Método Matricial – Caso Homogêneo

Teoria Completa

Agora vamos ver o método matricial para resolver sistemas de EDO. Lembre-se que um sistema de EDO’s de primeira ordem é desse tipo aqui:

X ' t = A X t + g ( t )

E a gente diz que ele é homogêneo quando g t é nulo, certo? Quando não temos nenhuma função em t .

Vamos começar dando uma olhada nesse sistema aqui:

x ' = x + 8 y y ' = 2 x + y

Repara que ele é um sistema com x e y , certo? Então ele é um sistema 2 x 2

Método Matricial para o sistema 2 x 2

Nosso objetivo aqui é achar uma resposta na forma

X = c 1 x 1 + c 2 x 2

Que vai ser a resposta para o nosso problema. Mas vamos com calma.

A primeira coisa é escrever o sistema na forma matricial. Você lembra como faz isso? Vamos olhar o nosso sistema

x ' = x + 8 y y ' = 2 x + y

Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t

O nosso vetor das derivadas vai ficar

X ' = x ' t y ' t

Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim

X ' = A X

Precisamos achar o A , essa matriz A é dos coeficientes do sistema. Ela vai ser

A = 1 8 2 1

E o sistema vai ser

x ' t y ' t = 1 8 2 1 x t y t

Beleza?

Tá ok, já tendo o sistema na forma matricial, para resolve-lo a primeira coisa é encontrar os autovalores de A   e chamar de λ 1 , λ 2 .

Usando a álgebra linear, vamos ver que os autovalores vão ser

det ⁡ A - λ I = 0

1 - λ 8 2 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 16 = 0

1 - 2 λ + λ 2 - 16 = 0

λ 2 - 2 λ - 15 = 0

Daí temos que:

λ 1 = 5   e   λ 2 = - 3

Depois vamos achar os autovetores associados a A e chamar de v 1 , v 2 .

Começando com o autovetor associado a λ 1

A - λ 1 I v 1 = 0

- 4 8 2 - 4 c 1 c 2 = 0 0

- 4 c 1 + 8 c 2 = 0 2 c 1 - 4 c 2 = 0

Resolvendo tudo isso, vamos ter:

c 1 = 2 ,   c 2 = 1

v 1 = 2 1

Aí você pode pensar que esse sistema tem duas equações linearmente dependentes. Ou seja, se fizermos - 2 × ( 2 c 1 - 4 c 2 ) encontramos - 4 c 1 + 8 c 2 , o que quer dizer que o sistema tem infinitas soluções. E você estaria completamente certx se pensasse isso!

O que nós fazemos aqui é escolher um par de valores c 1 e c 2 que atenda à condição e que seja conveniente. Você não vai escolher, por exemplo, c 1 = 421 2 e c 2 = 421 4 , porque seriam números muito inconvenientes, sacou?

Fazendo a mesma análise de antes, agora para λ 2 :

A - λ 2 I v 2 = 0

4 8 2 4 d 1 d 2 = 0 0

4 d 1 + 8 d 2 = 0 2 d 1 + 4 d 2 = 0

Resolvendo tudo isso, vamos ter

v 2 = - 2 1

Nesse caso, nossas soluções x 1 e x 2 vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t = 2 1 e 5 t

x 2 = v 2 e λ 2 t =   - 2 1 e - 3 t

E a solução geral vai ser

X = C 1 2 1 e 5 t + C 2   - 2 1 e - 3 t

Mas temos na verdade 3 possibilidades para esses autovalores e autovetores associados.

A resposta vai ser dada com dois vetores x 1 e x 2 , vamos ver como eles ficam em cada caso.

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2

As funções vão ficar

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

Para achar os autovetores devemos fazer

A - λ 1 I v 1 = 0

A - λ 2 I v 2 = 0

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 = λ 2

Aqui temos que achar o autovetor normalmente, fazendo

A - λ 1 I v 1 = 0

Depois temos que achar o vetor v 2 , para isso basta resolver a equação

A - λ 2 I v 2 = v 1

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t  

Com

A - λ 2 I v 2 = v 1

Autovalores Complexos

Os autovalores complexos tem essa forma

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

Os autovetores associados aos autovalores complexos são v → 1 e v → 2 . Esses autovetores agora são complexos também! Podemos expressá-los com a suas partes real e imaginária

v → 1 = α → + β → i

v → 2 = α → - β → i

As soluções vão ser

x 1 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sen ⁡ b t

x 2 = e a t α → sen ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

Solução geral

Vimos em cada caso como fica cada uma das soluções, porque isso tudo? Como falamos lá em cima, a solução geral vai ser

X = c 1 x 1 + c 2 x 2

Então tudo se resume a achar essas funções

Beleza, isso serve para o sistema 2 x 2 , mas e se agora tivermos o seguinte sistema?

x ' = x + 4 y + z y ' = x + y - z z ' = 3 x - y + 3 z

E se for um sistema 3x3?

