Modelagem de Problemas

Teoria Completa

Introdução

Você já deve ter visto várias aplicações pra EDOs, agora a gente vai conversar sobre as aplicações de sistemas de EDO. Nós temos alguns casos que são bem característicos e vamos ensinar vocês a montar as equações de cada um desses casos.

A resolução nós não vamos falar nessa teoria, mas você vai perceber nas próximas teorias que se aprender a montar as equações direito a resolução sai de forma automática.

Os casos que vamos ver serão: sistema de molas acopladas, circuitos elétricos e mistura entre tanques.

Sistema de molas acopladas

Em um sistema de molas acopladas nós temos duas molas conectadas e queremos descobrir a deformação de cada uma delas em função do tempo. Tomando a figura abaixo com as molas A e B , com constantes k 1 e k 2 respectivamente, conectadas com os blocos de massa m 1 e m 2 . Seja x 1 t a equação do deslocamento do bloco m 1 A e x 2 ( t ) a equação do deslocamento do bloco m 2 .

Agora vamos ter que usar aquele conhecimento de Física pra montar o nosso sistema de EDOs. Supondo que não temos nenhuma força externa, não tem a força da gravidade, no bloco de massa m 1 teremos uma força elástica da mola A e uma da mola B de forma que.

F e l A = - k 1 x 1 ,     F e l B = k 2 ( x 2 - x 1 )  

O sinal negativo da força da mola A é por uma convenção de sinal. A deformação da mola B vai ser o quanto o bloco m 2 desceu menos o quanto o bloco m 1 desceu.

Como nós só temos essas duas forças agindo no bloco de massa m 1 , pela segunda lei de Newton temos que.

m 1 a = F e l A + F e l B

Como a = d 2 x 1 d t 2

m 1 d 2 x 1 d t 2 = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )

Nossas equações já estão começando a aparecer. No bloco de massa m 2 nós só teremos a ação da força - F e l B , esse sinal negativo aparece porque no bloco m 1 a força puxava o bloco pra baixo enquanto no bloco m 2 ela puxa pra cima. De forma análoga ao que fizemos pro primeiro bloco nós obtemos a seguinte equação.

m 2 d 2 x 2 d t 2 = - k 2 ( x 2 - x 1 )

O nosso sistema fica então.

m 1 x 1 ' ' = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )

m 2 x 2 ' ' = - k 2 ( x 2 - x 1 )

Agora já temos as equações pra essa aplicação.

Circuitos Elétricos

Essa é a parte mais chatinha porque tem bastante física, vou tentar simplificar bastante pra vocês pegarem a ideia do que tem que fazer pra resolver uma questão dessa.

Pra resolver esses problemas vamos precisar basicamente da primeira e da segunda lei de Kirchhoff. Vamos enunciar elas aqui embaixo e depois a gente vê direitinho num exemplo

Primeira lei de Kirchhoff

A primeira lei é a lei das correntes, ela diz que a soma das correntes entrando e saindo em um nó é igual a zero. Isso quer dizer que toda corrente que entra em um nó tem que sair também.

Segunda lei de Kirchhoff

A segunda lei é a lei das malhas, ela diz que a soma das forças eletromotrizes em uma malha é igual à soma das quedas de potencial. Essa é mais confusa, mas a ideia é simples. Resistores, Indutores e Capacitores geram variação de potencial quando uma corrente passa por eles, essa lei diz que a ddp entre dois pontos é a soma dessas quedas.

Antes de aplicarmos essas leis tem algumas decorebas que você tem que guardar sobre queda de potencial. Abaixo estão as fórmulas de como fica a queda de potencial quando uma corrente passa por um indutor, resistor ou capacitor

L d i d t ,     R i ,     1 C q

Você percebeu que só a formula do capacitor que tá com q ao invés de i né? Isso é porque a formula do capacitor é com carga, mas nós só temos que lembrar da seguinte relação entre carga e corrente que fica tudo certo.

i = d q d t

Agora nós já temos as nossas leis e as nossas decorebas, vamos aplicar no circuito abaixo.

No nó B 1 nós temos corrente i 1 entrando e correntes i 2 e i 3 saindo ,então pela primeira lei de Kirchhoff.

i 1 = i 2 + i 3

Agora vamos usar a segunda lei. O potencial entre A 1 e B 2 é dado por E , onde E é uma função de um força eletromotriz. Pela segunda lei de Kirchhoff a gente sabe que esse E também é igual a queda de potencial quando a gente analisa o caminho A 1 B 1 B 2   ou o caminho A 1 C 1 C 2 . Utilizando as nossas decorebas nós temos.

E = i 1 R 1 + L 1 d i 2 d t + R 2 i 2

E = i 1 R 1 + L 2 d i 3 d t

Agora nós podemos usar a equação que achamos com a primeira lei pra sumir com o i 1 e assim nós ficamos com as seguintes equações.

E = L 1 d i 2 d t + R 1 + R 2 i 2 + R 1 i 3

E = L 2 d i 3 d t + R 1 i 2 + R 1 i 3

Conseguimos nosso sistema de EDOs

Mistura entre tanques

A ideia de problemas com tanques é bem simples. Vamos supor que temos dois tanques que possuem quantidades de um sal. Vamos definir as funções da quantidade de sal nos tanques como x 1 e x 2 . Vamos usar a figura abaixo pra ficar mais fácil de entender como funciona essa modelagem.

