Raio e Intervalo de Convergência

Teoria Completa

Intervalo e raio de convergência

Agora que sabemos o que são séries de potência, vamos ver mais algumas características de séries que podem ser aplicadas a séries de potência!

Nós definimos séries de potências como,

∑ n = 0 ∞ c n ( x ) n

Mas ela pode ser escrita também da forma,

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Que é dita que a série está centrada em a .

O que nós vamos querer descobrir, então, é quando uma série de potências converge, ou seja, para que valores de x a série vai convergir. Esse intervalo em que a série converge é chamado de intervalo de convergência.

A série geométrica,

∑ n = 0 ∞ c n ( x ) n

converge para x < 1 , logo, seu intervalo de convergência é ( - 1 ,   1 ) .

De forma geral, seja a série de potência:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Para a convergência de uma série de potências genérica, então, temos três possibilidades:

  1. A série converge apenas para x = a (ela sempre converge pelo menos para esse valor)
  2. A série converge para todo x   ∈   R
  3. Existe um número real R tal que a série converge para x - a < R e diverge caso contrário.

Converge para x ∈     ] a - R ,   a + R [ , que é o intervalo de convergência e R é o raio de convergência.

Por exemplo, a série geométrica tem raio de convergência igual a 1 , pois converge quando x < 1 e diverge caso contrário. Em termos práticos: o raio de convergência é a distância entre o centro da série até um limite do intervalo de convergência. Veja a figura:

Portanto, quando temos um raio de convergência R , o intervalo de convergência da série é dado por ( a - R ,   a + R ) (aberto ou fechado nas extremidades, depende do caso).

Para entender melhor o conceito vamos ver alguns exemplos práticos! Mas antes é bom revisar alguns testes de convergências bem úteis para encontrar o raio e intervalo de convergência!

Teste da razão e da raiz para séries de potência

Os Testes da razão e da raiz continuam sendo os mesmos para esse tipo de série, só vamos te mostrar aqui uma forma diferente de aplicá-lo, que facilita muito encontrar o raio e o intervalo de convergência da série.

Para você não precisar ficar analisando o x (além do n ) quando calcular o lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n , vamos deixar essa variável de lado. Como assim?

Teste da razão

Dada uma série de potência:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Se lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L , então seu raio de convergência é R = 1 / L .

Por quê? Veja só, vamos aplicar o teste com o termo geral, incluindo a potência:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ c n + 1 x - a n + 1 c n x - a n = lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n ( x - a )

Se lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L , como ( x - a ) independe de n temos então

= lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n ( x - a ) = L | x - a | = ?

Resta então, saber quando esse valor é menor ou maior que 1 . Veja que se temos:

| x - a | < 1 L       →       L | x - a | < 1

Nesse caso, pelo Teste da razão, a série converge. Por outro lado, quando

| x - a | > 1 L       →       L | x - a | > 1

Assim, a série diverge. Concluímos, portanto, que a série converge apenas para x - a < 1 / L . Essa não é exatamente a definição de raio de convergência? Pronto, agora você entendeu porque R = 1 / L .

Lembre-se de que o Teste da razão, bem como o da raiz, não afirma nada quando o limite é exatamente igual a 1 , ou seja, quando | x - a | = 1 / L = R .Por esse motivo, não podemos afirmar nada sobre as extremidades do intervalo de convergência sem estudá-las caso a caso!

Teste da raiz

De forma parecida com o que vimos para o Teste da razão, podemos aplicar o Teste da raiz de um jeito diferente para séries de potência.

Dada uma série de potência:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Se lim n → ∞ ⁡ c n n = L , então seu raio de convergência é R = 1 / L .

Em resumo: você tem duas opções

  1. Faça o Teste da razão ou o da raiz da forma tradicional, calculando
  2. lim n → ∞ ⁡ c n + 1 x - a n + 1 c n x - a n

    E veja quando esse limite é menor que 1 , para descobrir quando a série converge;

  3. Faça o Teste da razão ou o da raiz na forma especial para séries de potência, calculando

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

Nesse caso, R = 1 / L e o intervalo de convergência é ( a - R ,   a + R ) (aberto ou fechado nas extremidades, dependendo do caso).

Vamos à prática agora!

Exemplo: Qual o intervalo de convergência da série abaixo?

∑ n = 0 ∞ x - 1 n n !

