Obtenção dos Pontos Críticos

Teoria Completa

Os pontos críticos são os valores de x e y que vamos ter a derivada sendo 0 .

x ' = 0 y ' = 0

Na esmagadora maioria das vezes o ponto crítico vai ser só o 0,0 , mas fique atento que as vezes pode não ser. É muito difícil aparecer um exemplo desse, mas fique tranquilo que vamos ver mais tarde como resolver essa parada.

O normal é considerarmos 0,0 como o único ponto crítico de um sistema, mas a ideia de ponto crítico faz mais sentido para um sistema não linear. Você deve estar se perguntando o que diabos é um sistema não linear, relaxa, vamos ver com calma essa parada.

Até agora vimos sistemas de equação linear, ou seja, aqueles que são sempre assim

x ' = a x + b y y ' = c x + d y

Com a , b , c e d sendo constantes.

Os sistemas não lineares são uns que vão ter quaisquer funções sendo igual a x ' ou y ' .

Um exemplo disso seria

x ' = x 2 + y 2 - 2 y ' = x + y

Mas dada essa função muito louca, como fazer o ponto crítico? Queremos

x ' = 0 y ' = 0

Então vamos ter

x 2 + y 2 - 2 = 0 x + y = 0

Isolando x na equação de baixo vamos ter

y = - x

Substituindo isso na equação de cima, vamos ter

x 2 + - x 2 - 2 = 0

x 2 + x 2 = 2

2 x 2 = 2

x 2 = 1

x = ± 1

Isso nos diz que y = ∓ 1 , e os pontos críticos vão ser

1 , - 1     e     - 1,1

Pronto já encontramos os pontos críticos.

É comum também termos que montar um sistema e calcular os pontos críticos a partir de uma equação. Pra fazer isso vamos ter que antes escrever a equação no formato de um sistema autônomo, que é bem parecido com a forma normal que nós já vimos em outra teoria.

O que a gente vai fazer é criar uma variável pra auxiliar a gente nessa missão. Vamos ver um exemplo que vai ficar bem mais fácil.

x ' ' + x + 15 = 0

Pra montar um sistema nós vamos sempre ter que criar uma variável no seguinte formato.

x ' = y

Quando a gente cria essa variável a gente já sabe que

y ' = x ' '

E substituindo essa nova variável na nossa equação nós obtemos o seguinte

y ' + x + 15 = 0

y ' = - x - 15

Sendo assim o nosso sistema vai ficar

x ' = y y ' = - x - 15

Agora a ideia é só achar os pontos críticos que nem nós já mostramos. Fazendo isso você vai achar que o ponto crítico é:

( - 15,0 )

E bora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp157-1

Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.

x ' ' + 9 sen ⁡ x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos primeiro escrever o sistema com ele pediu, pra isso vamos ter que criar uma variável y . De forma que.

x ' = y

Como x ' ' = - 9 sen ⁡ x , o sistema será.

x ' = y y ' = - 9 sen ⁡ x

Passo 2

Agora temos que achar os pontos críticos, pra isso vamos igualar x ' e y ' a zero. Então.

0 = y 0 = - 9 sen ⁡ x

De cara a gente já sabe que a coordenada y vai ser 0, mas a corrdenada do x nós vamos ter que analisar um pouco.

Para termos o seno sempre igual a zero a gente ai ter que lembrar aquele conhecimento de trigonometria que diz.

sen ⁡ x = 0   ⟹ x = ± n π ,   n = 0,1 , 2 , …

Então os pontos críticos vão ser ( ± n π , 0 )

Resposta

x ' = y y ' = - 9 sen ⁡ x

± n π , 0 ,     n = 0,1 , 2 , …

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp157-3

Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.

x ' ' + x ' 1 - x 3 - x 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para escrever como um sistema autônomo plano temos primeiro que criar uma variável y . De forma que.

x ' = y

Como x ' ' = y ' , o sistema ficará no seguinte formato.

x ' = y y ' = x 2 - y 1 - x 3

Passo 2

Para acharmos os pontos críticos temos que igualar x ' e y ' a zero. Sendo assim.

0 = y 0 = x 2 - y 1 - x 3

De cara a gente já vê que a coordenada y do nosso ponto crítico é zero. Vamos analisar a segunda equação com y = 0 .

0 = x 2 - 0 × ( 1 - x 3 )

Logo x = 0 e o ponto crítico será ( 0,0 ) .

Resposta

( 0,0 )

Exercício Resolvido #3

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp157-5

Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.

x ' ' + x = ε x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para escrever como um sistema autônomo temos que primeiro criar uma variável y . De forma que.

x ' = y

Como x ' ' = y ' , o sistema ficará no seguinte formato.

x ' = y y ' = - x + ε x 3

Passo 2

Para acharmos os pontos críticos temos que igualar x ' e y ' a zero. Sendo assim.

0 = y 0 = - x + ε x 3

Já dá pra perceber que a coordenada y do ponto crítico vai ser zero. Pra acharmos a coordenada x teremos que trabalhar aquela segunda equação ainda.

0 = - x + ε x 3

0 = x ( - 1 + ε x 2 )

Disso nós tiramos que

x = 0 ,     0 = - 1 + ε x 2

1 ε = x 2

Logo teremos

x = 0 ,     x = 1 ε   ,     x = - 1 ε

Resposta

Assim os nossos pontos críticos serão.

0,0 ,     1 ε   , 0 ,     - 1 ε   , 0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas