Sistemas de EDO

Teoria Completa

Introdução

Sistemas de EDO são como sistemas de equações normais. Ao invés de termos uma única variável a determinar, temos duas ou mais com o mesmo número de equações independentes. Vamos ver como isso tudo fica na prática?

Sistemas de EDO

Vamos pensar no exemplo abaixo:

x ' = 3 y + 4 e 5 t x 0 = 1 y ' = x - 2 y y 0 = 0

Parece complicado? É menos do que você imagina. Vamos começar fazendo a mesma coisa que a gente fez até agora: vamos aplicar Laplace em tudo:

L x ' = 3 L y + 4 L e 5 t L y ' = L x - 2 L y

Sabemos que:

L x ' = s L x - x 0 L y ' = s L y - y ( 0 )

L e 5 t = 1 s - 5

Substituindo:

s L x - x 0 = 3 L y + 4 s - 5

s L y - y 0 = L x - 2 L y ⟹ L x = L y s + 2 - y 0

Como y 0 = 0 :

L x = L y s + 2

A gente vai resolver isso da mesma forma que resolvemos um sistema normal, só que buscando determinar L x e L y !

Substituindo L x na primeira equação e sabendo que x 0 = 1 :

s s + 2 L y - 1 = 3 L y + 4 s - 5 s 2 + 2 s L y - 3 L y = 4 s - 5 + 1 = s - 1 s - 5 s 2 + 2 s - 3 L y = s - 1 s - 5 Assim:

L y = s - 1 s - 5 s 2 + 2 s - 3 Mas como as raízes de s 2 + 2 s - 3 são 1 e - 3 , então podemos reescrever:

s 2 + 2 s - 3 = ( s - 1 ) ( s + 3 )

Então:

L y = s - 1 s - 1 s + 3 s - 5

Cortando:

L y = 1 s + 3 s - 5

E como já vimos:

L x = s + 2 L y = s + 2 s + 3 s - 5

Utilizando frações parciais, como já foi explicado:

1 s + 3 s - 5 = a s + 3 + b s - 5 = a + b s + 3 b - 5 a s + 3 s - 5 Comparando os coeficientes dos polinômios:

3 b - 5 a = 1 a + b = 0 ⟹ a = - b Substituindo a segunda na primeira:

- 3 a - 5 a = 1 ⟹ a = - 1 8

E:

b = 1 8

Assim:

L y = - 1 8 ( s + 3 ) + 1 8 ( s - 5 ) Assim, usando a transformada de que L [ e a t ] = 1 / ( s - a ) , chegamos:

y t = - 1 8 e - 3 t + 1 8 e 5 t

Agora vamos para o L x para achar o x ( t ) . Já vimos que:

L x = L y s + 2 = s + 2 s + 3 s - 5 Usando frações parciais novamente:

s + 2 s + 3 s - 5 = a s + 3 + b s - 5 = a + b s + 3 b - 5 a s + 3 s - 5

a + b = 1 3 b - 5 a = 2

Obtemos:

a = 1 8 b = 7 8

Ficamos então:

L x = 1 8 s + 3 + 7 8 s - 5 Finalmente:

x t = 1 8 e - 3 t + 7 8 e 5 t

Viu? É como resolver um sistema linear normal, e depois aplica o Laplace inverso para descobrir a função!

Passo a Passo para Sistema de EDO por Laplace:

  1. Aplicar Laplace à EDO;
  2. Resolver o sistema, encontrando L y e L x (não se esqueça de substituir os valores iniciais que o problema deu);
  3. Decompor a expressão de L y e L x se precisar;
  4. Reconhecer funções por suas transformadas;
Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET – EDO – P2 Roberto Sá 2010 – 2

Para o sistema S : 1 x ' = 4 x - 2 y + 2 u 1 t ,     x 0 = 1   : 2   y ' = 3 x - y + u 1 t ,   y 0 = 3 2 . Use Laplace e calcule x ( t ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Então o sistema é:

x ' = 4 x - 2 y + 2 u 1 t x 0 = 1 y ' = 3 x - y + u 1 t y 0 = 3 2

Passo 2

Ok, vamos aplicar Laplace no sistema:

L x ' = 4 L x - 2 L y + 2 L u 1 t L y ' = 3 L x - L y + L u 1 t

Mas sabemos que

L x ' = s L x - x 0 L y ' = s L y - y ( 0 )

Utilizando as condições iniciais que ele deu:

L x ' = s L x - 1 L y ' = s L y - 3 2

Então simbora, substituindo isso no sistema:

s L x - 1 = 4 L x - 2 L y + 2 L u 1 t s L y - 3 2 = 3 L x - L y + L u 1 t

Para facilitar, vamos chamar assim:

X s = L x Y s = L y

Assim fica:

s X ( s ) - 1 = 4 X ( s ) - 2 Y ( s ) + 2 L u 1 t s Y ( s ) - 3 2 = 3 X ( s ) - Y ( s ) + L u 1 t

Colocando X ( s ) e Y ( s ) no lado esquerdo:

s - 4 X s + 2 Y s = 1 + 2 L u 1 t - 3 X s + s + 1 Y s = 3 2 + L u 1 t

Sabemos que:

L u 1 t = e - s s

Assim fica:

s - 4 X s + 2 Y s = 1 + 2 e - s s - 3 X s + s + 1 Y s = 3 2 + e - s s

Agora vou colocar o Y ( s ) em evidência na primeira equação:

Y s = 4 - s X s 2 + 1 2 + e - s s

Substituindo isso na segunda equação:

- 3 X s + s + 1 4 - s X s 2 + 1 2 + e - s s = 3 2 + e - s s

Desenvolvendo:

- 3 X s + - s 2 + 3 s + 4 X s 2 + s + 1 2 + ( s + 1 ) e - s s = 3 2 + e - s s

Multiplicando tudo por 2 :

- 6 X s + - s 2 + 3 s + 4 X s + s + 1 + 2 ( s + 1 ) e - s s = 3 + 2 e - s s

- s 2 - 3 s + 2 X s = - ( s - 2 ) + 2 e - s s - 2 ( s + 1 ) e - s s

s 2 - 3 s + 2 X s = s - 2 + 2 e - s

Colocando X ( s ) em evidência:

X s = s - 2 s 2 - 3 s + 2 + 2 e - s s 2 - 3 s + 2 = s + 2 e - s - 1 s 2 - 3 s + 2

Completando o Quadrado perfeito:

s 2 - 3 s + 2 = s 2 - 3 s + 9 4 - 9 4 + 2 = s - 3 2 2 - 1 4

E também podemos abrir isso:

s - 3 2 2 - 1 4 = s - 3 2 + 1 4 s - 3 2 - 1 4 = ( s - 1 ) ( s - 2 )

Viu? Nem ficou tão feio! ;D

X s = s + 2 e - s - 1 ( s - 1 ) ( s - 2 ) = s + 2 e - s - 1 1 s - 1 s - 2

Agora vou abrir em frações parciais:

1 s - 1 s - 2 = A s - 1 + B s - 2 = A s - 2 A + B s - B s - 1 s - 2 = A + B s - 2 A - B s - 1 s - 2 Igualando os coeficientes:

- 2 A - B = 1 A + B = 0 → A = - B

Substituindo a equação 2 na 1 :

- 2 - B - B = 1 → B = 1 → A = - 1

Assim:

1 s - 1 s - 2 = - 1 s - 1 + 1 s - 2

Substituindo isso:

X s = s + 2 e - s - 1 - 1 s - 1 + 1 s - 2

X s = - s s - 1 + s s - 2 - 2 e - s s - 1 + 2 e - s s - 2 + 2 1 s - 1 - 2 1 s - 2

Passo 3

O paranauê ficou assim:

X s = - s s - 1 + s s - 2 - 2 e - s s - 1 + 2 e - s s - 2 + 2 1 s - 1 - 2 1 s - 2

Agora temos que calcular a inversa de cada um:

Pro primeiro, faça divisão polinomial que você vai achar esse paranauê:

- s s - 1 = - 1 - 1 s - 1

L - 1 - 1 - 1 s - 1 = - δ t - e t

L - 1 s s - 2 = L - 1 1 + 1 s - 2 = δ t + e 2 t

L - 1 - 2 e - s s - 1 = - 2 e t - 1 u 1 ( t )

L - 1 2 e - s s - 2 = 2 e 2 ( t - 1 ) u 1 ( t )

L - 1 2 1 s - 1 = 2 e t

L - 1 - 2 1 s - 2 = - 2 e 2 t

Então ficou:

x t = - δ t - e t + δ t + e 2 t - 2 e t - 1 u 1 t + 2 e 2 t - 1 u 1 t + 2 e t - 2 e 2 t

Por fim:

x t = - e t + e 2 t + 2 u 1 t ( - e t - 1 + e 2 t - 1 )

Resposta

x t = - e t + e 2 t + 2 u 1 t ( - e t - 1 + e 2 t - 1 )

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Use a transformada de Laplace para resolver os sistemas abaixo:

x ' ' t + y t = 0     ;       x 0 = 0     x ' 0 = 1 y ' t + x ' t = 0     ;         y 0 = - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Eita ferrou, esse tem segunda derivada, é diferente do exercício feito na teoria??? Não! Mesma coisa! Vamos ver:

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:

L [ x ' ' t + y t ] = 0 L [ y ' t + x ' t ] = 0

Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:

L y ' = s L y - y 0 = s L y + 1

L x ' = s L x - x 0 = s L x

L x ' ' = s 2 L x - s x 0 - x ´ 0 = s 2 L x s - 1

Passo 2

Substituindo esses paranauês no sistema: s 2 L x - 1 + L y = 0 s L y + 1 + s L x = 0

Ae é mesma coisa do outro, resolver isso como se fosse um sistema normal, da segunda equação temos que:

L y = - L x - 1 s

Substituindo na primeira:

s 2 L x - 1 - L x - 1 s = 0 L x s 2 - 1 = 1 s + 1 = s + 1 s

L x = s + 1 s s 2 - 1

Aplicando frações parciais:

s + 1 s s 2 - 1 = s + 1 s s - 1 ( s + 1 ) = a s + b s - 1 + c s + 1 = a + b + c s 2 + b - c s - a s s 2 - 1

Daí temos que:

a + b + c = 0 b - c = 1 - a = 1 → a = - 1

Substituindo a equação 2: ( b = 1 + c ) junto com a informação de que a = - 1 na equação 1:

- 1 + 1 + c + c = 0 → c = 0

Eu sei que dava pra ter cortado ( s + 1 ) , mas queria mostrar a resolução de um sisteminha se tivesse 3 variáveis, assim deu pra ver mais coisas!

E com isso temos que : b = 1

Assim ficou:

L x = s + 1 s s 2 - 1 = - 1 s + 1 s - 1

E também

L y = - L x - 1 s = 1 s - 1 s - 1 - 1 s = - 1 s - 1

Passo 3

Agora é só olhar e procurar pela inversa, nesse caso já vimos essas transformadas, né?

x = - 1 + e t y = - e t

Resposta

x = - 1 + e t y = - e t

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