Nosso objetivo agora é achar a solução na forma

X = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3

Repara que é praticamente a mesma coisa que antes, só que agora são 3 vetores, x 1 , x 2 e x 3

Aqui também vamos ter que começar escrevendo na forma matricial. Repara que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t z t

Então

X ' = x ' t y ' t z ' t

A matriz A dos coeficientes do sistema, vai ser

A = 1 4 1 1 1 - 1 3 - 1 3

E o sistema vai ser

x ' t y ' t z ' t = 1 4 1 1 1 - 1 3 - 1 3 x t y t z t

Beleza? Do mesmo jeito que fizemos no caso da matriz 2 x 2 , primeiro vamos achar os autovalores de A e chamar de λ 1 , λ 2 , λ 3 . Depois, vamos achar os autovetores associados e chamar de v 1 , v 2 , v 3 .

Agora, temos 4 possibilidades para esses autovalores e autovetores associados. A resposta consiste em três vetores x 1 , x 2 e x 3 . Vamos ver como eles ficam em cada caso.

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3

As funções vão ficar

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

x 3 = v 3 e λ 3 t

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 ≠ λ 2 = λ 3

Aqui achamos os dois autovetores da forma como estamos acostumados. Depois temos que achar o nosso terceiro vetor, para isso basta resolver a equação

A - λ 3 I v 3 = v 2

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

x 3 = v 2 t e λ 3 t + v 3 e λ 3 t  

Com

A - λ 3 I v 3 = v 2

Autovalores Reais 3 iguais λ 1 = λ 2 = λ 3

Aqui temos que achar o nosso segundo e terceiro vetor, para isso basta resolver a equação

A - λ 2 I v 2 = v 1

A - λ 3 I v 3 = v 2

E as soluções vão ser

x 1 = v 1 e λ t

x 2 = v 1 t e λ t + v 2 e λ t  

x 3 = v 1 t 2 2 e λ t + v 2 t e λ t + v 3 e λ t  

Autovalores Complexos

Os autovalores complexos têm essa forma

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

E o terceiro vai ser real mesmo.

Os autovetores associado aos autovalores complexos são

v → 1 = α → + β → i

v → 2 = α → - β → i

Essa setinha em cima é para mostrar que isso são vetores, no autovalor não são vetores, são escalares mesmo.

As soluções vão ser

x 1 = e a t α → cos ⁡ b t - β → sen ⁡ b t

x 2 = e a t α → sen ⁡ b t + β → cos ⁡ b t

x 3 = v 3 e λ 3 t

Solução geral

E a solução geral vai ser bem similar à do caso da 2 x 2 .  

X = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3

Então tudo se resume a achar essas funções.

Passo a passo

Show! Vamos para um resuminho do que precisa ser feito nesse método:

Passo 1: Colocar o sistema na forma matricial

Passo 2: Encontrar no autovalores

Passo 3: Encontrar os autovetores associados .

Passo 4: Determinar os vetores solução para cada caso que vimos dos grupos de autovalores e autovetores associados.

Passo 5: Aplicar na solução geral

Agora vamos para os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

  X ' = 3 2 4 1 X

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 2 4 1

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ 2 4 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - 2 . 4 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 - 8 = 0

λ 2 - 4 λ - 5 = 0

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 + 16 + 20 2 = 4 + 36 2 = 4 + 6 2 = 10 2 = 5

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 - 16 + 20 2 = 4 - 36 2 = 4 - 6 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora achar seus autovetrores

