Identidade de Parseval

Teoria Completa

São raros os casos em que conseguimos obter o valor da soma de uma série! Então quando ele te perguntar desse valor o que você vai fazer? Chorar?! Jamais! Você vai pensar na identidade de Parseval.

Como aprendemos, com a série de Fourier, podemos escrever uma função f ( x ) periódica da seguinte forma:

f x =   a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L

A identidade de Perseval é dada por essa fórmula aqui

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Isso mesmo, essa relação é com os mesmos coeficientes da série de Fourier da função f ( x )

Tá vendo que se eu conseguir calcular o valor da integral e do a 0 , eu sou capaz de descobrir o valor da soma da série?? Então esse vai ser o nosso objetivo.

Exemplo: Seja:

f x = L ,     0 ≤ x ≤ L 0 ,     - L < x < 0    

f x + 2 L = f ( x )    

A partir de f ( x ) , Mostre que:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 2 = π 2 8

Passo 1: Vamos encontrar os coeficientes da série de Fourier para relacionarmos na Identidade de Parseval.

Os coeficientes da série são:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como f x = f ( x + 2 L ) , sabemos que o período da função é 2 L , esse é o intervalo em que ela se repete.

Passo 2: Vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n , temos:

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Ok, mas o que colocamos no lugar de f ( x ) ? Veja que de - L a L temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 = 1 L ∫ - L 0 0 d x + 1 L ∫ 0 L L   d x

Veja os intervalos que escrevemos! A função vale 0 em - L ≤ x < 0 e L em 0 < x < L . Resolvendo essas integrais, temos

a 0 = L

Passo 3: Agora vamos calcular os outros a n ’s.

Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x

Dividindo essa integral em duas, como fizemos com a 0 :

a n = 1 L ∫ - L 0 0 ⋅ cos ⁡ n π x L d x + 1 L ∫ 0 L L ⋅ cos ⁡ n π x L d x

a n = L n π sen n π x L 0 L

a n = L n π [ sen 0 + sen n π ]

a n = 0

Passo 4: Agora só falta calcular os b n ’s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

Dividindo essa integral em duas:

b n = 1 L ∫ - L 0 0 sen ⁡ n π x L d x + 1 L ∫ 0 L L sen ⁡ n π x L d x

b n = ∫ 0 L sen ⁡ n π x L d x

b n = - L n π cos ⁡ n π x L 0 L

b n = L n π [ 1 - cos ⁡ n π ]

Sempre que você encontrar um cosseno (ou seno) na expressão do a n ou b n tente se livrar dele, porque isso simplifica a resposta. Em 99,9 % das vezes, você consegue fazer isso por essa análise aqui:

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo

b n = L n π 1 - - 1 = 2 L n π               n   é   í m p a r L n π 1 - 1 = 0                               n   é   p a r          

Passo 5: Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L  

a 0 = L

a n = 0

Isso nos dá:

b n = 2 L n π ,               n   é   í m p a r 0 ,                               n   é   p a r          

Agora vamos com calma. Não podemos escrever direto b n = 2 n π porque isso só vale para n ímpar! Vamos definir então n = 2 k - 1 , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Temos então

b k = 2 L ( 2 k - 1 ) π

Passo 6: Agora vamos pensar um pouco. Temos que utilizar a relação de Parseval para encontrarmos o que queremos. Vamos lá:

Utilizando a relação de Parseval:

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 )

Substituindo os valores, temos:

1 L ∫ - L 0 0 2 d x + 1 L ∫ 0 L L 2 d x =   L 2 2 + ∑ k = 1 ∞ 0 2 + 2 L 2 k - 1 π 2

Então chegamos a:

L 2 =   L 2 2 + ∑ k = 1 ∞ 2 L 2 k - 1 π 2

Ajustando:

L 2 2 = 4 L 2 π 2 ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Com isso chegamos aonde queríamos:

π 2 8 = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 2

Esse tipo de questão são trabalhosas, por isso devemos fazer bastante para não erramos!

