Raio de Convervência

Teoria Completa

Fala aí, bem vindo ao RespondeAí, hoje nós vamos falar de um conceito que é estudado em Cálculo, quando aprendemos sobre Série de Potência. Vamos falar sobre Raio de Convergência, também chamado de intervalo de convergência.

Quando estamos estudando sobre séries de potências nossos professores nos ensinam diversos testes que servem para descobrirmos se uma série é divergente ou convergente, e para descobrirmos para quais valores de $x$ nossa série converge.

Por exemplo, dada uma série de potência:

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$$

Podemos aplicar por exemplo a teste da razão, que diz para gente que a série converge quando:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{c_{n+1}}{c_n}\Big|\lt1$$

Encontrando um valor menor que um teremos:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{c_{n+1}}{c_n}\Big|=L$$

E o raio de convergência desta série vale $R=\frac{1}{L}$. Vamos fazer um exemplo:

Dada a série:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n!}$$

Então fazemos:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{c_{n+1}}{c_n}\Big|=\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1!}×\frac{(x-1)^n}{n!}\Big|$$
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{(x-1)}{(n+1)}\Big|=0$$

Como $L=0$ e não existe divisão por $0$, podemos dizer que $R=(-\infty, \infty)$.

Outro Teste que frequentemente utilizamos é o teste da raiz, que nos diz que uma série

é convergente quando:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|c_n|}\lt1$$

Assim como no teste da razão temos que se esse limite vale $L$, o raio de convergência da série vale $R=\frac{1}{L}$. Vamos ver um exemplo:

Qual é o intervalo de convergência da série:

$$\sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^n$$

Aplicando o teste da raiz:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}=\sqrt[n]{|(x-3)^n|}=|x-3|$$

Como sabemos que esse limite tem que ser menor que $1$:

$$|x-3|<1$$

Logo:

$$-1
$$2

Então nesse caso o intervalo de convergência vale $(2,4)$, e como a série é centralizada em $3$, podemos concluir que o raio vale $R=1$:

Muito bem, vamos dar uma olhada em um exercício para ter certeza que entendemos bem!

Exercícios

Confere aqui em baixo um exercício resolvido por um de nossos Experts do tópico de Raio e Intervalo de Convergência:

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 691, exercício 7

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 0 ∞ x n n !

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Passo 1

Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão. Para isso temos que calcular,

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

Se L < 1 , temos que a série converge.

Aplicando então na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = 1 n !

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) ! × n ! =

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0 = L

O raio de convergência R vai nos dizer até que valor a série converge. Como pelo teste da razão temos que a série converge para L < 1 . Temos que R = 1 / L . Como nosso L é zero, tomando a convenção 1 / 0 = ∞ , temos R = ∞ .

Passo 2

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como o raio é infinito, não precisamos de contas para saber que esse intervalo é ( - ∞ ,   ∞ ) .

Resposta

Raio de convergência R = ∞ , intervalo: ( - ∞ ,   ∞ ) .

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 3

Estude a convergência da série de potências:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x + 2 n 3 n n 2

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Passo 1

Pra estudar a convergência dessa série vamos primeiro olhar para

c n = - 1 n 3 n n 2

E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L = 1 R

Resolvendo o limite,

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1 2 3 n n 2 - 1 n = 1 3   n 2 n + 1 2 = 1 3 = L

E como L = 1 R , teremos que o raio de convergência é R = 3 .

Passo 2

Sabemos que, analisando o termo x + 2 n , podemos dizer que o centro da expansão da série é x 0 = - 2 . E portanto o intervalo de convergência da série tem extremos x 0 - R e x 0 + R . Logo, o intervalo de convergência tem extremos - 5 e 1 .

Passo 3

Agora vamos verificar se os extremos pertencem ou não ao intervalo de convergência. Pra isso, vamos verificar se a série converge, fazendo x = - 5 e x = 1 . Veja só:

Pra x = - 5 :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Que pelo teste da integral:

∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C

Com x → ∞ , a integral converge pra 1!

