Identidade de Parseval

Teoria Completa

São raros os casos em que conseguimos obter o valor da soma de uma série! Então quando ele te perguntar desse valor o que você vai fazer? Chorar?! Jamais! Você vai pensar na identidade de Parseval.

Como aprendemos, com a série de Fourier, podemos escrever uma função f ( x ) periódica da seguinte forma:

f x =   a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L

A identidade de Perseval é dada por essa fórmula aqui

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Isso mesmo, essa relação é com os mesmos coeficientes da série de Fourier da função f ( x )

Tá vendo que se eu conseguir calcular o valor da integral e do a 0 , eu sou capaz de descobrir o valor da soma da série?? Então esse vai ser o nosso objetivo.

Exemplo: Seja:

f x = L ,     0 ≤ x ≤ L 0 ,     - L < x < 0    

f x + 2 L = f ( x )    

A partir de f ( x ) , Mostre que:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 = π 2 8

Passo 1: Vamos encontrar os coeficientes da série de Fourier para relacionarmos na Identidade de Parseval.

Os coeficientes da série são:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como f x = f ( x + 2 L ) , sabemos que o período da função é 2 L , esse é o intervalo em que ela se repete.

Passo 2: Vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n , temos:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Ok, mas o que colocamos no lugar de f ( x ) ? Veja que de - L a L temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 = 1 L ∫ - L 0 0 d x + 1 L ∫ 0 L L   d x

Veja os intervalos que escrevemos! A função vale 0 em - L ≤ x < 0 e L em 0 < x < L . Resolvendo essas integrais, temos

a 0 = L

Passo 3: Agora vamos calcular os outros a n ’s.

Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Dividindo essa integral em duas, como fizemos com a 0 :

a n = 1 L ∫ - L 0 0 ⋅ cos ⁡ n π x L d x + 1 L ∫ 0 L L ⋅ cos ⁡ n π x L d x

a n = L n π sen n π x L 0 L

a n = L n π [ sen 0 + sen n π ]

a n = 0

Passo 4: Agora só falta calcular os b n ’s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Dividindo essa integral em duas:

b n = 1 L ∫ - L 0 0 sen ⁡ n π x L d x + 1 L ∫ 0 L L sen ⁡ n π x L d x

b n = ∫ 0 L sen ⁡ n π x L d x

b n = - L n π cos ⁡ n π x L 0 L

b n = L n π [ 1 - cos ⁡ n π ]

Sempre que você encontrar um cosseno (ou seno) na expressão do a n ou b n tente se livrar dele, porque isso simplifica a resposta. Em 99,9 % das vezes, você consegue fazer isso por essa análise aqui:

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo

b n = L n π 1 - - 1 = 2 L n π               n   é   í m p a r L n π 1 - 1 = 0                               n   é   p a r          

Passo 5: Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L  

a 0 = L

a n = 0

Isso nos dá:

b n = 2 L n π ,               n   é   í m p a r 0 ,                               n   é   p a r          

Agora vamos com calma. Não podemos escrever direto b n = 2 n π porque isso só vale para n ímpar! Vamos definir então n = 2 k - 1 , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Temos então

b k = 2 L ( 2 k - 1 ) π

Passo 6: Agora vamos pensar um pouco. Temos que utilizar a relação de Parseval para encontrarmos o que queremos. Vamos lá:

Utilizando a relação de Parseval:

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Substituindo os valores, temos:

1 L ∫ - L 0 0 2 d x + 1 L ∫ 0 L L 2 d x =   L 2 2 + ∑ k = 1 ∞ 0 2 + 2 L 2 k - 1 π 2

Então chegamos a:

L 2 =   L 2 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 L 2 k - 1 π 2

Ajustando:

L 2 2 = 4 L 2 π 2 ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Com isso chegamos aonde queríamos:

π 2 8 = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Esse tipo de questão são trabalhosas, por isso devemos fazer bastante para não erramos!

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Exercício Resolvido #1

USP - Cálculo 4 - P2 2010 – 3
  1. Determine a série de senos da função f x = π - x , 0 < x < π
  2. Seja S : R → R a soma da série obtida no item a. Determine S x e esboce o gráfico da função y = S x .
  3. Calcule a soma da série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar essa parada fazendo o gráfico dessa série de Fourier.

Essa é a definição de f x que o problema deu de 0 à π

Para desenhar essa reta basta pegarmos os valores de f 0 e f π

f 0 = π

f π = 0

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos.

Primeiro nós espelhamos a função em relação ao eixo y

Agora vamos espelhar essa reta verde no eixo x

O período de f - é essa parte verde mais a parte azul!, é só repetir isso direto.

Pronto, temos então a função periódica. É bom desenharmos sempre esse tracejado para marcarmos o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de descontinuidade a função vai valer a média dos limites laterais. Neste caso

f x + + f x - 2 = 0

Nos colocamos então bolinhas cheias em y = 0 . (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Esse gráfico ajudou a vermos como fica a parada, a grande questão agora é fazer os termos dessa série.

Passo 2

a)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Com

a n = 0

E

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Ambos com n sendo 0,1 , 2,3 …

Como o período da função vai ser 2 π , vamos ter

2 L = 2 π