x - 0 x - 1 = x ( x - 1 )

O enunciado não pediu, mas eu quis fazer uma gracinha.

Passo 2

Dá uma olhada nessa agora:

b   8 - 2 x 2

Vamos checar aqueles números que te disse:

x = 3 → 8 - 2.3 2 = - 10

“Ah, mas você não disse nada sobre incluir o 3

Gente, é uma inspeção, você pode pesquisar com os números que você acha que têm chances de dar certo, se quiser testar com 50 , vá em frente! 😊

x = - 2 → 8 - 2 . ( - 2 ) 2 = 0

x = - 1 → 8 - 2 . ( - 1 ) 2 = 6

x = 0 → 8 - 2.0 2 = 8

x = 1 → 8 - 2.1 2 = 6

x = 2 → 8 - 2.2 2 = 0

Opa! Encontramos as duas raízes, que são - 2 e 2 . Fatorando esse polinômio:

2 x - 2 x - ( - 2 ) = 2 x - 2 ( x + 2 )

Lembrando que o termo líder, aquele que acompanha o x 2 é o 2 , então a gente o coloca para fora dos parênteses.

Passo 3

Finalmente, a última:

c   x 3 - 1

Cara, sem brincadeira, eu sou muito sua amiga. Coloquei esse exemplo para te explicar uma coisinha que muitos têm dúvida.

Vamos começar chutando valores:

x = - 2 → - 2 3 - 1 = - 9

x = - 1 → - 1 3 - 1 = - 2

x = 0 → 0 3 - 1 = - 1

x = 1 → 1 3 - 1 = 0

x = 2 → 2 3 - 1 = 7

Gente, socorro, só encontramos uma raiz. Isso quer dizer que estamos errados?

Não! Vamos fatorar esse polinômio, lembrando o seguinte:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Então:

x 3 - 1 = ( x - 1 ) ( x 2 + x + 1 )

Isso já é uma parte da nossa fatoração do polinômio, perceba que já temos o termo ( x - 1 ) , correspondente à raiz que encontramos. Mas e as outras duas raízes? Cadê? Precisamos fatorar aquele termo, fazendo Bhaskara em x 2 + x + 1 :

x = - 1 ± - 3 2

Bom, o nosso método só nos permite encontrar raízes racionais! Essas raízes que encontramos são complexas!!! Então seria impossível encontra-las pelo nosso método.

Nesse caso, quando encontramos apenas uma raiz real, e precisávamos de três, dizemos que ela tem multiplicidade 3 , como se ela valesse pelas 3 raízes nos reais. Outro exemplo:

x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4

A raiz desse polinômio de grau 2 é x = 2 e ela tem multiplicidade 2 .

Resposta

a   x = 0   e   x = 1

b   x = - 2   e   x = 2

c   x = 1 ,   c o m   m u l t i p l i c i d a d e   3

Exercício Resolvido #2

Fatore o seguinte polinômio:

P x = x 3 + 3 x 2 - x - 3

Passo 1

Para fatorar esse polinômio, temos que encontrar suas raízes. Se pudermos escrever as raízes na forma p / q , então:

a n é divisível por q e a 0 divisível por p . Como: a n = 1 ⟹ q = ± 1

Para que seja divisível. Da mesma forma: a 0 = - 3 ⟹ p = ± 3 , ± 1

Assim, as possibilidades para p / q são: p q = ± 3 ,   ± 1

Passo 2

Vamos testar para cada um deles:

P 3 = 3 3 + 3 3 2 - 3 - 3 = 48 ≠ 0

Logo, não nos interessa. Vamos para o próximo: P - 3 = - 3 3 + 3 - 3 2 - - 3 - 3 = 0

Opa! Achamos uma. Faltam 2 :

P 1 = 1 3 + 3 1 2 - 1 - 3 = 0

Hehe, também é uma raiz. Vamos para a última: P - 1 = - 1 3 + 3 - 1 2 - - 1 - 3 = 0

Portanto, essa é mais uma raiz. Chegamos então as raízes:

x 1 = - 3 x 2 = 1 x 3 = - 1

Passo 3

Agora é só reescrever o polinômio fatorado, que ficará, pelas raízes: P x = x - - 3 x - 1 x - - 1

P x = ( x + 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

Fizemos uma abordagem mais geral. Agora, a gente podia ter percebido o seguinte

x 3 + 3 x 2 - x - 3 = x 2 x + 3 - 1 . x + 3 = x + 3 x 2 - 1 = ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )

Que é o mesmo resultado!

Resposta

P x = x + 3 x - 1 x + 1

Exercício Resolvido #3

Os números a , b ,   c são raízes da equação x 3 - x 2 - 4 x + 4 = 0 . Nessas condições, calcule o valor de

1 a + 1 b + 1 c

Passo 1

Vamos calcular as raízes para determinar isso. Para tal, usamos a pesquisa de raízes novamente.

Se pudermos escrever as raízes na forma p / q :

a n é divisível por q e a 0 divisível por p . Como: a n = 1 ⟹ q = ± 1

Para que seja divisível. Da mesma forma: a 0 = + 4 ⟹ p = ± 4 , ± 2 , ± 1

Assim, as possibilidades para p / q são: p q = ± 4 , ± 2 ,   ± 1

Passo 2

Vamos testar para cada uma das possibilidades: P - 4 = - 4 3 - - 4 2 - 4 - 4 + 4 = - 60 ≠ 0

P 4 = 4 3 - 4 2 - 4 4 + 4 = 36 ≠ 0

P - 2 = - 2 3 - - 2 2 - 4 - 2 + 4 = 0

P 2 = 2 3 - 2 2 - 4 2 + 4 = 0

P - 1 = - 1 3 - - 1 2 - 4 - 1 + 4 = 6 ≠ 0

P 1 = 1 3 - 1 2 - 4 1 + 4 = 0

Logo, as raízes serão: a = - 2 ; b = 2 ; c = 1

Passo 3

Agora só substituir: 1 a + 1 b + 1 c = 1 - 2 + 1 2 + 1 1 = 1  

Resposta

1 a + 1 b + 1 c = 1

Exercício Resolvido #4

Simplifique a seguinte fração:

x 2 - 10 x + 21 . ( x 2 + x - 6 ) x 2 - 9

Passo 1

“Meu Deus, que horror!”

