Série de Potência

Teoria Completa

Definição Série de Potência

Uma série de potência define uma função:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n.(x-a)^n$$

"EITA! Quanto símbolo! Porque tem um infinito ali? O que que é $c_n$? Tem uma parcela elevada por uma potência ali isso me lembra Binômio de Newton..."

Mas muita calma que não é bem assim que fazemos aqui no RespondeAí! Que tal começarmos pensando em conceitos mais concretos, com exemplos para você conseguir entender do que o assunto trata e com exercícios

Nessa página a gente vai trabalhar com séries de polinômios, ou seja, funções com infinitas parcelas e com diferentes potências que variam junto com seus coeficientes. Nessa frase eu praticamente descrevi a primeira função da página. Um somatório infinito de parcelas, que cresce variando o expoente da potência do $0$ até $\infty$.

Podemos simplificar nossa definição de Série de Potência e reescrever ela no formato da série de MacLaurin, que é uma Série de Potência centrada em $0$, ou seja, possui $a=0$.

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n. x^n$$

Podemos expandir essa série:

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n. x^n=c_0x^0+c_1x^1+c_2x^2+c_3x^3+...$$

Aqui temos uma série de potência com infinitas parcelas, onde chamamos $c_0, c_1, c_2,...$ de coeficientes da série e nos exercícios vamos tentar descobrir os valores desses coeficientes, porque sabendo eles vão dizer para nós que função nossa série!

Se eu te dissesse, por exemplo, que $c_n=1$, e que ela é centrada em $0$ nossa série de potência seria resumida dessa forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty}1.x^n=1+x+x^2+x^2+...+x^n+...$$

E se eu dissesse para você que $c_n=2n$, então teríamos que $c_0=0$, $c_1=2$, $c_2=4$, $c_3=8$,... Logo:

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n.x^n=\sum_{n=0}^{\infty}2n.x^n=0+2x+4x^2+8x^3+...+2n.x^n+...$$

Ok! Um outro exemplo, seria um série centrada em $a=3$:

$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n.(x-a)^n=\sum_{n=0}^{\infty}c_n.(x-3)^n$$

TA MAS PARA QUE EU VOU QUERER SABER DISSO TUDO?

As séries de potência são importantes, porque somos capazes de utilizá-las para replicar funções em determinados intervalos do eixo $x$, ou seja, um série de potência consegue representar a função seno, por exemplo, em um determinado intervalo de $x$ em volta do ponto no qual ela é centrada.

No caso de série de potências convergentes dizemos que existe um intervalo para qual a série converge, por exemplo podemos representar a função seno centrada em $0$, com a série:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

Eu sei que parece algo impossível de entender, mas chegaremos lá com calma. Olha essa imagem que linda:

Nessa figura temos as aproximações da função seno utilizando a série de potências acima, com diferente número de parcelas, a legenda seria:

  • Aproximação com 1 parcela
  • Aproximação com 3 parcelas
  • Aproximação com 5 parcelas
  • Aproximação com 7 parcelas
  • Aproximação com 9 parcelas
  • Aproximação com 11 parcelas
  • Aproximação com 13 parcelas
  • E a verdadeira função Seno

Repara que quanto mais aumentamos o número de parcelas, maior é o intervalo que nossa série de potência consegue representar da função seno. Teoricamente com infinitas parcelas, conseguiríamos representar toda a função, ou teríamos que descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência daquela série.

Ou seja para conseguirmos fazer tudo isso que estou lhe propondo, precisamos sempre estudar se a série é convergente ou divergente. E é por isso que estamos aqui.

Muita coisa legal né? Se você assinar nosso conteúdo vai encontrar um assunto com tudo que você precisa saber sobre série de potências, com exercícios resolvidos e conteúdos em vídeo e tudo para você mandar bem nas suas provas de Cálculo.

Exercícios

Aproveita e confere um de nossos vídeos de exercício do nosso tópico de Introdução à Série de Potência:

Encontra uma representação em série de potências para a função:

$$f(x)=\frac{1+x}{1-x}$$

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.2 - 3

Ache a expansão em série de potências de f x = 1 x 2 - 1 em torno de x 0 = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, primeiro vamos reescrever f ( x ) de maneira esperta!

f x = 1 x 2 - 1 = - 1 1 - x 2

Passo 2

Veja então que f ( x ) tem a cara da função:

f x = - 1 1 - a

Com a = x 2 .

Que é exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a - 1 .