Verificamos que converge! Então, x = - 5 pertence ao intervalo!

Pra x = 1 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2

Vamos usar o teste da série alternada aqui! Como

n 2 < n + 1 2 → 1 n 2 > 1 n + 1 2

Logo é decrescente. Além disso, temos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 = 0

Logo é convergente!

Resposta

R = 3

- 5,1

Exercício Resolvido #3

UFRJ – Cálculo 4 – P1 2013.1 – 1c

Determinar o raio de convergência da série de potências

∑ n = 0 + ∞ n ! x n 2

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Passo 1

Como temos fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esse caso. Já que temos x n 2 , não x n , vamos usar o teste na forma tradicional.

Temos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde

a n = n ! x n 2

a n + 1 = n + 1 ! x n + 1 2

Passo 2

Isso nos dá

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! x n + 1 2 n ! x n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 x n 2 + 2 n + 1 - n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 =

Vamos analisar esse limite agora,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = ∞ ∙ x ∞

Dependendo do valor de x temos uma indeterminação ∞ ∙ 0 ou o limite vai ser ∞ ∙ ∞ que é .

Isso tudo depende do valor de x , se ele for menor que 1 então x ∞ vai para 0 e temos a indeterminação, se ele for maior que 1 então x ∞ vai ser . Assim já garantimos que

x ≥ 1

A série diverge, temos que analisar a outra situação

Passo 3

Vamos ver agora o limite quando x < 1

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = ∞ ∙ 0

Vamos fazer

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1

Para isso vamos considerar também x ≠ 0 , para evitar problemas de conta, mas repara que se x = 0 então temos o somatório de 0 que converge.

Voltando para o limite

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1 = ∞ ∞

Agora podemos aplica L’Hopital

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 - 2 ln ⁡ x ∙ x - 2 n - 1 = 1 ∞ = 0 < 1

Assim pelo teste da razão se x < 1 a série converge.

Passo 4

Achamos um intervalo de x que a série converge

x < 1

Como ele quer o raio de convergência, vamos ter que esse raio vai ser 1

R = 1

Resposta

R = 1

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n

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Passo 1

Antes de tudo, precisamos reescrever essa série na forma geral:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Na série do problema, temos “ 2 x ”, não “ x ”. Vamos mudar isso:

∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 x + 3 / 2 n n ln ⁡ n =

= ∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 n   n ln ⁡ n x + 3 / 2 n

Agora sim, temos uma série de potências centrada em a = - 3 / 2 .

Passo 2

Agora sim: para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = - 1 n 2 n   n ln ⁡ n

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) ln ⁡ ( n + 1 ) × n ln ⁡ n - 1 n 2 n =

= lim n → ∞ ⁡ - 2 n ln ⁡ n ( n + 1 ) ln ⁡ ( n + 1 ) =

Aqui vamos fazer um pequeno algebrismo:

= lim n → ∞ ⁡ - 2 n ( n + 1 ) × lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

= lim n → ∞ ⁡ - 2 n n ( 1 + 1 / n ) × lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

Como lim n → ∞ ⁡ - 2 ( 1 + 1 / n ) = 2 , temos:

= 2 lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ln ⁡ ( n + 1 ) =

Para calcular esse limite, aplicamos, então, a Regra de L’Hospital (tanto o numerador como o denominador tendem a infinito). Derivando em cima e embaixo, temos:

= 2 lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / ( n + 1 ) =

= 2 lim n → ∞ ⁡ n + 1 n =

= 2 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n = 2

Como R = 1 / L , temos R = 1 / 2 .

Passo 3

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em a = - 3 / 2 , sabemos que esse intervalo é:

a - R ,   a + R = - 3 2 - 1 2 , -   3 2 + 1 2   = - 2 ,   - 1

Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora precisamos descobrir se as extremidades x = - 2 e x = - 1 estão inclusas ou não.

