Método de Eliminação – Caso Homogêneo

Teoria Completa

Vamos começar a resolver sistemas de EDOs. Lembra como eles eram? Aqui abaixo tem um exemplo.

x ' = x + y y ' = 4 x + y

Lembre que a gente viu que era importante manter a derivada isolada igual a uma função. Nesse caso, não temos nenhuma função de t no sistema. Sempre que isso acontecer, vamos chamar o sistema de homogêneo. Mais lá na frente vamos tratar de sistemas não homogêneos.

Agora vamos começar vendo o que é o método da eliminação nesses sistemas.

Método da Eliminação

Vamos resolver o exemplo alí de cima.

x ' = x + y y ' = 4 x + y

Nosso objetivo é transformar o sistema em apenas uma EDO de 2 ordem, ou em x ou em y, como for mais simples. Se escolhermos o y , como vai ficar?

Vamos isolar y em uma das duas equações, por exemplo na primeira.

y = x ' - x

Agora vamos derivar implicitamente essa equação, encontrando:

y ' = x ' ' - x '

Agora substituímos na segunda a derivada e a equação com y isolado.

y ' = 4 x + y

x ' ' - x ' = 4 x + x ' - x

x ' ' - 2 x ' - 3 x = 0

Pronto! Chegamos no objetivo de encontrar uma EDO de 2 ordem. Já sabemos resolver esse tipo de EDO, mas vamos dar uma lembrada do método da equação característica aqui:

Vamos pegar uma EDO de coeficientes a , b e c constantes desse tipo aqui:

a y ' ' + b y ' + c y = 0

Essa é uma EDO de 2º grau (por causa do y ’’) e linear (porque não temos y 2 ). Para encontrar as soluções precisamos primeiro escrever sua equação característica:

a r 2 + b r + c = 0

Ou seja, substitua y ' ' por r 2 , y ' por r e y por 1 . Então, encontramos o(s) valor(es) de r , achando as raízes dessa equação do 2º grau.

Isso pode chegar em 3 casos:

  1. ∆ > 0 : Encontramos duas raízes reais diferentes ( r 1 ≠ r 2 ) . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x ;
  2. ∆ = 0 : Encontramos uma raiz real dupla r . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = ( c 1 + c 2 x ) e r x ;
  3. ∆ < 0 : Encontramos duas raízes complexas conjugadas r 1 = α + i β e r 2 = α - i β . Nesse caso, as soluções da EDO são do tipo y x = c 1 e α x cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

A solução dessa EDO vai ser

x t = C 1 e - t + C 2 e 3 t

Agora para achar a função y basta fazer

y = x ' - x

y = C 1 e - t + C 2 e 3 t ' - C 1 e - t + C 2 e 3 t

y = - C 1 e - t + 3 C 2 e 3 t - C 1 e - t - C 2 e 3 t

y t = - 2 C 1 e - t + 2 C 2 e 3 t

Deu para relembrar esse método? Qualquer coisa é só voltar nos tópicos de resolução de EDOs de 2ª ordem.

Beleza, vimos o método da eliminação de sistemas de EDOs homogêneas. Aqui vai o passo a passo para resumir:

Passo 1: Isolar uma variável, x ou y , em uma das equações

Passo 2: Derivar implicitamente essa equação escolhida

Passo 3: Substituir essa equação na outra equação, procurando deixar uma variável só

Passo 4: Resolver a EDO de 2 ordem encontrada

Passo 5: Achar a outra função que falta.

Passo 6: Substituir os valores iniciais em caso de PVI.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação

x ' = - x + 3 y y ' = 2 y

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Passo 1

Vamos começar isolando uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = x ' 3 + x 3

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = x ' ' 3 + x ' 3

Passo 2

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

x ' ' 3 + x ' 3 = 2 x ' 3 + x 3

x ' ' 3 + x ' 3 = 2 x ' 3 + 2 x 3

x ' ' - x ' - 2 x = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - r - 2 = 0

r 1 = 2

r 2 = - 1

Esse é o caso onde Δ > 0 então a solução vai ser

x t = C 1 e 2 t + C 2 e - t

Passo 4

Agora temos que encontrar y

y = x ' 3 + x 3

y t = C 1 e 2 t + C 2 e - t ' 3 + C 1 e 2 t + C 2 e - t 3

y t = 2 C 1 e 2 t 3 - C 2 e - t 3 + C 1 e 2 t 3 + C 2 e - t 3

y t = C 1 e 2 t

Resposta

x t = C 1 e 2 t + C 2 e - t

y t = C 1 e 2 t

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação

x ' = 2 x + y y ' = x + 2 y

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Passo 1

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = x ' - 2 x

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = x ' ' - 2 x '

Passo 2

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 2 x

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 4 x

x ' ' - 4 x ' + 3 x = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - 4 r + 3 = 0

r 1 = 1

r 2 = 3

Esse é o caso onde Δ > 0 então a solução vai ser

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t

Passo 4

Agora temos que encontrar y

y = x ' - 2 x

y t = C 1 e t + C 2 e 3 t ' - 2 C 1 e t + C 2 e 3 t

y t = C 1 e t + 3 C 2 e 3 t - 2 C 1 e t - 2 C 2 e 3 t

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t

Resposta

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t

Exercício Resolvido #3

Zill DG, Cullen MR. Matemática Avançada para Engenharia-Vol III. Editora Bookman,2009. Cap 1, p 43 exercício 33.

Determine a solução geral para o sistema abaixo:

x '   = 6 x - y y ' = 5 x + 2 y

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Passo 1

Vamos usar o método da eliminação aqui.

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = 6 x - x '

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = 6 x ' - x ' '

Passo 2

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

6 x ' - x ' ' = 5 x + 2 6 x - x '

6 x ' - x ' ' = 5 x + 12 x - 2 x '

x ' ' - 8 x ' + 17 x = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - 8 r + 17 = 0

Vamos ter

Δ = 8 2 - 4.17 = 64 - 68 = - 4 < 0

As soluções da equação vão ser

r 1 = 8 + 4 i 2 = 8 + 2 i 2 = 4 + i

r 2 = 8 - 4 i 2 = 4 - 2 i 2 = 4 - i

Nós vimos que a solução quando ∆ < 0   é

x t = C 1 e α t c o s β t + C 2 e α t s e n β t

No nosso caso, α = 4 e β = 1

Então

x t = C 1 e 4 t c o s t + C 2 e 4 t s e n t

x t = e 4 t ( C 1 c o s t + C 2 s e n t )

Passo 4

Agora temos que encontrar y

y = 6 x - x '

y t = 6 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t '

y t = 6 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - 4 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - e 4 t ( - C 1 s e n t + C 2 c o s t )

y t = 2 e 4 t C 1 c o s t + C 2 s e n t - e 4 t ( - C 1 s e n t + C 2 c o s t )

Resposta

x t = e 4 t ( C 1 c o s t + C 2 s e n t )