Introdução à Série de Potência

Resumo Completo

Séries de potência

Antes de tudo, o que é uma Série de potências? Basicamente, é uma série desse tipo:

n = 0 c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3

Onde x é uma variável e os c n ’s são constantes chamadas de coeficientes.

Lembra quando você aprendeu polinômios? Por exemplo:

a x 2 + b x + c

É um polinômio genérico de grau 2 . Uma Série de potência pode ser vista como um “polinômio infinito”, pois não temos um limite para a potência de x .

Certo, agora é muito importante que você entenda bem o que é cada termo que escrevemos na forma geral.

Exemplo:

n = 0 x n = 1 + x + x 2 + x 3 + + x n +

Veja que x é uma variável, ou seja, quando desenvolvemos a série, o x permanece x ! O que altera são os valores de n . Nesse caso,

c n = 1 ,   p a r a   t o d o   n

Pois é a parte que não envolve a potência de x . É como se tivéssemos:

n = 0 x n = 1 x 0 + 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 + 1 c n x n +

Assim como qualquer tipo de série, as séries de potências podem convergir ou divergir, isso depende de seus coeficientes e dos valores de x . Uma série pode, por exemplo, convergir para certos valores de x e divergir para outros, veremos isso mais à frente.

A série que acabamos de ver, por exemplo, é a Série geométrica, que converge para x < 1 e diverge para | x | 1 .

A série de potência também pode ser escrita na forma,

n = 0 c n ( x - a ) n

É uma forma mais geral de escrever a série de potência, e dizemos que a série está centrada em a .

Para encontrar esta série basta substituir x , por ( x - a ) no polinômio, assim teremos

n = 0 c n ( x - a ) n = c 0 + c 1 ( x - a ) + c 2 ( x - a ) 2 + c 3 ( x - a ) 3

Série Geométrica

Uma série importante que é bom conhecer é a série geométrica! Ela é definida como:

a + a x + a x 2 + a x 3 = n = 0 a x n ,   a 0

Ou seja, cada termo é igual ao anterior multiplicado por x , que é chamado razão da série geométrica! Ela é uma progressão geométrica!

Agora vamos ver como podemos escrever a soma dos termos de uma série geométrica.

Seja s n a soma dos n primeiros termos da série, então

s n = a + a x + a x 2 + + a x n - 1

Como queremos o valor da série, vamos usar um truque para encontrar s n . O truque é multiplicar a s n   por x :

s n x = a x + a x 2 + + a x n - 1 + a x n

Vamos fazer s n - s n x e ver o resultado,

s n - s n x =   a + a x + a x 2 + + a x n - 1 - ( a x + a x 2 + + a x n - 1 + a x n )

s n - s n x = a - a x n

s n 1 - x = a ( 1 - x n )

s n = a 1 - x n 1 - x

Como a série é infinita, devemos avaliar o comportamento pra n .

Quando x < 1 , x n 0 ,   quando n . Portanto, a série fica:

x < 1 s n a 1 - x

Logo,

n = 0 a x n =   a 1 - x

Já para x > 1 , x n ,   quando n . Portanto, a série diverge!

Representação de funções por séries de potência

Bom, você estudou séries de potências. As séries de potências são simples de se reconhecer, pois envolvem uma variável x elevada a uma potência n .

Talvez você tenha se perguntado “para que serve esse tipo de série, com variável?”. Vamos responder isso aqui.

Lembra quando estudamos as séries geométricas e calculamos sua soma?

n = 0 x n = 1 1 - x   ,   p a r a   t o d o   x < 1

O que nós estamos dizendo é que a soma infinita dos termos da série geométrica é igual à função f x = 1 1 - x . Portanto, temos uma representação em série para essa função, não é?

Essa é uma das utilidades das Séries de potências: representar funções.

Exemplo: Escreva a função abaixo como série de potências.

f x = 1 2 + x

Passo 1: Se você reparar, essa função tem alguma semelhança com a soma da Série geométrica. Vamos, então, tentar reescrevê-la naquele formato.

1 2 + x = 1 2 1 1 + x 2 = 1 2 1 1 - ( - x / 2 )

Passo 2: Agora, comparando essa expressão com a função

1 1 - x

Vemos que a nossa nova razão é x / 2 . Então, em vez de x n , temos

n = 0 - x 2 n

Mas, não podemos nos esquecer naquele termo 1 / 2 em evidência. Temos, então

1 2 1 1 - ( - x / 2 ) = 1 2 n = 0 - x 2 n

x 2 < 1             x < 2

Pronto, essa é a representação da função em série de potências.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.2 - 3

Ache a expansão em série de potências de f x = 1 x 2 - 1 em torno de x 0 = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, primeiro vamos reescrever f ( x ) de maneira esperta!

f x = 1 x 2 - 1 = - 1 1 - x 2

Passo 2

Veja então que f ( x ) tem a cara da função:

f x = - 1 1 - a

Com a = x 2 .

