Extensão de Funções

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Teoria

Pessoal, estamos nos preparando para o grande momento desse assunto que é a série de Fourier. Antes de chegar lá veremos alguns conceitos introdutórios bem necessários. O primeiro é como realizar a extensão de uma função.

Mas antes precisamos revisar 3 conceitos: funções periódicas, funções pares e funções impares.

Funções periódicas

Olha pra a função f x = s e n x :

Repara que a função se repete a cada intervalo de tamanho 2 π de x . Temos aí uma função periódica, uma função que se repete, seguindo sempre o mesmo padrão.

Podemos definir o período T de uma função como o menor tamanho de um intervalo em x para o qual uma função se repete. Assim, neste exemplo, ele vale 2 π . E dizemos que para essa função:

f x = f x + 2 π

Ou seja, ela tem o mesmo valor para dois pontos separados por 2 π em x . Se a função tem período T , então:

f x = f ( x + T )

Funções pares

Cara, já reparou que algumas funções são simétricas em relação ao eixo y ? Tipo f x = x 2 ?

Tem como a gente ver se uma função é simétrica em relação a y sem fazer o gráfico?

Olha para f x = x 2 , vê que para x = - 1 , ela vale 1 , e para x = 1 , ela vale 1 também. Temos

f - 1 = f 1 = 1

f - 1 = f 1

Vale também que

f - 2 = f 2

Ou seja, isso vale para qualquer x

f - x = f x

E boa notícia: Isso vale para todas as funções simétricas em relação a y !

E essas funções são tão importantes que as chamamos de funções pares. Então, falou de função par, você vai lembrar que para ela vale que

f x = f ( - x )

Funções ímpares

Temos também as primas das funções pares: as funções ímpares. Por exemplo, a f x = x 3 :

Por que elas são primas? Porque para desenhar uma função ímpar, como a nossa, a gente pode desenhar só o lado direito, espelhar esse lado em relação a y (parte verde), e depois espelhar o resultado em relação a x (parte azul abaixo do eixo x ), assim:

E aí a nossa curva fica sendo só a parte azul mesmo. Mesma pergunta do item anterior: A gente consegue descobrir se uma função é ímpar sem o gráfico dela?

Cara, repara que para f x = x 3 , temos que f 1 = 1 e f - 1 = - 1 , ou seja, a gente pode escrever:

f 1 = - f - 1  

E isso, de novo, vale para qualquer x , e para qualquer função que a gente consiga esboçar da forma que mostramos anteriormente:

f x = - f ( - x )

Temos então que essa é a definição de funções ímpares.

Extensão de Funções

Cara, já temos a base necessária. Agora vamos ver o que é uma extensão de uma função. Imagina que temos f x = 1 - x , 0 < x ≤ 1 . O gráfico dela é assim:

Se a gente quisesse criar uma função par a partir dessa, o que a gente faria? A gente pode espelhar ela em relação a y , né? Fica assim:

E se quisesse criar uma função ímpar? A gente só precisaria espelhar essa parte nova em relação a x :

Acabamos de criar extensões para a função f x . A ideia de extensão é a gente pegar uma função e criar a partir dela uma função par, que vamos chamar de extensão par, ou uma função ímpar, que vai ser uma extensão ímpar de f x .

Agora, eu te pergunto: Como a gente vai achar as expressões dessas extensões? Vem descobrir!

Extensão Par

Vamos usar nosso exemplo

f x = 1 - x ,     0 < x ≤ 1

A gente já tem o gráfico, mas queremos a expressão da extensão par dessa função. Ela vai ser uma função definida por partes, certo?

O primeiro intervalo é 0 < x ≤ 1 , e nele a definição é a que já temos mesmo, isso não muda. O outro intervalo precisa ser simétrico a esse em relação a y . Então vai ser - 1 ≤ x < 0 , ok?

