Teorema da Convergência de Fourier

Teoria Completa

Introdução

Já vimos que a série de Fourier é uma representação de funções f x que a gente não gosta em soma de senos e cossenos (que a gente ama na verdade). Mas será que sempre podemos dizer que a série de Fourier:

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L

É igual à função f x ? Ou seja, em qualquer ponto x eu posso recuperar o valor da função só com aquele somatório maroto?

Vamos ver que sim e não ao mesmo tempo! Quem nos responderá será o tal do teorema de convergência de Fourier.

Funções contínuas por partes

Antes de começar a falar desse Teorema propriamente dito, eu gostaria de relembrar contigo o que é uma função desse tipo.

Uma função é dita ser contínua por partes (ou descontínua por pulos), se em alguns pontos ela “salta” pra outro valor e volta a ser contínua depois disso, veja um exemplo:

Perceba que t 1 , t 2 e por aí vai, são todos pontos de descontinuidades por pulos!

As funções que vamos trabalhar aqui serão geralmente funções periódicas, mas com alguma descontinuidade por pulos. Por exemplo, a função periódica f x + 6 :

f x = 1     - 3 < x < - 1 0           - 1 < x < 1 1                     1 < x < 3

De período igual a 6 , pode ser desenhada como abaixo:

Nela desenhamos apenas dois períodos (um em vermelho e outro em azul), mas já deu pra perceber que ela é descontínua por pulos.

O Teorema na Prática...

Esse teorema da convergência de Fourier nos diz o seguinte:

“A série de Fourier é igual à função f x onde a função f for contínua.”

Então, beleza! Nos trechos contínuos, a série vai ser a própria função no ponto, como desenhado:

Já no caso das descontinuidades, o teorema nos fala que...

“Mas em pontos de descontinuidade, a série assume o valor do ponto médio da descontinuidade.

Então, em x = 1 , por exemplo, temos uma descontinuidade, certo? Ora a função é 0 (pela direita) e ora ela passa a ser 1 (a esquerda). E aí eu te pergunto, qual é o ponto médio? 1 / 2 , não concorda? Afinal:

0 + 1 2 = 1 2

Generalizando o Teorema

De uma forma geral e mais elegante, a gente pode falar isso aqui:

Seja f uma função 2 L periódica seccionalmente contínua em [ - L ,   L ] , então a Série de Fourier converge para todo x real e converge da seguinte forma”

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L = f x       s e   f   é   c o n t í n u a   e m   x                                             f x + + f x - 2     s e   f   d e s c o n t í n u a   e m   x

OBS: f x + e f x - são os limites laterais de f no ponto x : f x + é o limite lateral pela direita e f x - limite lateral pela esquerda.

Mas ATENÇÃO: A série tende para f x + + f x - 2 (média da descontinuidade) apenas em pontos de descontinuidade!

Na prática, meu amigo, é exatamente o que fizemos! Em pontos de continuidade, é a própria função. E em casos de descontinuidade (como no nosso x = 1 ), basta pegar o valor da função a direita ( f x + = 1 ), somar com o da esquerda ( f x - = 0 ) e dividir por 2 (tirar a média):

f x + + f x - 2 = 1 + 0 2 = 1 2

Partiu então exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 317. Exercício 2

Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.

  1. Encontre a série de Fourier da função estendida
  2. Esboce o gráfico da função para qual a série converge por três períodos

f x = 0             - π ≤ x < 0 x                       0 ≤ x < π

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Passo 1

Letra a)

Precisamos encontrar a Série de Fourier de f , temos o seguinte:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L    

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 , 3 …

Como o intervalo da função que o problema deu é 2 π (de – π até π ) e temos que estender a função, esse será o seu período. Então:

2 L = 2 π     →       L = π

Passo 2

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n temos:

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

Veja que de - π a π temos duas expressões diferentes para f ( x ) , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:

a 0 = 1 π ∫ - π 0 0   d x + 1 π ∫ 0 π x d x

Repare nos intervalos que escrevemos! A função vale 0 em - π < x < 0 e x em 0 < x < π . Resolvendo essas integrais, temos

a 0 = x 2 2 π 0 π

a 0 = π 2

Passo 3

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral, como fizemos com a 0 :

a n = 1 π ∫ - π 0 0 cos ⁡ n x d x + ∫ 0 π x cos ⁡ n x d x

a n = 1 π ∫ 0 π x cos ⁡ n x d x

Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo

u = x       →       u ' = 1

v ' = cos ⁡ n x       →       v = 1 n sen n x

a n = 1 π x n sen n x 0 π - ∫ 0 π 1 n sen ⁡ n x d x

a n = 1 n 2 π c o s ⁡ ( n x ) 0 π

a n = 1 n 2 π [ cos ⁡ n π - 1 ]

Agora vamos analisar com calma. Perceba que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Logo

a n = 1 n 2 π - 1 - 1 = - 2 n 2 π         n   é   í m p a r 1 n 2 π 1 - 1 = 0                               n   é   p a r        

Guarde isso!

Passo 4

Agora só falta calcular os b n ’s

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Dividindo essa integral:

b n = 1 π ∫ - π 0 0 sen ⁡ n x d x + ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x

b n = 1 π ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n x       →         v = - 1 n cos ⁡ n x

b n = 1 π - x n cos ⁡ n x 0 π + ∫ 0 π 1 n cos ⁡ n x d x

b n = 1 π - π n c o s ⁡ ( n π ) + 1 n 2 sen ⁡ n x 0 π

b n = - 1 n c o s ⁡ ( n π )

Lembrando que

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Temos

b n = - 1 n ( - 1 ) = 1 n               n   é   í m p a r - 1 n 1 = - 1 n                   n   é   p a r          

b n = - 1 n + 1 n

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen n π x L