Teoria Completa
Definição
Você já deve ter se deparado com aquelas funções bizarras que dava vontade de chorar! Então a série de Fourier vem para acabar com os nossos problemas. Essa série transforma as funções em soma de senos e cossenos (essas dai a gente gosta!).
Antes de vermos como se transforma uma função na soma de senos e cossenos, vamos entender a fórmula da série de Fourier que é dada por essa expressão:
Calma, vamos explicar o que cada parte significa!
Os termos , e são coeficientes, números, que variam dependendo da função que queremos representar, mais à frente vamos ver como calculá-los, ok?
Esse , presente tanto no seno como no cosseno vem do índice da série, ou seja, fazendo encontramos os termos do somatório.
Como queremos escrever uma função em forma de série, a variável está lá dentro do somatório.
Agora falta esse , o que ele significa? Ele vem do período da função, , que queremos representar.
Fórmula dos coeficientes da série de Fourier
Mas aquela fórmula da Série de Fourier não serve para nada se não tivermos os coeficientes e , não é? Eles são dados pelas seguintes fórmulas:
Mas Atenção!! Veja que fazendo , temos
E cuidado! Na série, o aparece dividido por dois!!
Essas são as fórmulas dos coeficientes da Série de Fourier, grave elas!!
Agora vamos para a parte que interessa: como representar funções por Séries de Fourier? Vamos ver isso na prática!
Exemplo: Esboce o gráfico da função dada e encontre sua Série de Fourier.
Passo 1: Vamos fazer o gráfico de
Para fazer o gráfico de , primeiro nós desenhamos os dados que estão nos colchetes (que valem em ), como fizemos em vermelho. Inclusive os pontos de descontinuidade, as bolinhas cheias e vazias!
Depois, é só repetir esse desenho para a esquerda e para a direita (a cada a função se repete). Inclusive os pontos de descontinuidade, ok?
Ponto, essa é a função periódica.
Passo 2: Precisamos agora encontrar a Série de Fourier de , temos o seguinte:
Agora precisamos calcular essas integrais!
Passo 3: Vamos calcular
Fazendo na expressão de , temos:
Ok, mas o que colocamos no lugar de ? Veja no gráfico, que de a temos duas expressões diferentes para , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:
Veja os intervalos que escrevemos! A função vale em e em . Resolvendo essas integrais, temos
Passo 4: Agora vamos calcular os outros ’s.
Temos que:
Dividindo essa integral em duas, como fizemos com :
Guarde isso!
Passo 5: Agora só falta calcular os ’s
Dividindo essa integral em duas:
E como:
Sempre que você encontrar um cosseno (ou seno) na expressão do ou tente se livrar dele, porque isso simplifica a resposta. Em das vezes, você consegue fazer isso por essa análise aqui:
Logo
Passo 6: Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:
Isso nos dá:
Agora vamos com calma. Não podemos escrever direto no somatório porque isso só vale para ímpar! Vamos definir então , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Para temos , portanto a série deve começar em .Temos então
Esses exercícios são realmente trabalhosos, mas a boa notícia é que são todos muito parecidos! Então se você treinar bastante acaba gravando como se faz.
Exercício Resolvido #1
a) Esboce o gráfico da função dada por 3 períodos
b) Encontre a série de Fourier da função dada
Passo 1
a)
Para fazer o gráfico de , primeiro nós desenhamos os dados que estão nos colchetes (que valem em ), como fizemos em vermelho.
Depois, é só repetir esse desenho para a esquerda e para a direita (a cada a função se repete).
Passo 2
Letra b)
Precisamos agora encontrar a Série de Fourier de , temos o seguinte:
Como , sabemos que o período da função é , esse é o intervalo em que ela se repete. Lembra que a função representada por Série de Fourier tem que ser periódica? Então o da nossa fórmula é o mesmo da função.
Passo 3
Agora vamos calcular
Fazendo na expressão de temos:
Veja no gráfico, que de a temos duas expressões diferentes para , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:
Repare nos intervalos que escrevemos! A função vale em e em . Resolvendo essas integrais, temos
Passo 4
Agora vamos calcular os outros ’s. Temos que:
Dividindo essa integral em duas, como fizemos com :
Agora vamos integrar por partes, ok? Fazendo
Como o cosseno é uma função par:
Agora vamos analisar com calma. Perceba que
Logo
Guarde isso!
Obs: sempre que você encontrar um cosseno na expressão do ou do , faça essa análise!
Passo 5
Agora só falta calcular os ’s
Dividindo essa integral em duas:
Agora vamos fazer a integração por partes:
Lembrando que
Temos
Passo 6
Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:
Vamos separar a série em duas para ver melhor:
Agora vamos com calma. Não podemos escrever direto no somatório porque isso só vale para ímpar. Vamos definir no primeiro somatório, então, , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Para temos , portanto a série deve começar em .Temos então
Agora vamos substituir o valor de usando a notação também, só para ficar igual à primeira série
Já que as duas séries possuem os mesmos índices, podemos juntá-las, não é?
Resposta
Exercício Resolvido #2
Suponha que a função dada é estendida, periodicamente, para fora do intervalo original.
Encontre a série de Fourier da função estendida
Passo 1
Precisamos encontrar a Série de Fourier de , temos o seguinte:
Como o intervalo da função que o problema deu é (de até ) e temos que estender a função, esse será o seu período. Então:
Passo 2
Agora vamos calcular
Fazendo na expressão de temos:
Veja que de a temos duas expressões diferentes para , então o único jeito é dividir essa integral em duas, olha só:
Repare nos intervalos que escrevemos! A função vale em e em . Resolvendo essas integrais, temos
Passo 3
Agora vamos calcular os outros ’s. Temos que:
Dividindo essa integral, como fizemos com :