Fiz de propósito, sorry. Temos aqui divisão de polinômios, vamos começar fatorando tudo o que pudermos.

Iniciando pelo termo:

x 2 - 10 x + 21

Para fatorá-lo, precisamos encontrar suas raízes. Você pode fazer Bhaskara, ou pensar em dois números cuja soam é 10 e o produto é 21 :

x + y = 10

x y = 21

x = 3   e   y = 7

Logo, fatoramos assim:

x - 3 x - 7

Passo 2

Boa, agora vamos fatorar o próximo termo:

x 2 + x - 6

Dessa vez a gente tem que pensar em dois números x e y tais que:

x + y = - 1

x y = - 6

x = - 3   e   x = 2

E fatorando:

x - - 3 x - 2 = ( x + 3 ) ( x - 2 )

Não se preocupe, pode fazer Bhaskara, que vai dar no mesmo!

Passo 3

Então podemos reescrever nosso numerador da seguinte forma:

x 2 - 10 x + 21 . x 2 + x - 6 = ( x - 3 ) ( x - 7 ) ( x + 3 ) ( x - 2 )

E no denominador há um produto notável também, você já identificou?

x 2 - 9 = x 2 - 3 2 = x + 3 ( x - 3 )

Show de bola!

Passo 4

x 2 - 10 x + 21 . ( x 2 + x - 6 ) x 2 - 9 = x - 3 x - 7 x + 3 x - 2 x - 3 x + 3

Cortando os termos semelhantes:

x - 7 x - 2

Show!!!

Resposta

( x - 7 ) ( x - 2 )

Exercício Resolvido #5

Fatore o polinômio:

x 4 - 13 x 2 + 36

Passo 1

FAAAAALA AÍ, MINHA CRIANÇA! Tudo bom?

Para resolver essa questão, nós vamos usar o teorema das raízes racionais, já que o polinômio tem grau 4 , que é mais elevadinho.

Para isso, a gente vai assumir que as raízes são da forma:

p q

Onde q são os divisores do cara que acompanha o x 4 e p são os divisores do termo independente. Show bora ver quais são os candidatos:

q = d i v i s o r e s   d e   1 = ± 1

p = d i v i s o r e s   d e   36 = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 ,   ± 12 , ± 18 ± 36

Então nossos candidatos são:

p q = ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   ± 4 ,   ± 6 ,   ± 9 ,   ± 12 ,   ± 18 ,   ± 36

Passo 2

Bora começar testando os menores números (dá menos trabalho se algum deles for raiz hihihi):

x = - 1 → - 1 4 - 13 - 1 2 + 36 = 24

x = 1 → 1 4 - 13.1 2 + 36 = 24

x = - 2 → - 2 4 - 13 - 2 2 + 36 = 0

x = 2 → 2 4 - 13.2 2 + 36 = 0

x = - 3 → - 3 4 - 13 - 3 2 + 36 = 0

x = 3 → 3 4 - 13.3 2 + 36 = 0

Opa! Olha que lindo, já encontramos as quatro raízes que precisávamos. As raízes são:

- 3 ,   - 2 ,   2 ,   3

Então podemos fatorar:

x - - 3 x - - 2 x - 2 x - 3 = ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )

Resposta

( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )

Exercício Resolvido #6

Ache os zeros do seguinte polinômio:

x 3 - 7 x - 6

Passo 1

FAAAAAAALA AÍ!!! Bora aplicar mais uma vez o que aprendemos? Vamos encontrar raízes mais uma vez. Note que é comum chamarmos as raízes de zeros do polinômio, pois são elas que fazem com os polinômios sejam zero!

Usaremos o teorema das raízes racionais, ou seja, teremos raízes da forma:

p q

Onde q é divisor do coeficiente que acompanha x 3 e p é divisor daquele que é o termo independente.

q = d i v i s o r e s   d e   1 = ± 1

p = d i v i s o r e s   d e - 6 = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6

Então nossos candidatos são:

p q = ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6

Passo 2

Bora testar! Eu sempre começo pelos menores termos, pra ter menos trabalho, caso as raízes já estavam entre eles.

x = - 1 → - 1 3 - 7 ( - 1 ) - 6 = 0

x = 1 → 1 3 - 7.1 - 6 = - 12

x = - 2 → - 2 3 - 7 - 2 - 6 = 0

x = 2 → 2 3 - 7.2 - 6 = - 12

x = - 3 → - 3 3 - 7 - 3 - 6 = - 12

x = 3 → 3 3 - 7.3 - 6 = 0

Opa! Encontramos as três raízes do nosso polinômio do terceiro grau!

Passo 3

Fatorando para deixar bonitinho, sabendo que as raízes são:

- 2 ,   - 1   e   3

x - - 1 x - - 2 x - 3 = ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x - 3 )

Resposta

A s   r a í z e s   s ã o - 2 ,   - 1 ,   e   3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação c )   x 4 - 3 x 3 + x 2 + 3 x = 2
Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação b )   x 3 - x 2 + x + 14 = 0
Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação f )   x 3 + 3 x 2 - 4 x - 12 = 0
Utilizando o exercício 16 , determine, caso existam, as raízes inteiras da equação d )   2 x 3 - x 2 - 1 = 0