Passo 1: Essa série, como podemos ver, é centrada em a = 1 . Vamos usar o Teste da razão para estudar sua convergência.

a n = x - 1 n n !

a n + 1 = x - 1 n + 1 ( n + 1 ) !

Passo 2: Como a série não é necessariamente de termos positivos, vamos aplicar o módulo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x - 1 n + 1 ( n + 1 ) ! × n ! x - 1 n =

= lim n → ∞ ⁡ x - 1 ( n + 1 ) = 0     p a r a   x   ∈   R

Portanto, o intervalo de convergência dessa série é R , ou ( - ∞ ,   + ∞ ) .

Exemplo: Encontre o raio e o intervalo de convergência da série

∑ n = 0 ∞ x - 3 n

Esta série é muito próxima da série geométrica que já vimos, logo ao comparar temos que essa série converge quando o valor elevado a n for menor que 1 , ou seja x - 3 < 1 . Isso dos dá:

- 1 < x - 3 < 1

2 < x < 4

Sabemos, então, que em ( 2 ,   4 ) essa série converge, esse é seu intervalo de convergência, Veja que o centro da série é a = 3 e que sua distância até os dois bordos do intervalo é a mesma, o raio R = 1 .

Agora falta ver os extremos desse intervalo. Sempre que fizermos algum desses dois testes temos que olhar quando o x for igual a cada um desses limites do intervalo.

Se x = 2 ,a nossa série vai ficar:

∑ n = 0 ∞ 2 - 3 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n

Essa série é divergente.

Agora com x = 4

∑ n = 0 ∞ 4 - 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 n = ∑ n = 0 ∞ 1

Temos outra série que diverge. Então, nesse nosso exemplo, não vamos incluir os extremos do intervalo. O intervalo de convergência vai ser

2,4

OBS: Se a nossa série não tiver x - a n tiver outra parada muito louca no expoente, temos que usar o teste da razão com todo o termo geral da série.

Exemplo:

∑ n = 0 ∞ x 2 n

Aplicando o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 1 x 2 n = lim n → ∞ ⁡ x 2 n + 2 x 2 n = lim n → ∞ ⁡ x 2 = x 2

Para a série convergir, pelo teste da razão devemos ter:

x 2 < 1

x 2 < 1

Então:

- 1 < x < 1

De novo vamos ver os extremos, repara que temos x 2 n , então é igual para - 1 e 1

Se x = ± 1

∑ n = 0 ∞ ( ± 1 ) 2 n = ∑ n = 0 ∞ 1 n = ∑ n = 0 ∞ 1

Diverge.

Beleza? Partiu exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 691, exercício 7

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 0 ∞ x n n !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = 1 n !

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) ! × n ! =

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0 = L

Como R = 1 / L , tomando a convenção 1 / 0 = ∞ , temos R = ∞ .

Passo 2

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como o raio é infinito, não precisamos de contas para saber que esse intervalo é ( - ∞ ,   ∞ ) .

Resposta

Raio de convergência R = ∞ , intervalo: ( - ∞ ,   ∞ ) .

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 3

Estude a convergência da série de potências:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x + 2 n 3 n n 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pra estudar a convergência dessa série vamos primeiro olhar para

c n = - 1 n 3 n n 2

E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L = 1 R

Resolvendo o limite,

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1 2 3 n n 2 - 1 n = 1 3   n 2 n + 1 2 = 1 3 = L

E como L = 1 R , teremos que o raio de convergência é R = 3 .

Passo 2

Sabemos que, analisando o termo x + 2 n , podemos dizer que o centro da expansão da série é x 0 = - 2 . E portanto o intervalo de convergência da série tem extremos x 0 - R e x 0 + R . Logo, o intervalo de convergência tem extremos - 5 e 1 .

Passo 3

Agora vamos verificar se os extremos pertencem ou não ao intervalo de convergência. Pra isso, vamos verificar se a série converge, fazendo x = - 5 e x = 1 . Veja só:

Pra x = - 5 :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Que pelo teste da integral:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

Com x → ∞ , a integral converge pra 1!

Verificamos que converge! Então, x = - 5 pertence ao intervalo!

Pra x = 1 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2

Vamos usar o teste da série alternada aqui! Como

n 2 < n + 1 2 → 1 n 2 > 1 n + 1 2

Logo é decrescente. Além disso, temos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 = 0

Logo é convergente!

Resposta

R = 3