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Exercício Resolvido #1

USP - Cálculo 4 - P2 2010 – 3
  1. Determine a série de senos da função f x = π - x , 0 < x < π
  2. Seja S : R → R a soma da série obtida no item a. Determine S x e esboce o gráfico da função y = S x .
  3. Calcule a soma da série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

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Passo 1

Vamos começar essa parada fazendo o gráfico dessa série de Fourier.

Essa é a definição de f x que o problema deu de 0 à π

Para desenhar essa reta basta pegarmos os valores de f 0 e f π

f 0 = π

f π = 0

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos.

Primeiro nós espelhamos a função em relação ao eixo y

Agora vamos espelhar essa reta verde no eixo x

O período de f - é essa parte verde mais a parte azul!, é só repetir isso direto.

Pronto, temos então a função periódica. É bom desenharmos sempre esse tracejado para marcarmos o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de descontinuidade a função vai valer a média dos limites laterais. Neste caso

f x + + f x - 2 = 0

Nos colocamos então bolinhas cheias em y = 0 . (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades).

Esse gráfico ajudou a vermos como fica a parada, a grande questão agora é fazer os termos dessa série.

Passo 2

a)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Com

a n = 0

E

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Ambos com n sendo 0,1 , 2,3 …

Como o período da função vai ser 2 π , vamos ter

2 L = 2 π

L = π

Passo 3

Vamos calcular aqueles valores de b n

b n = 2 π ∫ 0 π π - x sen ⁡ n π x π d x

b n = 2 π ∫ 0 π π - x sen ⁡ n x d x

Vamos resolver essa integral por partes

u = π - x → d u = - d x

d v = sen ⁡ n x d x → v = - 1 n cos ⁡ n x

Vamos ter

∫ π - x sen ⁡ n x d x = - π - x n cos ⁡ n x - ∫ 1 n cos ⁡ n x d x

Assim vamos ter

∫ π - x sen ⁡ n x d x = - π - x n cos ⁡ n x - 1 n 1 n sen ⁡ n x

∫ π - x sen ⁡ n x d x = - π - x n cos ⁡ n x - 1 n 2 sen ⁡ n x

Assim vamos ter

b n = 2 π - π - x n cos ⁡ n x - 1 n 2 sen ⁡ n x 0 π =

b n = 2 π - π - π n cos ⁡ n π - 1 n 2 sen ⁡ n π - - π n cos ⁡ 0 - 1 n 2 sen ⁡ 0

b n = 2 π - - π n

b n = 2 π π n = 2 n

Passo 4

Agora a nossa função vai ser

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n sen ⁡ n x

Passo 5

b)

Vamos escrever agora como pode ser a nossa S x

S x = f x s e 0 < x ≤ π - f - x s e - π ≤ x < 0 0 s e x = 0

Então como f x = π - x

S x = π - x s e 0 < x ≤ π - π - x s e - π ≤ x < 0 0 s e x = 0

Com

S x + 2 π = S x

O gráfico vai ser aquele que já fizemos

Passo 6

c)

Nesse momento você para e pensa, como diabos farei essa série maldita? Repara que ele temos a série de Fourier de f x , e além disso olhando para essa série de Fourier podemos perceber que

a 0 = 0

b k = 2 n

a k = 0

Esse somatório que ele está querendo é muuuuuito parecido com o somatório de b k 2 , esse b k 2 te lembra alguma coisa? Podemos usar a identidade de Parseval aqui, isso porque ela vai transformar aquele somatório que ele deu numa integral que sabemos fazer.

Olha como a identidade de Parseval vai dar aquele somatório, lembra como ela é?

a 0 2 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π ∫ - π π f x 2 d x

como b k = 0 vai sobrar só o a k 2 como queríamos.

Passo 7

Vamos agora dar uma trabalhada na identidade de Parseval.