Vamos designar a nossa função x 1 pro tanque A e x 2 pro tanque B . A grande chave desses problema é lembrar que a variação da quantidade de sal, a derivada em função do tempo, vai ser igual a taxa de sal que entra menos a que sai. As taxas vão ser a concentração do sal vezes o fluxo de liquido. Sendo assim nós vamos ter.

d x 1 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a

d x 2 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a

Pra gente poder resolver o problema vamos supor que os dois tanques tem 20 litros de agua pura. Bora resolver então.

No tanque A temos entrando agua pura e agua da mistura do tanque B . A agua pura tem concentração de sal igual a 0 e a agua da mistura de B tem concentração de x 2 20 , que é a quantidade de sal desse tanque dividida pelo volume dele. Temos saindo nesse mesmo tanque uma mistura com concentração de x 1 20 , que é a quantidade de sal desse tanque dividida pelo volume dele.

d x 1 d t = 3 l m i n × 0 g l + 1 l m i n × x 2 20 g l   - 4 l m i n × x 1 20 g l

d x 1 d t = x 2 20 - x 1 5

No tanque B nós vamos ter aquela mistura que saiu do tanque A entrando no tanque B . Saindo nós vamos ter agora aquela mesma mistura que tava entrando em A e agora uma outra saída, com a mesma concentração, que vai pra fora dos dois tanques como mostra a figura.

d x 2 d t = 4 l m i n × x 1 20 g l - ( 3 l m i n + 1 l m i n ) × x 2 20 g l

d x 2 d t = x 1 5 - x 2 5

Bem simples né galera?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp19-18

Estabeleça o sistema de equações dado abaixo a partir da figura.

L d i 1 d t   + R i 2 = E ( t ) C R i 2 ' + i 2 - i 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nessa questão vamos ter que usar os conhecimentos de física para montar as equações. Sabemos da primeira lei de Kirchhoff que

i 1 = i 2 + i 3

Para acharmos as outras equações vamos ter que analisar cada malha separada.

Passo 2

Analisando somente a malha que contem o indutor L e o resistor R . Pela segunda lei de Kirchhoff temos.

E ( t ) = L d i 1 d t + R i 2

Já encontramos nossa primeira equação.

Passo 3

Analisando a malha geral. Pela segunda lei de Kirchhoff temos.

E ( t ) = L d i 1 d t + 1 C q

Como q é a carga que está no capacitor e i 3 é a única corrente que passa pelo capacitor, temos.

i 3 = q '

Passo 4

Ao igualarmos as equações encontradas no passo 2 e 3.

L d i 1 d t + 1 C q = L d i 1 d t + R i 2

q = C R i 2

Como nós sabemos que i 3 = q '

i 3 = C R i 2 '

Como sabemos que i 3 = i 1 - i 2

C R i 2 ' = i 1 - i 2

C R i 2 ' + i 2 - i 1 = 0

Encontramos nossa segunda equação.

Resposta

Demonstramos como encontrar as equações a partir da figura.

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp26-18

Considere dois tanques A e B com o líquido sendo bombeado para dentro e para fora às taxas mostradas na figura abaixo. Sendo o tanque A contendo 50 litros de água em que foram dissolvidos 25 gramas de sal e o tanque B contendo 50 litros de água pura. Qual é o sistema de equações diferenciais se, em lugar de água pura, bombearmos para dentro do tanque A uma solução de salmoura contendo 2 g / l .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Esse é um caso clássico de tanque, Para resolver temos que lembrar daquelas equações bizuradas que vimos na teoria. Seja   x 1 a concentração de sal no tanque A e x 2 a concentração no tanque B , Temos.

d x 1 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a d x 2 d t = t a x a   e n t r a d a - t a x a   s a i d a

Passo 2

Vamos aos valores. No problema ele diz que entra no tanque A água com concentração de 2 g / l a uma taxa de 3 l / m i n . Pela figura nós percebemos que também entra água vinda do tanque B , essa agua vai ter uma concentração de x 2 50 , que é a concentração de sal em B dividido pelo volume total.

t a x a   e n t r a d a = 2 × 3 + 1 × x 2 50

A taxa de saída do tanque A vai ter a concentração de A dividida pelo volume total, x 1 / 50 . Como a taxa é de 4 l / m i n

t a x a   s a i d a = 4 × x 1 50

Sendo assim.

d x 1 d t = 6 + x 2 50 - 4 x 1 50

Passo 3

Vamos tratar do tanque B agora. O tanque só recebe água do tanque A que vai ser igual a taxa de saída de A que nós já calculamos.

t a x a   e n t r a d a = 4 × x 1 50

A taxa de saída vão ser os dois fluxos que nós vemos na figura. Os dois tem a concentração de x 2 / 50 e as taxas como escrito na figura. Sendo assim.

t a x a   s a i d a = 1 × x 2 50 + 3 × x 2 50

Então a nossa equação fica

d x 2 d t = 4 x 1 50 - 4 x 2 50

Passo 4

O sistema fica

d x 1 d t = 6 + x 2 50 - 4 x 1 50 d x 2 d t = 4 x 1 50 - 4 x 2 50

Resposta

d x 1 d t = 6 + x 2 50 - 4 x 1 50 d x 2 d t = 4 x 1 50 - 4 x 2 50

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