Passo 3

Então, temos que

f x = - 1 1 - x 2 = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Resposta

f x = - ∑ n = 0 ∞ x 2 n

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 9(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = 1 + x 1 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = 1 + x 1 - x

Que pode ser rescrito como

f x = 1 + x 1 1 - x

Passo 2

O segundo cara entre parênteses é a série geométrica, certo?

1 1 - x = ∑ n = 0 x n

De forma que a gente fica com

f x = 1 + x ∑ n = 0 x n

Passo 3

Expandindo isso ficamos com

f x = ∑ n = 0 x n + x ∑ n = 0 x n = ∑ n = 0 x n + ∑ n = 0 x n + 1

Beleza! Mas dá pra simplificar mais um pouco! É só lembrar que

∑ n = 0 x n = 1 + x + x 2 + x 3 …

E

x ∑ n = 0 x n = x + x 2 + x 3 + …

De forma que x 1 , x 2 , x 3 , , vão aparecer duas vezes no nosso f ( x ) e o 1 vai aparecer só uma vez! Assim

f x = 1 + 2 ∑ n = 1 x n

Resposta

f x = 1 + 2 ∑ n = 1 x n

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 697, 10(adaptado)

Encontre uma representação em série de potências para a função

f x = x 2 a 3 - x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para representar a função em séries de potências é bom tentar comparar a função com a série geométrica!

Então é bom escrever a função de forma que apareça um termo semelhante a:

1 1 - x

Logo, vamos ver se conseguimos escrever f ( x ) de outra forma!

f x = x 2 a 3 - x 3

Para x ≠ 0 , podemos dividir o numerador e o denominador por x 2 :

f x = 1 a 3 x 2 - x

Continuamos não tendo nada que seja legal de ser comparado com a série geométrica... Então vamos fazer o seguinte,

f x = x 2 ⋅ 1 a 3 - x 3

Agora vamos escrever a fração como série de potências e multiplicar por x 2 , ficou bem mais fácil!

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a ) 3

Passo 2

Comparando 1 1 - ( x / a ) 3 com a série geométrica, teremos

1 1 - ( x / a ) 3 = ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

Passo 3

Por fim, vamos multiplicar por x 2 / a 3 ,

f x = x 2 a 3 ⋅ 1 1 - ( x / a   ) 3

f x = x 2 a 3 ⋅ ∑ n = 0 ∞ x 3 a 3 n

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ x 3 n + 2 a 3 n + 1

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.1 - 4(adaptado)

Calcule o termo geral da expansão em série de potências de ( x - 1 ) da função abaixo

y x = 1 x 2 - 8 x + 15

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se queremos escrever o termo geral em série de potências de x - 1 , precisamos que apareça esse termo na nossa função. Então vamos começar escrevendo que:

x 2 - 8 x + 15 = x - 3 x - 5

E então veja que se escrevermos:

1 x 2 - 8 x + 15 = A x - 3 + B x - 5 = A x - 5 + B x - 3 x - 3 x - 5

E resolvendo o sistema:

A + B = 0

- 5 A - 3 B = 1

Encontramos: A = - 1 2 e B = 1 2 .

Reescreveremos a função assim:

1 x 2 - 8 x + 15 = - 1 2 x - 3 + 1 2 x - 5 = 1 2 1 x - 5 - 1 x - 3

Passo 2

Como queremos que apareça o termo x - 1 , vamos escrever que:

1 2 1 x - 5 - 1 x - 3 = 1 2 1 x - 1 - 4 - 1 x - 1 - 2 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1

E agora repare que podemos escrever essa função como o valor da série geométrica, cuja razão será descoberta a seguir.

Colocando o 2 em evidencia, podemos escrever a serie a assim:

1 2 - x - 1 = 1 2 1 1 - x - 1 2

Vamos fazer a mesma coisa pro 4 :

1 4 - x - 1 = 1 4 1 1 - x - 1 4

E esses termos da forma:

1 1 - a

São exatamente a fórmula do valor da série geométrica de razão a e primeiro termo igual a 1 . Portanto, podemos escrever que:

1 2 1 1 - x - 1 2 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n

1 4 1 1 - x - 1 4 = 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

Passo 3

E agora voltando pra expressão de y x :

1 x 2 - 8 x + 15 = 1 2 1 2 - x - 1 - 1 4 - x - 1 = 1 2 1 2 1 1 - x - 1 2 - 1 4 1 1 - x - 1 4

Agora vamos escrever a série juntando dos somatórios encontrados no passo anterior,

y x = 1 2 1 2 ∑ n = 0 ∞ x - 1 2 n - 1 4 ∑ n = 0 ∞ x - 1 4 n

E colocando o termo que queremos x - 1 n em evidência:

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 - 1 2 2 n + 3 x - 1 n

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