Extensão de Funções

Resumo Completo

Pessoal, estamos nos preparando para o grande momento desse assunto que é a série de Fourier. Antes de chegar lá veremos alguns conceitos introdutórios. O primeiro é como realizar a extensão de uma função.

Veremos como tornar uma função qualquer em periódica. Além disso, veremos como tornar essa extensão par ou ímpar. Então, nada mais normal do que relembrar o que são funções pares e ímpares.

Funções pares e ímpares

Vamos relembrar os conceitos de funções pares e ímpares.

Funções pares

Uma função par é definida da seguinte forma:

f x = f ( - x )

Vamos entender melhor essa definição através de um exemplo. A função y = x 2 é uma função par? Para descobrir vamos determinar f - x :

f - x = ( - x ) 2 = x 2

Como f x = f ( - x ) , a função y = x 2 é uma função par.

Uma propriedade importante das funções pares é que ela é simétrica em relação ao eixo y . Parece confuso não é? Calma, vamos explicar melhor através do seguinte gráfico que representa a função y = x 2 .

Observando o gráfico, vemos que a função par é espelhada no eixo y , ou seja, a curva representada a direita do eixo y é um espelho da curva representada a esquerda do eixo y . Isso é uma função par.

Funções ímpares

Agora que já entendemos o que é uma função par, vamos estudar função ímpar. Elas são definidas da seguinte forma:

f x = - f ( - x )

Parece mais complicado que a função par, não é? Calma, novamente vamos entender melhor através de um exemplo. A função y = x 3 é uma função ímpar? Para descobrir vamos determinar f ( - x ) .

f - x = ( - x ) 3 =   - x 3

Como   f x = - f ( - x ) a função y = x 3 é uma função ímpar.

E como será o gráfico de uma função ímpar? O gráfico seguinte representa a função y = x 3 :

Como você desenha essas funções? Assim: imagina uma simetria em relação ao y (abaixo em verde) e rebate isso no eixo x !

Dizemos que a função ímpar é simétrica em relação a origem.

Funções periódicas

Vamos definir função periódica. Como o próprio nome diz é a função que se repete “a cada período”, por exemplo:

Podemos observar que a função se repete a cada intervalo 2 π de x . Assim, podemos definir o período T de uma função como o menor valor de intervalo para o qual uma função se repete. Assim, neste exemplo, ele vale 2 π . Se a função tem período T, então:

f x = f ( x + T )

Extensão de Funções

Claro que nem toda função é periódica. O que vamos aprender agora é o truque para tornar periódica qualquer função! Imagine a função f x = x , definida no intervalo, 0 < x < 1 :

Observe que ela não é periódica. Agora veja o gráfico de h ( x ) , onde:

h x = x ,     0 < x < 1 0 ,     x = 1 , - 1 x ,     - 1 < x < 0    

h x + 2 = h ( x )    

Tá vendo que a função definida em [ - 1,1 ] está se repetindo a cada 2 unidades? Então, acabamos de criar uma extensão periódica dessa função com período 2!

Podemos extender as funções de duas maneiras: extensão par ou extensão ímpar

Para você entender cada uma das extensões, vamos fazer uma passo a passo. Vamos fazer as extensões da função:

f x = 1 - x ,     0 < x 1

Vamos começar pela extensão par! O que significa ser função par? Que ela é um reflexo no eixo y , matematicamente que f x = f ( - x ) . Isso quer dizer que devemos construir uma função definida em - 1   a   0 de modo que o conjunto de - 1 a 1 seja par! Na prática o que fazemos é falar que entre - 1   a   0   a função vale f ( - x ) ou seja 1 + x . Assim, temos

f x = 1 + x ,     - 1 < x < 0 1 - x ,     0 x 1

Agora a gente repete essa função! Como fazemos isso? Dizendo que ela tem período 2, matematicamente,

f x + 2 = f ( x )

O gráfico dessa extensão está mostrado abaixo

Agora para fazer a extensão ímpar da função, definiremos entre - 1   a 0 a função - f ( - x ) ou seja - ( 1 + x ) . Assim,

g x = - 1 - x ,     - 1 < x < 0 1 - x ,     0 x 1

Agora, precisamos dizer que a função tem período 2, ou seja, escrevemos

g x = g ( x + 2 )

Vou colocar o gráfico aqui para você dar uma olhada:

Resumindo os nossos resultados

Extensão par:

h x = 1 - x ,     0 x 1 1 + x ,     - 1 < x < 0

h x = h ( x + 2 )

Extensão ímpar:

g x = - 1 - x ,     - 1 x 0 1 - x ,     0 x 1

g x = g ( x + 2 )

Então, sempre que for dada uma função f ( x ) definida num intervalo 0 x L a gente vai calcular f ( - x ) e - f ( - x ) e depois vamos dizer que

Extensão par: h x = f ( x ) ,     0 x L f ( - x ) ,     - L < x < 0

h x = h ( x + 2 L )

Extensão ímpar:

g x = - f ( - x ) ,     - L x 0 f ( x ) ,     0 x L

g x = g ( x + 2 L )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 3 - Exame 2012 – 5a

( a ) Apresente a extensão par da função

f x = 0 ,     0 x < 1 1 ,     1 x < 2 2 ,     2 x < 3

e esboce o gráfico no intervalo - 3 < x < 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

( a ) Se a função f x tem extensão par, então ela é dada por

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x - 1   e   1 x < 2 2 ,       - 3 < x - 2   e   2 x < 3         e         f x + 6 = f ( x )

Sua ilustração no intervalo ( - 3,3 ) está a seguir:

Resposta

( a ) f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x - 1   e   1 x < 2 2 ,       - 3 < x - 2   e   2 x < 3         e         f x + 6 = f ( x )

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFRJ - Cálculo 4 - P2 2013.1 - 1a,b

Seja f : 0,2 R

f x = x ,         s e   0 x 1 2 ,         s e   1 < x < 2 0 ,                           s e   x = 2

  1. Estenda f como função ímpar periódica de período 4 para R .
  2. Faça o gráfico de f estendida no intervalo [ - 2,6 ] .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Letra b)

Vamos começar fazendo o gráfico da função estendida, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

O próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Cuidado com os pontos de descontinuidade! Temos que levar eles junto.

Beleza, mas isso ai seria uma extensão par, não é? Pra fazermos uma extensão ímpar temos que rebater essa parte azul no eixo x , ou seja, jogar ela para baixo:

Certo, o período da função que queremos é então essa parte azul mais a vermelha! Como esse é o padrão que se repete, vamos copiá-lo para a direita, olha só:

Pronto, temos então a função estendida no intervalo de - 2 a 6 , como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Mais uma vez, lembre-se de levar os pontos de descontinuidade junto nesse passo a passo, ok?

Passo 2

Letra a)

Agora vamos fazer essa extensão matematicamente.

A definição de uma função ímpar diz que

f - x = - f - ( - x )

Escrevemos f - porque estamos falando da extensão de f , ok? Como a extensão tem período 4 , podemos dizer que:

f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Beleza, vamos fazer isso aí. Como o período é 4 , precisamos definir a função em [ - 2,2 ) e repetir esse padrão. Está faltando a definição de f - entre - 2 e 0 .

Para 0 < x < 2 : f - x = f x = x ,         s e   0 x 1 2 ,         s e   1 < x < 2 0 ,                           s e   x = 2

Essa é a equação da parte vermelha.

Para - 2 < x < 0 : f - x = - f - x = x ,                         s e - 1 x 0 - 2 ,             s e - 2 < x < - 1 0 ,                                           s e   x = - 2

Essa é a equação da parte azul. Se você se confundir com a definição de função ímpar, dá uma olhada no gráfico. Nesse caso, é até mais fácil.

Não podemos nos esquecer de que na origem e em x = L = 2 a função deve valer zero em uma extensão ímpar, então está tudo certo aqui.

Temos portanto a seguinte extensão:

f - x = x ,                           s e - 1 x 1   2 ,                                   s e   1 < x < 2 0 ,                                       s e   x = 2 : - 2 - 2                       s e - 2 < x < - 1

Como a função é periódica, isso se repete

f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Resposta

  1. f - x = x ,                           s e - 1 x 1   2 ,                                   s e   1 < x < 2 0 ,                                       s e   x = 2 : - 2 - 2                       s e - 2 < x < - 1

    f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Exercício Resolvido #3

Enunciado

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 321. Exercício 8

No problema é dada uma função f em um intervalo de comprimento L . Esboce os gráficos das extensões par e ímpar de f de período 2 L .

F x = 0                                 0 x < 1 x - 1                 1 x < 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar pela extensão par, que é mais simples. A primeira coisa que você deve fazer é desenhar os dados do problema (que estão entre colchetes):

Certo. Agora, como queremos uma extensão par, vamos espelhar essa função no eixo y , ok?

Beleza, esse vai ser o período 2 L da função, esse é o padrão que se repete, então vamos repetir isso para a esquerda e para a direita:

Pronto, essa é a extensão par de f ( x ) . É bom você sempre desenhar esse tracejado para marcar o período da função, para não se perder!

Passo 2

-

Agora queremos a extensão ímpar, ela é um pouco mais chatinha, mas a ideia é a mesma. Primeiro desenhamos o que o enunciado nos dá

Agora rebatemos isso no eixo y . Como assim? Isso não é a extensão par? Você já vai entender:

Agora, essa parte “nova” em azul, nós rebatemos no eixo x , mas só ela! Em termos práticos: vamos jogar a função em azul para baixo:

O padrão, que vai se repetir a cada período é então essa parte vermelha mais a verde. Vamos então “copiar” isso para a esquerda e para a direita, ok?

Repare que nós só definimos os pontos de descontinuidade no final. Por quê?

Para uma função periódica ser ímpar, devemos ter

f - L = f L = 0

Sempre! E foi o que nós fizemos aqui, por isso só escrevemos os pontos de descontinuidade no final (repare que todos os pontos preenchidos estão no y = 0 ). Se essa condição não ocorrer, então a função periódica não satisfaz a simetria de uma função ímpar, lembre-se disso!

É interessante reparar também que uma função ímpar sempre vale zero na origem, pois é simétrica em relação a ela.

Resposta

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