Introdução à Série de Potência

Teoria Completa

Introdução

Seja bem vindo ao mundo das Séries de Potências! Essenciais para representação de funções bizarraras (que talvez envolva seno, tangente...) em simples potências !

Essas séries, vieram da junção de dois mundos que eu tenho certeza que você já tem visto alguma vez no trem da vida: Polinômios ( ou potências) e Séries. Vejamos com mais clareza o resuminho desses dois mundos pra depois juntarmos em um só! Preparados?

Polinômios(ou potências):

Os polinômios são funções da variável x em forma de potência! Veja um polinômio de segundo grau:

P x = 3 x 2 + 4 x + 2

x é a variável da função (nesse caso chamado de polinômio P ). 3 ,   4 e 2 são constantes presentes em todo polinômio e são os coeficientes.

Agora veja outros dois exemplos de polinômios do terceiro grau:

Q x = 10 x 3 - 2 x 2 + 5 x - 4                 a n d                   R x = 7 x 3

Ambos são do terceiro grau, mas a diferença é que enquanto no primeiro os coeficientes são 10 ,   - 2 ,   5 e 4 , no segundo é como se tivéssemos:

R x = 7 x 3 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x + 0

Então os coeficientes são 7 ,   0 ,   0 ,   0 .

Séries

Na forma mais sucinta, são somas ! Se você quiser somar, por exemplos os números pares que estão entre 1 e 10 :

2 + 4 + 6 + 8 = ∑ n = 1 4 2 n

Esse símbolo ( ) é chamado de somatório. O n = 1 representa o o primeiro termo, e o 4 representa o último termo ( n = 4 ). Lembrou?

As séries que a gente vai trabalhar aqui são infinitas, ou seja:

∑ n = 1 ∞ 2 n

Nesse caso, o 2 n é o termo geral da série!

Séries de Potência

Finalmente a gente pode falar da série de potência! Que nada mais é do que um polinômio (ou uma potência) escrito condensadamente em um somatório:

c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Só que é um polinômio que “vai para o infinito” percebe? x continua sendo a variável enquanto c 0 ,   c 1 ,   c 2 ,   c 3 , … são os coeficientes do polinômio, ou... da série !

Se a gente quiser representar o P x la do primeiro exemplo em forma de série de potência, agora a gente pode:

P x = 3 x 2 + 4 x + 2 = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Onde onde os coeficientes são: c 0 = 2 , c 1 = 4 e c 2 = 3 . Todos os outros c n são zeros! Afinal o P x acaba no n = 2 , saca?

Nesse caso exemplar, a série foi uma série finita, pois o polinômio tem fim (todos os c n após n = 2 são zeros). Mas nos casos que a gente vai trabalhar a partir de agora, serão séries infinitas, ou seja, os coeficientes não serão todos zeros, e conhece-los será o seu trabalho! Afinal, quando se conhece os c n (coeficientes) conhece a série de potência!

Para começar a treinar, me diga quem são os coeficientes dessa série aqui:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + … + x n + …

Se você me disse que todos são iguais a 1 ...

c n = 1 ,   p a r a   t o d o   n

SHOW! E já essa série aqui:

∑ n = 1 ∞ 2 n x n

Ora, c n = 2 n , ou seja: c 0 = 0 ,   c 1 = 2 ,   c 2 = 4 …

Convergência e Divergência da Séries de Potências

Deixa eu só te recordar uma coisinha aqui: você se lembra que séries infinitas elas podem convergir para um valor, ou divergir?

Pois então, aqui não vai ser muito diferente e também existirá essa preocupação. Entretanto, lá em uma série normal, por exemplo:

∑ n = 1 ∞ 2 n

Você poderia dizer já de cara que essa série diverge pois 2 n vai para o infinito (Teste da divergência). Agora e quanto a série de potência:

∑ n = 1 ∞ 2 n x n

Concorda que essa resposta vai depender de quem é a incógnita x ? Por isso aqui a gente fala em intervalo e raio de convergência:

  • O intervalo, é a informação de quais valores de x dentro de um conjuntinho a série converge.
  • O raio é só uma medida do tamanho desse conjunto

Mas não se preocupe, a gente vai ver isso com muito detalhe mais pra frente ;)

Série Geométrica

Pronto, agora que já fizemos a introdução a séries de potência, chegou o momento de falar de uma Série de Potências muito especia: série geométrica. E você já a conhece, pois já te mostrei ela aqui:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + … + x n + …

É importantíssimo você saber, que essa série converge para x entre - 1 e 1 , e diverge para qualquer outro! Outra forma mais elegante de falar o que eu acabei de falar é que a série geométrica só converge para x ∈ ] - 1,1 [ , ou x < 1 . Nesse caso, o intervalo de convergência, é o intervalo de - 1 a 1 :

I n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a       →       x ∈ ] - 1,1 [

Já o raio, é x < 1 igual a 1 ! Saca? Além disso, pode ser provado, que a série geométrica converge para:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Claro, se x estiver no intervalo de convergência. Pra não atramalhar o nosso raciocínio, a prova se encontra no final deste capítulo, ok?

