EDO de Ordem Superior

Teoria Completa

Introdução

Neste tipo vamos falar de EDO’s que envolvem derivadas de ordem maior que 2 . Não tem mistério nisso e a gente vai te ajudar com qualquer coisa, fique tranquilo. Para o que segue, você precisa se lembrar que:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 - … - s f n - 2 0 - f n - 1 ( 0 )

Ou seja, a transformada de uma derivada de ordem 3 vai ser:

L f 3 t = s 3 L f t - s 2 f 0 - s f ' 0 - f ' ' ( 0 )

Agora, diferente da para ordem dois, além de saber f ( 0 ) e f ' ( 0 ) , você também vai ter que conhecer f ' ' ( 0 ) .

Para ordem 4 , algo bem semelhantes: L f 4 t = s 4 L f t - s 3 f 0 - s 2 f ' 0 - s f ' ' 0 - f ' ' ' ( 0 )

Vai ter que saber também f ' ' ' ( 0 ) . Viu? É só seguir o padrão. O grau de s vai diminuindo um a um e a ordem da derivada de f no ponto zero vai aumentando na mesma proporção. Depois do primeiro termo, todos os sinais são negativos também.

EDO de ordem superior

Essa belezinha aí em cima, somado com o que a gente já viu, é tudo que a gente precisa para resolver as EDOs que a gente quer nesse tipo. Não acredita? Então segue comigo que eu te mostro.

Vamos resolver a seguinte EDO:

y ' ' ' t + y ' t = 1 y 0 = y ' 0 = y ' ' 0 = y ' ' ' 0 = 0

Vamos aplicar Laplace em cima dela, com fizemos até aqui:

L y ' ' ' + y ' = L { 1 }

Como a transformada de Laplace é linear: L y ' ' ' + L y ' = L 1

Só aplicar a fórmula que a gente relembrou agora pouco e lembrar da transformada de 1 e da derivada de ordem 1:

s 3 L y - s 2 y 0 - s y ' 0 - y ' ' 0 + s L y - y 0 = 1 s

Sendo Y s =   L y e substituindo as condições iniciais do problema, que são nulas:

s 3 Y s + s Y s = 1 s

Isolando o Y ( s ) :

s s 2 + 1 Y s = 1 s ⟹ Y s = 1 s 2 ( s 2 + 1 )  

Agora, temos achar a inversa de Y ( s ) e teremos o y ( t ) . Aplicando frações parciais, obtemos que:

1 s 2 s 2 + 1 = 1 s 2 - 1 s 2 + 1

Então:

y t = L - 1 1 s 2 - L - 1 1 s 2 + 1

Vimos em transformadas inversas tradicionais que é a inversa da primeira é t e a da segunda é o nosso querido amigo, o sen ⁡ ( t ) . Então:

y t = t - sen ⁡ ( t )

Viu? Sem traumas...

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Exercício Resolvido #1

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 173, exemplo 2

Encontre a solução do problema de valor inicial

y ' ' ' ' - y = 0

y 0 = 0

y ' 0 = 1

y ' ' 0 = 0

y ' ' ' 0 = 0

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Passo 1

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:

L y ' ' ' ' - y s = 0

L y ' ' ' ' s - L y s = 0

Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:

L f n s = s n L f s - s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 … - s f n - 2 0 - f n - 1 ( 0 )

L y ' ' ' ' s = s 4 L f s - s 3 f 0 - s 2 f ' 0 - s f ' ' 0 - f ' ' ' ( 0 )

Substituindo na equação, temos:

s 4 L y s - s 3 f 0 - s 2 f ' 0 - s f ' ' 0 - f ' ' ' ( 0 ) - L y s = 0

Sim, a equação ficou enorme, mas não se desespere! Muitos termos vão sumir, você vai ver : )

Passo 2

Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar L y ( s )

Como y 0 = 0 , y ' 0 = 1 , y ' ' 0 = 0 e y ' ' ' 0 = 0 , temos:

s 4 L y s - 0 - s 2 - 0 - 0 ) - L y s = 0

s 4 L y s - s 2 ) - L y s = 0

L y s = s 2 s 4 - 1

Passo 3

Agora vamos decompor a expressão que encontramos em frações parciais, para podermos reconhecer y a partir de L y ( s ) . Vamos fazer isso com calma!