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

3 2 4 1 x 1 x 2 = 5 0 0 5 x 1 x 2

3 x 1 + 2 x 2 4 x 1 + x 2 = 5 x 1 5 x 2

Vamos ter

3 x 1 + 2 x 2 = 5 x 1

2 x 1 = 2 x 2

x 1 = x 2

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1

Passo 4

Precisamos achar o outro autovetor

A v 2 = λ 2 I v 2

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

3 2 4 1 y 1 y 2 = - 1 0 0 - 1 y 1 y 2

3 y 1 + 2 y 2 4 y 1 + y 2 = - y 1 - y 2

Vamos ter

3 y 1 + 2 y 2 = - y 1

2 y 2 = - 4 y 1

y 2 = - 2 y 1

E o autovetor associado vai ser

v 2 = y 1 - 2 y 1

Podemos tirar esse y 1

v 2 = 1 - 2

Passo 5

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 2 t

x 2 = v 2 e λ 3 t  

Então

x 1 = 1 1 e 5 t

x 2 = 1 - 2 e - t  

A solução geral vai ficar

X t = C 1 1 1 e 5 t + C 2 1 - 2 e - t

Resposta

X t = C 1 1 1 e 5 t + C 2 1 - 2 e - t

Exercício Resolvido #2

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 229, exercício 7 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = 1 - 4 4 - 7 X

Com

X 0 = 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 1 - 4 4 - 7

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 - λ - 4 4 - 7 - λ = 0

1 - λ - 7 - λ - - 4 . 4 = 0

λ 2 + 6 λ - 7 + 16 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = - 3

Esse é o caso de autovalores iguais, precisamos achar seus autovetores antes de saber como é a solução.

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

1 - 4 4 - 7 x 1 x 2 = - 3 0 0 - 3 x 1 x 2

x 1 - 4 x 2 4 x 1 - 7 x 2 = - 3 x 1 - 3 x 2

Vamos ter

x 1 - 4 x 2 = - 3 x 1

4 x 1 = 4 x 2

x 1 = x 2

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1

Precisamos achar o outro autovetor usando

A - λ 2 I v 2 = v 1

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

Então

1 - 4 4 - 7 - - 3 0 0 - 3 y 1 y 2 = 1 1

4 - 4 4 - 4 y 1 y 2 = 1 1

Isso deixa a equação

4 y 1 - 4 y 2 = 1

y 2 = y 1 - 1 4

O auto vetor vai ser

v 2 = y 1 y 1 - 1 4 = y 1 y 1 + 0 - 1 4 = y 1 1 1 + 0 - 1 4

Essa parte com y 1 vamos ignorar porque j�� é o outro autovetor, então

v 2 = 0 - 1 4

Passo 4

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t  

Então

x 1 = 1 1 e - 3 t

x 2 = 1 1 t e - 3 t + 0 - 1 4 e - 3 t  

A solução geral vai ficar

X t = C 1 1 1 e - 3 t + C 2 1 1 t e - 3 t + 0 - 1 4 e - 3 t

Passo 5

Agora temos que fazer a solução do valor inicial

X 0 = 3 2

X 0 = C 1 1 1 e - 3 . 0 + C 2 1 1 0 e - 3 . 0 + 0 - 1 4 e - 3 . 0

X 0 = C 1 1 1 + C 2 0 - 1 4

Vamos ter as seguintes equações

C 1 = 3

C 1 - C 2 4 = 2

Então

3 - C 2 4 = 2

C 2 = 4

E achamos as constantes.

Passo 6

A solução vai ficar

X t = 3 1 1 e - 3 t + 4 1 1 t e - 3 t + 0 - 1 4 e - 3 t

X t = 3 1 1 e - 3 t + 4 t e - 3 t t e - 3 t - e - 3 t 4

X t = 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t - e - 3 t = 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t 2 e - 3 t + 4 t e - 3 t

Resposta

X t = 3 e - 3 t + 4 t e - 3 t 2 e - 3 t + 4 t e - 3 t

Exercício Resolvido #3

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 220, exercício 10 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = - 3 2 - 1 - 1 X

Com

X 0 = 1 - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = - 3 2 - 1 - 1

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 3 - λ 2 - 1 - 1 - λ = 0

- 3 - λ - 1 - λ - - 1 . 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 + 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

λ 1 = - 2 + i

λ 2 = - 2 - i

Esse é o caso de autovalores complexos, então

x 1 = e a t a → cos ⁡ b t - b → sen ⁡ b t

x 2 = e a t a → sen ⁡ b t + b → cos ⁡ b t

Temos que achar a → e b → pelos autovetores associados, já sabemos que

a = - 2

b = 1