Passo 4

Para x = - 2 , a série se torna:

∑ n = 2 ∞ - 1 n - 4 + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n  

Não temos como aplicar o Teste da comparação, pois essa série possui termos maiores dos que os de uma série que converge ∑ 1 / n 2 . Pelo formato da série, Comparação no limite também não serve. O Teste da razão também não serve, pois sem nenhuma potência ou fatorial, ele será inconclusivo (encontraremos 1 ).

Vamos tentar, então, o Teste da integral, já que parece que não temos muitas opções. Temos:

a n = 1 n ln ⁡ n

Se

f x = 1 x ln ⁡ x

Temos f n = a n . Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito

∫ 2 b d x x ln ⁡ x

Estamos usando x = 2 como limite inferior por que a função não está definida em x = 1 . Definindo

ln ⁡ x = u       →     1 x = d u

Temos

∫ d u u = ln ⁡ u

∫ 2 b d x x ln ⁡ x = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) 2 b = ln ⁡ ( ln ⁡ b ) - ln ⁡ ln ⁡ 2

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b d x x ln ⁡ x = lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série também diverge.

Portanto, x = - 2 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Para x = - 1 , a série se torna:

∑ n = 2 ∞ - 1 n - 2 + 3 n n ln ⁡ n = ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n

Pelo Teste das séries alternadas, essa série converge, pois 1 / ( n ln ⁡ n ) é decrescente e tende a zero quando n tende a infinito.

Portanto, x = - 1 pertence ao intervalo de convergência.

Temos, então, ( - 2 ,   - 1 ] .

Resposta

Raio de convergência R = 1 / 2 , intervalo: ( - 2 ,   - 1 ] .

Exercício Resolvido #5

USP - Cálculo 4 - P1 2014 - 3b

Determine para quais valores de x ∈ R a série converge:

∑ n = 1 ∞ n ! n n x - 1 2 n  

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Passo 1

Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter

∑ n = 1 ∞ a n x - a n

Mas temos um 2 n n o expoente ali, então temos que usar o teste da razão completo.

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n + 1 n + 1 x - 1 2 n + 2 . n n n ! x - 1 - 2 n =

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n ! . n n n + 1 n + 1 x - 1 2 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ! n ! . n n n + 1 n n + 1 x - 1 2 =

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n x - 1 2 = x - 1 2 lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

Passo 2

Temos que achar o limite que sobrou ali

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n

Podemos falar que aquilo dentro do limite é

n n + 1 n = n n + 1 - 1 - n = n + 1 n - n = 1 + 1 n - n = 1 1 + 1 n n

Então

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n = 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n

E a gente já sabe que o limite de 1 + 1 n n para n → ∞ é a exponencial! Então:

lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n = 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = 1 e

Passo 3

Assim temos que, pelo teste da razão

x - 1 2 e < 1

A série converge, ou seja,

x - 1 2 < e

- e < x - 1 < e

- e + 1 < x < e + 1

Temos o nosso intervalo de convergência, temos que ver nos extremos

Passo 4

Começando com

x = e + 1

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ n ! n n e + 1 - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n e 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! e n n n

Repara que

n = 1 → n ! e n n n = 1 ! e 1 1 1 = e

Então se essa série for crescente ela diverge, se ela for decrescente ela diverge.

Vamos analisar

a n = n ! e n n n

Para ver se é crescente ou decrescente vamos analisar

a n + 1 a n

Vai ser

n + 1 ! e n + 1 n + 1 n + 1 n n n ! e n = n + 1 . n ! e n + 1 n + 1 n n + 1 n n n ! e n = e n n n + 1 n

Se jogarmos aquele n n para baixo em baixo vamos ter uma parada que lembra o teorema exponencial

e 1 + 1 n n

O denominador vai para e quando n → ∞ mas ele é crescente e começa no 1 , então temos

e 1 + 1 n n > 1

Assim

a n + 1 a n > 1

E a nossa série vai ser crescente, logo diverge.

Passo 5

Agora vamos fazer

x = - e + 1

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ n ! n n - e + 1 - 1 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n - e 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! e n n n

Que é a mesma série de antes, então também diverge.

E o intervalo de convergência vai ser

- e + 1 , e + 1

Resposta

- e + 1 , e + 1

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