Método Matricial – Caso Homogêneo

Teoria Completa

Agora vamos ver o método matricial para resolver sistemas de EDO. Lembre-se que um sistema de EDO’s de primeira ordem é desse tipo aqui:

X ' t = A X t + g ( t )

E a gente diz que ele é homogêneo quando g t é nulo, certo? Quando não temos nenhuma função em t .

Vamos começar dando uma olhada nesse sistema aqui:

x ' = x + 8 y y ' = 2 x + y

Repara que ele é um sistema com x e y , certo? Então ele é um sistema 2 x 2

Método Matricial para o sistema 2 x 2

Nosso objetivo aqui é achar uma resposta na forma

X = c 1 x 1 + c 2 x 2

Que vai ser a resposta para o nosso problema. Mas vamos com calma.

A primeira coisa é escrever o sistema na forma matricial. Você lembra como faz isso? Vamos olhar o nosso sistema

x ' = x + 8 y y ' = 2 x + y

Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t

O nosso vetor das derivadas vai ficar

X ' = x ' t y ' t

Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim

X ' = A X

Precisamos achar o A , essa matriz A é dos coeficientes do sistema. Ela vai ser

A = 1 8 2 1

E o sistema vai ser

x ' t y ' t = 1 8 2 1 x t y t

Beleza?

Tá ok, já tendo o sistema na forma matricial, para resolve-lo a primeira coisa é encontrar os autovalores de A   e chamar de λ 1 , λ 2 .

Usando a álgebra linear, vamos ver que os autovalores vão ser

det ⁡ A - λ I = 0

1 - λ 8 2 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 16 = 0

1 - 2 λ + λ 2 - 16 = 0

λ 2 - 2 λ - 15 = 0

Daí temos que:

λ 1 = 5   e   λ 2 = - 3

Depois vamos achar os autovetores associados a A e chamar de v 1 , v 2 .

Começando com o autovetor associado a λ 1

A - λ 1 I v 1 = 0

- 4 8 2 - 4 c 1 c 2 = 0 0

- 4 c 1 + 8 c 2 = 0 2 c 1 - 4 c 2 = 0

Resolvendo tudo isso, vamos ter:

c 1 = 2 ,   c 2 = 1

v 1 = 2 1

Aí você pode pensar que esse sistema tem duas equações linearmente dependentes. Ou seja, se fizermos - 2 × ( 2 c 1 - 4 c 2 ) encontramos - 4 c 1 + 8 c 2 , o que quer dizer que o sistema tem infinitas soluções. E você estaria completamente certx se pensasse isso!

O que nós fazemos aqui é escolher um par de valores c 1 e c 2 que atenda à condição e que seja conveniente. Você não vai escolher, por exemplo, c 1 = 421 2 e c 2 = 421 4 , porque seriam números muito inconvenientes, sacou?

Fazendo a mesma análise de antes, agora para λ 2 :

A - λ 2 I v 2 = 0

4 8 2 4 d 1 d 2 = 0 0

4 d 1 + 8 d 2 = 0 2 d 1 + 4 d 2 = 0

Resolvendo tudo isso, vamos ter

v 2 = - 2 1

Nesse caso, nossas soluções x 1 e x 2 vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t = 2 1 e 5 t

x 2 = v 2 e λ 2 t =   - 2 1 e - 3 t

E a solução geral vai ser

X = C 1 2 1 e 5 t + C 2   - 2 1 e - 3 t

Mas temos na verdade 3 possibilidades para esses autovalores e autovetores associados.

A resposta vai ser dada com dois vetores x 1 e x 2 , vamos ver como eles ficam em cada caso.

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2

As funções vão ficar

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

Para achar os autovetores devemos fazer

A - λ 1 I v 1 = 0

A - λ 2 I v 2 = 0

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 = λ 2

Aqui temos que achar o autovetor normalmente, fazendo

A - λ 1 I v 1 = 0

Depois temos que achar o vetor v 2 , para isso basta resolver a equação

A - λ 2 I v 2 = v 1

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t  

Com

A - λ 2 I v 2 = v 1

Autovalores Complexos

Os autovalores complexos tem essa forma

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Os autovetores associados aos autovalores complexos são v → 1 e v → 2 . Esses autovetores agora são complexos também! Podemos expressá-los com a suas partes real e imaginária

v → 1 = α → + β → i

v → 2 = α → - β → i

As soluções vão ser

x 1 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sen ⁡ b t

x 2 = e a t α → sen ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

Solução geral

Vimos em cada caso como fica cada uma das soluções, porque isso tudo? Como falamos lá em cima, a solução geral vai ser

X = c 1 x 1 + c 2 x 2

Então tudo se resume a achar essas funções

Beleza, isso serve para o sistema 2 x 2 , mas e se agora tivermos o seguinte sistema?

x ' = x + 4 y + z y ' = x + y - z z ' = 3 x - y + 3 z

E se for um sistema 3x3?

Nosso objetivo agora é achar a solução na forma

X = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3

Repara que é praticamente a mesma coisa que antes, só que agora são 3 vetores, x 1 , x 2 e x 3

Aqui também vamos ter que começar escrevendo na forma matricial. Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t z t

Então

X ' = x ' t y ' t z ' t

A matriz A dos coeficientes do sistema, vai ser

A = 1 4 1 1 1 - 1 3 - 1 3

E o sistema vai ser

x ' t y ' t z ' t = 1 4 1 1 1 - 1 3 - 1 3 x t y t z t

Beleza? Do mesmo jeito que fizemos no caso da matriz 2 x 2 , primeiro vamos achar os autovalores de A e chamar de λ 1 , λ 2 , λ 3 . Depois, vamos achar os autovetores associados e chamar de v 1 , v 2 , v 3 .

Agora, temos 4 possibilidades para esses autovalores e autovetores associados. A resposta consiste em três vetores x 1 , x 2 e x 3 . Vamos ver como eles ficam em cada caso.

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3

As funções vão ficar

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

x 3 = v 3 e λ 3 t

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 ≠ λ 2 = λ 3

Aqui achamos os dois autovetores da forma como estamos acostumados. Depois temos que achar o nosso terceiro vetor, para isso basta resolver a equação

A - λ 3 I v 3 = v 2

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

x 3 = v 2 t e λ 3 t + v 3 e λ 3 t  

Com

A - λ 3 I v 3 = v 2

Autovalores Reais 3 iguais λ 1 = λ 2 = λ 3

Aqui temos que achar o nosso segundo e terceiro vetor, para isso basta resolver a equação

A - λ 2 I v 2 = v 1

A - λ 3 I v 3 = v 2

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ t

x 2 = v 1 t e λ t + v 2 e λ t  

x 3 = v 1 t 2 2 e λ t + v 2 t e λ t + v 3 e λ t