Que é exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a - 1 .

Passo 3

Então, temos que

f x = - 1 1 - x 2 = - n = 0 x 2 n = - n = 0 x 2 n

Resposta

f x = - n = 0 x 2 n

Exercício Resolvido #2

Enunciado

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 9(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = 1 + x 1 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = 1 + x 1 - x

Que pode ser rescrito como

f x = 1 + x 1 1 - x

Passo 2

O segundo cara entre parênteses é a série geométrica, certo?

1 1 - x = n = 0 x n

De forma que a gente fica com

f x = 1 + x n = 0 x n

Passo 3

Expandindo isso ficamos com

f x = n = 0 x n + x n = 0 x n = n = 0 x n + n = 0 x n + 1

Beleza! Mas dá pra simplificar mais um pouco! É só lembrar que

n = 0 x n = 1 + x + x 2 + x 3

E

x n = 0 x n = x + x 2 + x 3 +

De forma que x 1 , x 2 , x 3 , , vão aparecer duas vezes no nosso f ( x ) e o 1 vai aparecer só uma vez! Assim

f x = 1 + 2 n = 1 x n

Resposta

f x = 1 + 2 n = 1 x n

Exercício Resolvido #3

Enunciado

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 10(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = x 2 a 3 - x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = x 2 a 3 - x 3

Para x 0 , podemos dividir o numerador e o denominador por x 2 :

f x = 1 a 3 x 2 - x

Continuamos não tendo nada que seja legal de ser comparado com a série geométrica... Então vamos fazer o seguinte,

f x = x 2 1 a 3 - x 3

Agora vamos escrever a fração como série de potências e multiplicar por x 2 , ficou bem mais fácil!

f x = x 2 a 3 1 1 - ( x / a ) 3

Passo 2

Comparando 1 1 - ( x / a ) 3 com a série geométrica, teremos

1 1 - ( x / a ) 3 = n = 0 x 3 a 3 n

Passo 3

Por fim, vamos multiplicar por x 2 / a 3 ,

f x = x 2 a 3 1 1 - ( x / a   ) 3

f x = x 2 a 3 n = 0 x 3 a 3 n

f x = n = 0 x 3 n + 2 a 3 n + 1

Resposta

f x = n = 0 x 3 n + 2 a 3 n + 1

Exercício Resolvido #4

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.1 - 4(adaptado)

Calcule o termo geral da expansão em série de potências de ( x - 1 ) da função abaixo

y x = 1 x 2 - 8 x + 15

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se queremos escrever o termo geral em série de potências de x - 1 , precisamos que apareça esse termo na nossa função. Então vamos começar escrevendo que:

x 2 - 8 x + 15 = x - 3 x - 5

E então veja que se escrevermos:

1 x 2 - 8 x + 15 = A x - 3 + B x - 5 = A x - 5 + B x - 3 x - 3 x - 5

E resolvendo o sistema:

A + B = 0

- 5 A - 3 B = 1

Encontramos: A = - 1 2 e B = 1 2 .

Reescreveremos a função assim:

1 x 2 - 8 x + 15 = - 1 2 x - 3 + 1 2 x - 5 = 1 2 1 x - 5 - 1 x - 3

Passo 2

Como queremos que apareça o termo x - 1 , vamos escrever que:

1 2 1 x - 5 - 1 x - 3 = 1 2 1 x - 1 - 4 - 1 x - 1 - 2 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1

E agora repare que podemos escrever essa função como o valor da série geométrica, cuja razão será descoberta a seguir:

Veja que:

1 2 - x - 1 = 1 2 1 1 - x - 1 2

E também:

1 4 - x - 1 = 1 4 1 1 - x - 1 4

E esses termos da forma:

1 1 - a

São exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a 1 . Portanto, podemos escrever que:

1 2 1 1 - x - 1 2 = 1 2 n = 0 x - 1 2 n

1 4 1 1 - x - 1 4 = 1 4 n = 0 x - 1 4 n

Passo 3

E agora voltando pra expressão de y x :

1 x 2 - 8 x + 15 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1 = 1 2 1 2 1 1 - x - 1 2 - 1 4 1 1 - x - 1 4

y x = 1 2 1 2 n = 0 x - 1 2 n - 1 4 n = 0 x - 1 4 n

E colocando o termo que queremos x - 1 n em evidência:

y x = n = 0 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

Resposta

y x = n = 0 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

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