Aí vendo a cara da série que ele nos deu:

a 0 2 = 0 → a 0 2 2 = 0

a k = 0 → a k 2 = 0

b k = 2 n

Pronto, agora é só substituir na igualdade

0 + ∑ k = 1 ∞ 4 n 2 = 1 π ∫ - π π f - x 2 d x

Repara que aqui estamos usando a extensão de f x , que vai ser ímpar então

∑ k = 1 ∞ 4 n 2 = 2 π ∫ 0 π f x 2 d x

Vamos substituir o valor de f x

∑ k = 1 ∞ 4 n 2 = 2 π ∫ 0 π π - x 2 d x = 2 π ∫ 0 π π 2 - 2 x π + x 2 d x

∑ k = 1 ∞ 4 n 2 = 2 π π 2 x - 2 π x 2 2 + x 3 3 0 π

∑ k = 1 ∞ 4 n 2 = 2 π π 2 π - 2 π π 2 2 + π 3 3 - π 2 0 - 2 π 0 2 2 + 0 3 3

∑ k = 1 ∞ 4 n 2 = 2 π π 3 - π 3 + π 3 3

∑ k = 1 ∞ 4 n 2 = 2 π 2 3

Então

∑ k = 1 ∞ 1 n 2 = 2 π 2 12

∑ k = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Resposta

a)

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n sen ⁡ n x

b)

S x = π - x s e 0 < x ≤ π - π - x s e - π ≤ x < 0 0 s e x = 0

Com

S x + 2 π = S x

c)

∑ k = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6

Exercício Resolvido #2

USP - Cálculo 4 - P2 2013 – 3

a)Calcule a série de Fourier da Função f x 0 , - π < x ≤ 0 - x 0 ≤ x < π

b)Sabendo que ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 e usando o item anterior, calcule ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4

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Passo 1

a)Show, já temos a função definida de ] - π , π [ , se você olha pra cara dela, já da pra ver que não é par nem ímpar, então vamos ter que ter que determinar todas as constantes, ok?!

Partiu:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x = 1 π ∫ 0 π - x d x = - 1 π x 2 2 0 π = - π 2

Próximo coeficiente:

a k = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ ( n x ) d x = - 1 π ∫ 0 π x cos ⁡ ( n x ) d x

Essa integral você resolve com integração por partes:

u = x → d u = d x d v = cos ⁡ ( k x ) d x →   v = sen ⁡ k x k

a k = - 1 π x sen ⁡ k x k 0 π - ∫ 0 π sen ⁡ k x k d x = - cos ⁡ π x - 1 k 2 π

Mas cos ⁡ π x = - 1 k

a k = 1 - - 1 k k 2 π

E por último:

b k = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ ( n x ) d x = - 1 π ∫ 0 π x sen ⁡ ( n x ) d x

Assim como a outra, vamos fazer uma integração por partes, é o mesmo raciocínio:

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ ( k x ) d x →   v = - cos ⁡ k x k

Então fica:

b k = - 1 π - x cos ⁡ k x k 0 π + ∫ 0 π cos ⁡ k x k d x = cos ⁡ π x k = - 1 k k

S x = - π 4 + ∑ k = 1 ∞ 1 - - 1 k k 2 π cos ⁡ k x   + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k sen ⁡ ( k x )  

Passo 2

b)Vamos usar a identidade de Parseval para resolver esse paranauê

a 0 2 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k 2 + b k 2 ) = 1 π ∫ - π π f x 2 d x

Ele falou pra usar o item anterio, então né, vamos usar o que achamos na letra a)

Mas antes vamos analisar um cara:

a k = 1 - - 1 k k 2 π

Ok, vamos pensar diferente, beleza? Se k = p a r , então esse cara da 0 , se ele for ímpar, então vai dar 2 k 2 π , mas isso é só pra k ímpar, uma forma de expressar isso é:

a k = 2 ( 2 k - 1 ) 2 π

Agora k pode ter qualquer valor, o resultado dentro do parênteses representa esse novo k e sempre dará ímpar para todo k , sacou? Agora podemos usar o somatório normal.

Bem, era mais isso, vamos voltar pra identidade de Parseval e substituir os valores:

π 2 8 + 4 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4 + ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = 1 π ∫ 0 π x 2 d x = π 2 3

Mas opa, já sabemos que ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 , então:

π 2 8 + 4 π ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4 + π 2 6 = π 2 3

Colocando o somatório em evidência

∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 4 = π 4 96

Resposta

a ) S x = - π 4 + ∑ k = 1 ∞ 1 - - 1 k k 2 π cos ⁡ k x   + ∑ k = 1 ∞ - 1 k k sen ⁡ ( k x )