Identidade de Parseval
Produzido por Carolina SabaTeoria
São raros os casos em que conseguimos obter o valor da soma de uma série! Então quando ele te perguntar desse valor o que você vai fazer? Chorar?! Jamais! Você vai pensar na identidade de Parseval.
Como aprendemos, com a série de Fourier, podemos escrever uma função periódica da seguinte forma:
A identidade de Perseval é dada por essa fórmula aqui
Isso mesmo, essa relação é com os mesmos coeficientes da série de Fourier da função
Tá vendo que se eu conseguir calcular o valor da integral e do , eu sou capaz de descobrir o valor da soma da série?? Então esse vai ser o nosso objetivo.
Exemplo: Seja:
A partir de , Mostre que:
Passo 1: Vamos encontrar os coeficientes da série de Fourier para relacionarmos na Identidade de Parseval.
Os coeficientes da série são:
Como , sabemos que o período da função é , esse é o intervalo em que ela se repete.
Passo 2: Vamos calcular
Fazendo na expressão de , temos:
Ok, mas o que colocamos no lugar de ? Veja que de a temos duas expressões diferentes para , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:
Veja os intervalos que escrevemos! A função vale em e em . Resolvendo essas integrais, temos
Passo 3: Agora vamos calcular os outros ’s.
Temos que:
Dividindo essa integral em duas, como fizemos com :
Passo 4: Agora só falta calcular os ’s
Dividindo essa integral em duas:
Sempre que você encontrar um cosseno (ou seno) na expressão do ou tente se livrar dele, porque isso simplifica a resposta. Em das vezes, você consegue fazer isso por essa análise aqui:
Logo
Passo 5: Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:
Isso nos dá:
Agora vamos com calma. Não podemos escrever direto porque isso só vale para ímpar! Vamos definir então , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Temos então
Passo 6: Agora vamos pensar um pouco. Temos que utilizar a relação de Parseval para encontrarmos o que queremos. Vamos lá:
Utilizando a relação de Parseval:
Substituindo os valores, temos:
Então chegamos a:
Ajustando:
Com isso chegamos aonde queríamos:
Esse tipo de questão são trabalhosas, por isso devemos fazer bastante para não erramos!