  1. Fatorar o denominador. Temos:
  2. L y s = s 2 s 4 - 1 = s 2 s 2 - 1 ( s 2 + 1 ) = s 2 s + 1 ) ( s - 1 ( s 2 + 1 )

  3. Igualar a expressão de L [ y ] à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos. Como assim? Olha só:
  4. L y s = s 2 s 4 - 1 = a s + 1 + b s - 1 + c s + d s 2 + 1

    O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Como temos grau 2 em ( s 2 + 1 ) , o numerador dessa fração deve ser c s + d (grau 1). Nas outras frações, temos grau 1 no denominador e grau zero no numerador.

  5. Fazer o MMC dessas frações, juntá-las ao mesmo denominador.
  6. s 2 s 4 - 1 = s - 1 ( s 2 + 1 ) a + s + 1 ( s 2 + 1 ) b + s 2 - 1 ( c s + d ) s + 1 ( s - 1 ) ( s 2 + 1 )

    s 2 s 4 - 1 = a s 3 + a s - a s 2 - a + b s 3 + b s + b s 2 + b + c s 3 + d s 2 - c s - d s + 1 ( s - 1 ) ( s 2 + 1 )

  7. Agora, partindo do princípio que essas duas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes das frações parciais:
  8. Vamos juntar os termos pelos graus de s .

    s 2 s 4 - 1 = a + b + c s 3 + ( - a + b + d ) s 2 + a + b - c s + ( - a + b - d ) s + 1 ( s - 1 ) ( s 2 + 1 )

    Como o denominador já é o mesmo, temos

    s 2 = a + b + c s 3 + ( - a + b + d ) s 2 + a + b - c s + ( - a + b - d )

    Agora vamos por partes! Vamos igualar cada coeficiente das potências de s na esquerda e na direita. Como assim? Olha só:

    a + b + c = 0     →       a + b = - c                                                                       - a + b + d = 1     →     - a + b = 1 - d                                                   a + b - c = 0         →     - 2 c = 0             →         c = 0                       – a + b - d = 0         →       1 - d - d = 0       → d = 1 / 2

    Temos, então:

    a = - b     →       a = - 1 / 4                             b + b = 1 - 1 / 2       →     b = 1 / 4  

  9. Agora que já temos os coeficientes a e b basta reescrever as frações que criamos.

L y s = s 2 s 4 - 1 = - 1 / 4 s + 1 + 1 / 4 s - 1 + 1 / 2 s 2 + 1

Passo 4

Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função y pela sua transformada. Vamos colocar esses coeficientes do numerador em evidência:

L y s = - 1 4 1 s + 1 + 1 4 1 s - 1 + 1 2 1 s 2 + 1

Nós já vemos que as duas primeiras frações lembram a transformada de da exponencial e a última lembra a transformada do seno. Temos o seguinte:

L [ e a t ] = 1 s - a

L sen ⁡ a t s = a s 2 + a 2

Então, podemos reescrever essa expressão como:

L y s = - 1 4 L [ e - t ] + 1 4 L [ e t ] + 1 2 L sen ⁡ t s

L y s = L - 1 4 e - t + 1 4 e t + 1 2 sen ⁡ t

Então, y é exatamente o que está dentro dos colchetes, não é? Temos:

y t = - 1 4 e - t + 1 4 e t + 1 2 sen ⁡ t

Resposta

y t = - 1 4 e - t + 1 4 e t + 1 2 sen ⁡ t

Exercício Resolvido #2

UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2010 - 3

Resolva o problema de valor inicial abaixo, expressando a solução em termos de uma convolução com a função g , a qual é uma função contínua arbitrária definida no intervalo [ 0 , ∞ ) :

y 4 - y = δ t - 1 + g t y j 0 = 0 ,       j = 0,1 , 2,3 .

Dica: 1 s 4 - 1 = 1 / 4 s - 1 - 1 / 4 s + 1 - 1 / 2 s 2 + 1

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Passo 1

A primeira coisa a fazer é aplicar a transformada de Laplace:

L y 4 - y = L δ t - 1 + g t ⟹ L y 4 - L y = L δ t - 1 + L { g t }