Raio de Convervência

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Teoria

Fala aí, bem vindo ao Responde Aí! Hoje vamos falar sobre Raio de Convergência e de Intervalo de convergência.

Primeiro de tudo, vamos entender como podemos saber se uma sequência converge ou diverge!

Vamos usar esse série como exemplo:

Isso é o mesmo que:

Quando o resultado de uma série infinita é ela diverge e quando seu resultado é um número finito ela converge!

Agora vamos olhar essa outra série e tentar descobrir se ela converge ou diverge:

Concorda que essa resposta vai depender de quem é ? Por isso aqui a gente fala em intervalo e raio de convergência:

  • O intervalo é a informação de quais valores onde a série converge.
  • O raio de convergência é o resultado do somatório desse conjunto contido no intervalo.

Agora, para calcular o raio de convergência usamos o teste da razão e o teste da raiz.

Bora dar uma conferida?

Teste da Razão

Por exemplo, dada uma série de potência:

Podemos aplicar por exemplo a teste da razão, que diz para gente que a série converge quando:

Encontrando um valor menor que um teremos:

E o raio de convergência desta série vale . Vamos fazer um exemplo:

Exemplo:

Dada a série:

Então fazemos:

Como e não existe divisão por , podemos dizer que .

Teste da Raiz

Outro teste que frequentemente utilizamos é o teste da raiz, que nos diz que uma série

é convergente quando:

Assim como no teste da razão temos que se esse limite vale , o raio de convergência da série vale .

Exemplo:

Qual é o intervalo de convergência da série:

Aplicando o teste da raiz:

Como sabemos que esse limite tem que ser menor que :

Logo:

$$-1
$$2

Então nesse caso o intervalo de convergência vale , e como a série é centralizada em , podemos concluir que o raio vale :

Intervalo de convergência e raio de convergência.
Intervalo de convergência e raio de convergência.

Muito bem, vamos dar uma olhada em um exercício para ter certeza que entendemos bem!

Exercícios:

Confere aqui em baixo um exercício resolvido em vídeo sobre de Raio e Intervalo de Convergência 👇👇👇

Vamos praticar com mais exercícios?!

Mascote do Responde Aí!
Mascote do Responde Aí!

Teste da Razão

Teste da Raiz

Exercícios:

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 1

Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão. Para isso temos que calcular,

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

Se L < 1 , temos que a série converge.

Aplicando então na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = 1 n !

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) ! × n ! =

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0 = L

O raio de convergência R vai nos dizer até que valor a série converge. Como pelo teste da razão temos que a série converge para L < 1 . Temos que R = 1 / L . Como nosso L é zero, tomando a convenção 1 / 0 = ∞ , temos R = ∞ .

Passo 2

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como o raio é infinito, não precisamos de contas para saber que esse intervalo é ( - ∞ ,   ∞ ) .

Resposta

Raio de convergência R = ∞ , intervalo: ( - ∞ ,   ∞ ) .

Exercício Resolvido #2

Estude a convergência da série de potências:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x + 2 n 3 n n 2

Passo 1

Pra estudar a convergência dessa série vamos primeiro olhar para

c n = - 1 n 3 n n 2

E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L = 1 R

Resolvendo o limite,

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1 2 3 n n 2 - 1 n = 1 3   n 2 n + 1 2 = 1 3 = L

E como L = 1 R , teremos que o raio de convergência é R = 3 .

Passo 2

Sabemos que, analisando o termo x + 2 n , podemos dizer que o centro da expansão da série é x 0 = - 2 . E portanto o intervalo de convergência da série tem extremos x 0 - R e x 0 + R . Logo, o intervalo de convergência tem extremos - 5 e 1 .

Passo 3

Agora vamos verificar se os extremos pertencem ou não ao intervalo de convergência. Pra isso, vamos verificar se a série converge, fazendo x = - 5 e x = 1 . Veja só:

Pra x = - 5 :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Que pelo teste da integral:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

Com x → ∞ , a integral converge pra 1!

Verificamos que converge! Então, x = - 5 pertence ao intervalo!

Pra x = 1 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2

Vamos usar o teste da série alternada aqui! Como

n 2 < n + 1 2 → 1 n 2 > 1 n + 1 2

Logo é decrescente. Além disso, temos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 = 0

Logo é convergente!

Resposta

R = 3

- 5,1

Exercício Resolvido #3

Determinar o raio de convergência da série de potências

∑ n = 0 + ∞ n ! x n 2

Passo 1

Como temos fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esse caso. Já que temos x n 2 , não x n , vamos usar o teste na forma tradicional.

Temos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde

a n = n ! x n 2

a n + 1 = n + 1 ! x n + 1 2

Passo 2

Isso nos dá

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! x n + 1 2 n ! x n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 x n 2 + 2 n + 1 - n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 =

Vamos analisar esse limite agora,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = ∞ ∙ x ∞

Dependendo do valor de x temos uma indeterminação ∞ ∙ 0 ou o limite vai ser ∞ ∙ ∞ que é .

Isso tudo depende do valor de x , se ele for menor que 1 então x ∞ vai para 0 e temos a indeterminação, se ele for maior que 1 então x ∞ vai ser . Assim já garantimos que

x ≥ 1

A série diverge, temos que analisar a outra situação

Passo 3

Vamos ver agora o limite quando x < 1

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = ∞ ∙ 0

Vamos fazer

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1

Para isso vamos considerar também x ≠ 0 , para evitar problemas de conta, mas repara que se x = 0 então temos o somatório de 0 que converge.

Voltando para o limite

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1 = ∞ ∞

Agora podemos aplica L’Hopital

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 - 2 ln ⁡ x ∙ x - 2 n - 1 = 1 ∞ = 0 < 1

Assim pelo teste da razão se x < 1 a série converge.

Passo 4

Achamos um intervalo de x que a série converge

x < 1

Como ele quer o raio de convergência, vamos ter que esse raio vai ser 1

R = 1

Resposta

R = 1

Exercício Resolvido #4

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n

Passo 1

Antes de tudo, precisamos reescrever essa série na forma geral:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Na série do problema, temos “ 2 x ”, não “ x ”. Vamos mudar isso:

∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 / 2 n n ln ⁡ n =

= ∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 n   n ln ⁡ n x + 3 / 2 n

Agora sim, temos uma série de potências centrada em a = - 3 / 2 .

Passo 2

Agora sim: para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = - 1 n 2 n   n ln ⁡ n

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) ln ⁡ ( n + 1 ) × n ln ⁡ n - 1 n 2 n =

= lim n → ∞ ⁡ - 2 n ln ⁡ n ( n + 1 ) ln ⁡ ( n + 1 ) =

Aqui vamos fazer um pequeno algebrismo:

= lim n → ∞ ⁡ - 2 n ( n + 1 ) × lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

= lim n → ∞ ⁡ - 2 n n ( 1 + 1 / n ) × lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

Como lim n → ∞ ⁡ - 2 ( 1 + 1 / n ) = 2 , temos:

= 2 lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

Para calcular esse limite, aplicamos, então, a Regra de L’Hospital (tanto o numerador como o denominador tendem a infinito). Derivando em cima e embaixo, temos:

= 2 lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / ( n + 1 ) =

= 2 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n =

= 2 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = 2

Como R = 1 / L , temos R = 1 / 2 .

Passo 3

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em a = - 3 / 2 , sabemos que esse intervalo é:

a - R ,   a + R = - 3 2 - 1 2 , -   3 2 + 1 2   = - 2 ,   - 1

Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora precisamos descobrir se as extremidades x = - 2 e x = - 1 estão inclusas ou não.

Passo 4

Para x = - 2 , a série se torna:

∑ n = 2 ∞ - 1 n - 4 + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n  

Não temos como aplicar o Teste da comparação, pois essa série possui termos maiores dos que os de uma série que converge ∑ 1 / n 2 . Pelo formato da série, Comparação no limite também não serve. O Teste da razão também não serve, pois sem nenhuma potência ou fatorial, ele será inconclusivo (encontraremos 1 ).

Vamos tentar, então, o Teste da integral, já que parece que não temos muitas opções. Temos:

a n = 1 n ln ⁡ n

Se

f x = 1 x ln ⁡ x

Temos f n = a n . Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito

∫ 2 b d x x ln ⁡ x

Estamos usando x = 2 como limite inferior por que a função não está definida em x = 1 . Definindo

ln ⁡ x = u       →     1 x = d u

Temos

∫ d u u = ln ⁡ u

∫ 2 b d x x ln ⁡ x = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) 2 b = ln ⁡ ( ln ⁡ b ) - ln ⁡ ln ⁡ 2

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b d x x ln ⁡ x = lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série também diverge.

Portanto, x = - 2 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Para x = - 1 , a série se torna:

∑ n = 2 ∞ - 1 n - 2 + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Pelo Teste das séries alternadas, essa série converge, pois 1 / ( n ln ⁡ n ) é decrescente e tende a zero quando n tende a infinito.

Portanto, x = - 1 pertence ao intervalo de convergência.

Temos, então, ( - 2 ,   - 1 ] .

Resposta

Raio de convergência R = 1 / 2 , intervalo: ( - 2 ,   - 1 ] .

Exercício Resolvido #5

Determine para quais valores de x ∈ R a série converge:

∑ n = 1 ∞ n ! n n x - 1 2 n  

Passo 1

Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter

∑ n = 1 ∞ a n x - a n

Mas temos um 2 n n o expoente ali, então temos que usar o teste da razão completo.

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n + 1 n + 1 x - 1 2 n + 2 . n n n ! x - 1 - 2 n =

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n ! . n n n + 1 n + 1 x - 1 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ! n ! . n n n + 1 n n + 1 x - 1 2 =

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n x - 1 2 = x - 1 2 lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

Passo 2

Temos que achar o limite que sobrou ali

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

Podemos falar que aquilo dentro do limite é

n n + 1 n = n n + 1 - 1 - n = n + 1 n - n = 1 + 1 n - n = 1 1 + 1 n n

Então

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n = 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n

E a gente já sabe que o limite de 1 + 1 n n para n → ∞ é a exponencial! Então:

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n = 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = 1 e

Passo 3

Assim temos que, pelo teste da razão

x - 1 2 e < 1

A série converge, ou seja,

x - 1 2 < e

- e < x - 1 < e

- e + 1 < x < e + 1

Temos o nosso intervalo de convergência, temos que ver nos extremos

Passo 4

Começando com

x = e + 1

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ n ! n n e + 1 - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n e 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! e n n n

Repara que

n = 1 → n ! e n n n = 1 ! e 1 1 1 = e

Então se essa série for crescente ela diverge, se ela for decrescente ela diverge.

Vamos analisar

a n = n ! e n n n

Para ver se é crescente ou decrescente vamos analisar

a n + 1 a n

Vai ser

n + 1 ! e n + 1 n + 1 n + 1 n n n ! e n = n + 1 . n ! e n + 1 n + 1 n n + 1 n n n ! e n = e n n n + 1 n

Se jogarmos aquele n n para baixo em baixo vamos ter uma parada que lembra o teorema exponencial

e 1 + 1 n n

O denominador vai para e quando n → ∞ mas ele é crescente e começa no 1 , então temos

e 1 + 1 n n > 1

Assim

a n + 1 a n > 1

E a nossa série vai ser crescente, logo diverge.

Passo 5

Agora vamos fazer

x = - e + 1

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ n ! n n - e + 1 - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n - e 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! e n n n

Que é a mesma série de antes, então também diverge.

E o intervalo de convergência vai ser

- e + 1 , e + 1

Resposta

- e + 1 , e + 1

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