OBS: x nesse caso é conhecido como RAZÃO da série geométrica.

Representação de funções por séries de potência

Talvez você tenha se perguntado “para que serve esse tipo de série, com variável?”. Vamos responder isso aqui!

Já te dei um spoiler que servem para representar funções. Então, imagina que se queira representar a função:

f x = 2 1 - x

Em forma de potências. Como podemos fazer isso? Ora, sabemos que:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

Então, multiplicando ambos lados por 2 , temos:

f x = 2 1 - x = 2 ∑ n = 0 ∞ x n =

∑ n = 0 ∞ 2 x n

Pronto! O polinômio que representa a função f é:

f x = 2 + 2 x + 2 x 2 + …

Claro! Como a série geométrica só funciona para x entre - 1 e 1 , essa representação também só será últil para esse intervalo (afinal usamos a série geométrica para esse representação).

Tente você mesmo agora representar essa função aqui:

f x = 1 2 + x

Se não conseguiu, não tem problema, olha o passo a passo que eu preparei para você:

Passo 1: Se você reparar, essa função tem alguma semelhança com a soma da Série geométrica. Vamos, então, tentar reescrevê-la naquele formato. (sempre busque essa semelhança):

1 2 + x =

Colocando o 2 em evidência 2 + x = 2 1 + x 2 ...

1 2 ⋅ 1 1 + x 2 = 1 2 ⋅ 1 1 - ( - x / 2 )

Passo 2: Agora, comparando essa expressão com a função

1 1 - x

Vemos que a nossa nova razão é – x / 2 . Então, em vez de ∑ x n , temos

∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Mas, não podemos nos esquecer naquele termo 1 / 2 em evidência. Temos, então

1 2 ⋅ 1 1 - ( - x / 2 ) = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Ou seja, a representação da função em é...

f x = 1 2 + x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n

Agora uma coisa muito importante é dizer qual é o raio de x onde essa representação funciona! Ora, sabemos que para a série:

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x         →           c o n v e r g e   p a r a   x < 1

Então...

1 2 ∑ n = 0 ∞ - x 2 n = 1 2 + x         →     c o n v e r g e   p a r a     - x 2 < 1       →      

Como módulo elimina o sinal negativo...

x < 2

Pronto, essa é a representação da função em série de potências.

A forma mais geral da Série de Potências

Eu disse a você que a série geométrica era escrito assim:

∑ n = 0 ∞ c n x n

Mas na verdade eu omití um detalhe. A forma mais geral da série mesmo é assim:

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n

Não se preocupe com esse a , ele é um número informado e ele se refere ao ponto onde a série está centralizada, ou seja, dizemos que a série está centrada em a . Para encontrar esta série basta substituir x , por ( x - a ) no polinômio, assim teremos

∑ n = 0 ∞ c n ( x - a ) n = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a ) 2 + c 3 ( x - a ) 3 …

No caso de:

∑ n = 0 ∞ c n x n

Estamos falando de uma série centra na origem !

Pois bem, acabamos aqui a introdução a nossa série de potência! Aqui em baixo tem uma prova da convergência da série geométrica. Leia, caso queira se gabar com os amigos depois, caso não esteja afim não é algo muito cobrado não, então recomendo fazer os exercícios para você ficar fera nesse assunto! Obrigado !

Prova de convergência da Série Geométrica

Seja s n a soma dos n primeiros termos da série, então

s n = 1 + x + x 2 + … + x n - 1

Como queremos o valor da série, vamos usar um truque para encontrar s n . O truque é multiplicar a s n   por x :

s n x = x + x 2 + … + x n - 1 + x n

Vamos fazer s n - s n x e ver o resultado,

s n - s n x =   1 + x + x 2 + … + x n - 1 - ( x + x 2 + … + x n - 1 + x n )

s n - s n x = 1 - x n

s n 1 - x = ( 1 - x n )

s n = 1 - x n 1 - x

Como a série é infinita, devemos avaliar o comportamento pra n → ∞ .