Falta a expressão da função para esse intervalo novo. Como a gente faz? Cara, g é uma função par, certo? Então vale que

g x = g - x

Temos que g x = 1 - x , né? Então podemos substituir x = - x nessa expressão, e achar outra expressão para g x :

g x = g - x

g x = 1 - - x = 1 + x

Essa é a expressão que faltava. Nossa função fica

g x = 1 + x ,     - 1 ≤ x < 0 1 - x ,     0 < x ≤ 1

Essa é a extensão par de f x . Podemos também fazer a extensão par periódica dessa função. É só adicionar à definição da função a simbologia de função periódica.

g x + T = g x

Nossa função está dentro de um intervalo de tamanho 2, certo? Para fazer uma função periódica, é só repetir os valores de g x a cada período de tamanho T = 2 .

g x + 2 = g ( x )

O gráfico dessa extensão está mostrado abaixo

De forma geral, para fazer uma extensão par periódica de uma função de intervalo 0 ≤ x ≤ L , fazemos

g x = f ( x ) ,     0 ≤ x ≤ L f ( - x ) ,     - L < x < 0

g x = g ( x + 2 L )

Extensão Ímpar

Agora para fazer a expressão da extensão ímpar da função f x = 1 - x , 0 < x ≤ 1 , vamos criar outra expressão, também para o intervalo simétrico - 1 ≤ x < 0 .

Vai ser o mesmo esquema da anterior, vamos usar a definição de função ímpar

g x = - g - x  

Temos que g x = 1 - x , então:

g - x = 1 - - x = 1 + x

E

g x = - g - x = - 1 + x = - 1 - x

Então:

g x = - 1 - x ,     - 1 ≤ x < 0 1 - x ,     0 < x ≤ 1

Agora, precisamos dizer que a função tem período T = 2 se a gente quiser a extensão ímpar periódica dessa função, ou seja, escrevemos

g x = g ( x + 2 )

Vou colocar o gráfico aqui para você dar uma olhada:

De modo geral, a extensão ímpar periódica de uma função de intervalo 0 ≤ x ≤ L é:

g x = - f ( - x ) ,     - L ≤ x ≤ 0 f ( x ) ,     0 ≤ x ≤ L

g x = g x + 2 L

Agora partiu exercícios! 😊

Funções ímpares

Extensão de Funções

Extensão Par

Extensão Ímpar

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

( a ) Apresente a extensão par da função

f x = 0 ,     0 ≤ x < 1 1 ,     1 ≤ x < 2 2 ,     2 ≤ x < 3

e esboce o gráfico no intervalo - 3 < x < 3 .

Passo 1

Antes de começar o exercício propriamente dito, é primordial aqui você começar com a seguinte reflexão, meu caro filósofo:

“O que é uma função par?”

Poxa, funções pares, lá da teoria, é uma função que tem uma reflexão no eixo y . A função x 2 é uma função par, pois olha o gráfico dela:

O que vamos ter que fazer, basicamente é colocar a nossa função f x com esse tipo de reflexão (ao redor do eixo y ). Assim ela se torna par!

Outra boa pergunta então a se fazer agora é: quem é a nossa função f x ?

Passo 2

A melhor forma de saber quem é uma função, é desenhando, então vamos lá!

f x = 0 ,     0 ≤ x < 1 1 ,     1 ≤ x < 2 2 ,     2 ≤ x < 3

Essa é a nossa função. Pra desenhar, basta você colocar as curvas de cada intervalo no gráfico. Por sorte, as nossas curvas são retas:

Passo 3

Então, agora é só você pegar a reflexão dessa função f x do outro lado do gráfico para transforma-la em par:

E claro, agora colocar esse padrão se repetir em todo o x (como se pegasse ele e puxasse), pois a extensão em si deve ser periódica:

Prontinho! Graficamente temos a nossa extensão par. Mas e matematicamente? Como representamos isso?

Passo 4

Aqui a gente tem que pegar a extensão gráfica...

E anotá-la matematicamente falando.

Pow, perceba que a função de - 1 a 1 é 0 :

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                                

De - 2 até - 1 e de 1 a 2 a função é 1 :

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2  

E de - 3 e - 2 , bem como de 2 a 3 a função é igual a 2 :

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2 2 ,       - 3 < x ≤ - 2   e   2 ≤ x < 3

Como vimos, a função é periódica de extensão par e de período 6 , então podemos falar que...

f x + 6 = f ( x )

Resposta

f x = 0 ,     - 1 < x < 1                                             1 ,       - 2 < x ≤ - 1   e   1 ≤ x < 2 2 ,       - 3 < x ≤ - 2   e   2 ≤ x < 3         e         f x + 6 = f ( x )

Exercício Resolvido #2

Seja f : 0,2 → R

f x = x ,         s e   0 ≤ x ≤ 1 2 ,         s e   1 < x < 2 0 ,                           s e   x = 2

  1. Estenda f como função ímpar periódica de período 4 para R .
  2. Faça o gráfico de f estendida no intervalo [ - 2,6 ] .

Passo 1

Letra b)

Vamos começar fazendo o gráfico da função estendida, para a gente poder visualizar melhor a questão, ok? Primeiro, vamos desenhar os dados do enunciado:

O próximo passo é espelhar isso que desenhamos do eixo y , dessa forma:

Cuidado com os pontos de descontinuidade! Temos que levar eles junto.

Beleza, mas isso ai seria uma extensão par, não é? Pra fazermos uma extensão ímpar temos que rebater essa parte azul no eixo x , ou seja, jogar ela para baixo:

Certo, o período da função que queremos é então essa parte azul mais a vermelha! Como esse é o padrão que se repete, vamos copiá-lo para a direita, olha só:

Pronto, temos então a função estendida no intervalo de - 2 a 6 , como pede o enunciado. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Mais uma vez, lembre-se de levar os pontos de descontinuidade junto nesse passo a passo, ok?

Passo 2

Letra a)

Agora vamos fazer essa extensão matematicamente.

A definição de uma função ímpar diz que

f - x = - f - ( - x )

Escrevemos f - porque estamos falando da extensão de f , ok? Como a extensão tem período 4 , podemos dizer que:

f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Beleza, vamos fazer isso aí. Como o período é 4 , precisamos definir a função em [ - 2,2 ) e repetir esse padrão. Está faltando a definição de f - entre - 2 e 0 .

Para 0 < x < 2 : f - x = f x = x ,         s e   0 ≤ x ≤ 1 2 ,         s e   1 < x < 2 0 ,                           s e   x = 2

Essa é a equação da parte vermelha.

Para - 2 < x < 0 : f - x = - f - x = x ,                         s e - 1 ≤ x ≤ 0 - 2 ,             s e - 2 < x < - 1 0 ,                                           s e   x = - 2

Essa é a equação da parte azul. Se você se confundir com a definição de função ímpar, dá uma olhada no gráfico. Nesse caso, é até mais fácil.

Não podemos nos esquecer de que na origem e em x = L = 2 a função deve valer zero em uma extensão ímpar, então está tudo certo aqui.

Temos portanto a seguinte extensão:

f - x = x ,                           s e - 1 ≤ x ≤ 1   2 ,                                   s e   1 < x < 2 0 ,                                       s e   x = 2 : - 2 - 2                       s e - 2 < x < - 1

Como a função é periódica, isso se repete

f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Resposta

  1. f - x = x ,                           s e - 1 ≤ x ≤ 1   2 ,                                   s e   1 < x < 2 0 ,                                       s e   x = 2 : - 2 - 2                       s e - 2 < x < - 1

    f - ( x ) = f - ( x + 4 )

Exercício Resolvido #3

No problema é dada uma função f em um intervalo de comprimento L . Esboce os gráficos das extensões par e ímpar de f de período 2 L .

F x = { x - 1                 1 ≤ x < 2 0                           0 ≤ x < 1  

Passo 1

Vamos começar pela extensão par, que é mais simples. A primeira coisa que você deve fazer é desenhar os dados do problema (que estão entre colchetes):

Certo. Agora, como queremos uma extensão par, vamos espelhar essa função no eixo y , ok?

Beleza, esse vai ser o período 2 L da função, esse é o padrão que se repete, então vamos repetir isso para a esquerda e para a direita:

Pronto, essa é a extensão par de f ( x ) . É bom você sempre desenhar esse tracejado para marcar o período da função, para não se perder!

Passo 2

Agora queremos a extensão ímpar, ela é um pouco mais chatinha, mas a ideia é a mesma. Primeiro desenhamos o que o enunciado nos dá

Agora rebatemos isso no eixo y . Como assim? Isso não é a extensão par? Você já vai entender:

Agora, essa parte “nova” em azul, nós rebatemos no eixo x , mas só ela! Em termos práticos: vamos jogar a função em azul para baixo:

O padrão, que vai se repetir a cada período é então essa parte vermelha mais a verde. Vamos então “copiar” isso para a esquerda e para a direita, ok?

Repare que nós só definimos os pontos de descontinuidade no final. Por quê?

Para uma função periódica ser ímpar, devemos ter

f - L = f L = 0

Sempre! E foi o que nós fizemos aqui, por isso só escrevemos os pontos de descontinuidade no final (repare que todos os pontos preenchidos estão no y = 0 ). Se essa condição não ocorrer, então a função periódica não satisfaz a simetria de uma função ímpar, lembre-se disso!

É interessante reparar também que uma função ímpar sempre vale zero na origem, pois é simétrica em relação a ela.

Resposta

a)

b)

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