Quando x < 1 , x n → 0 ,   quando n → ∞ . Portanto, a série fica:

x < 1 → s n → 1 1 - x

Logo,

∑ n = 0 ∞ x n =   1 1 - x

Já para x > 1 , x n → ∞ ,   quando n → ∞ . Portanto, a série diverge!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.2 - 3

Ache a expansão em série de potências de f x = 1 x 2 - 1 em torno de x 0 = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, primeiro vamos reescrever f ( x ) de maneira esperta!

f x = 1 x 2 - 1 = - 1 1 - x 2

Passo 2

Veja então que f ( x ) tem a cara da função:

f x = - 1 1 - a

Com a = x 2 .

Que é exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a - 1 .

Passo 3

Então, temos que

f x = - 1 1 - x 2 = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Resposta

f x = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 9(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = 1 + x 1 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = 1 + x 1 - x

Que pode ser rescrito como

f x = 1 + x 1 1 - x

Passo 2

O segundo cara entre parênteses é a série geométrica, certo?

1 1 - x = ∑ n = 0 x n

De forma que a gente fica com

f x = 1 + x ∑ n = 0 x n

Passo 3

Expandindo isso ficamos com

f x = ∑ n = 0 x n + x ∑ n = 0 x n = ∑ n = 0 x n + ∑ n = 0 x n + 1

Beleza! Mas dá pra simplificar mais um pouco! É só lembrar que

∑ n = 0 x n = 1 + x + x 2 + x 3 …

E

x ∑ n = 0 x n = x + x 2 + x 3 + …

De forma que x 1 , x 2 , x 3 , , vão aparecer duas vezes no nosso f ( x ) e o 1 vai aparecer só uma vez! Assim

f x = 1 + 2 ∑ n = 1 x n

Resposta

f x = 1 + 2 ∑ n = 1 x n

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 10(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = x 2 a 3 - x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = x 2 a 3 - x 3

Para x ≠ 0 , podemos dividir o numerador e o denominador por x 2 :

f x = 1 a 3 x 2 - x

Continuamos não tendo nada que seja legal de ser comparado com a série geométrica... Então vamos fazer o seguinte,

f x = x 2 ⋅ 1 a 3 - x 3

Agora vamos escrever a fração como série de potências e multiplicar por x 2 , ficou bem mais fácil!

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a ) 3

Passo 2

Comparando 1 1 - ( x / a ) 3 com a série geométrica, teremos

1 1 - ( x / a ) 3 = ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

Passo 3

Por fim, vamos multiplicar por x 2 / a 3 ,

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a   ) 3

f x = x 2 a 3 ⋅ ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.1 - 4(adaptado)

Calcule o termo geral da expansão em série de potências de ( x - 1 ) da função abaixo

y x = 1 x 2 - 8 x + 15

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se queremos escrever o termo geral em série de potências de x - 1 , precisamos que apareça esse termo na nossa função. Então vamos começar escrevendo que:

x 2 - 8 x + 15 = x - 3 x - 5

E então veja que se escrevermos:

1 x 2 - 8 x + 15 = A x - 3 + B x - 5 = A x - 5 + B x - 3 x - 3 x - 5

E resolvendo o sistema:

A + B = 0

- 5 A - 3 B = 1

Encontramos: A = - 1 2 e B = 1 2 .

Reescreveremos a função assim:

1 x 2 - 8 x + 15 = - 1 2 x - 3 + 1 2 x - 5 = 1 2 1 x - 5 - 1 x - 3

Passo 2

Como queremos que apareça o termo x - 1 , vamos escrever que:

1 2 1 x - 5 - 1 x - 3 = 1 2 1 x - 1 - 4 - 1 x - 1 - 2 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1

E agora repare que podemos escrever essa função como o valor da série geométrica, cuja razão será descoberta a seguir:

Veja que:

1 2 - x - 1 = 1 2 1 1 - x - 1 2

E também:

1 4 - x - 1 = 1 4 1 1 - x - 1 4

E esses termos da forma:

1 1 - a

São exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a 1 . Portanto, podemos escrever que:

1 2 1 1 - x - 1 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n

1 4 1 1 - x - 1 4 = 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

Passo 3

E agora voltando pra expressão de y x :

1 x 2 - 8 x + 15 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1 = 1 2 1 2 1 1 - x - 1 2 - 1 4 1 1 - x - 1 4

y x = 1 2 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n - 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

E colocando o termo que queremos x - 1 n em evidência:

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

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