Cálculo de Transformada de Laplace

Teoria Completa

Introdução

Aqui a gente vai ver como calcular a transformada de Laplace. Lá na frente, ela vai nos ajudar a resolver EDOs de uma forma bem tranquila, então é importante que a gente aprenda esses conceitos aqui. Vamos lá!

Transformada de Laplace

A transformada de Laplace é uma transformação de uma função que vamos chamar de f ( t ) em outra função que vamos chamar de F ( s ) . Como?

Não, não! Fazemos essa transformação usando essa integral aqui:

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Ou seja, toda vez que quisermos a transformada de uma função f ( t ) , devemos realizar essa integral.

Fica atento a uma coisa: o domínio da função f são os valores de t , enquanto o domínio de F são os valores de s . Então, se ao realizar a integral você permanecer com t , refaz porque tem algum erro.

Mas como calculo a transformada de Laplace?

Tá, mas e aí? Vamos calcular nossa primeira transformada de Laplace. Imagina que temos a função f t = 1 .

Temos:

L 1 s = L 1 = ∫ 0 ∞ 1 ⋅ e - s t d t

Onde você pode usar tanto a notação com o L comum quanto com o L cursivo. Aqui nós vamos dar preferência para o a notação cursiva pois é a mais usual, mas de vez em quando vocês podem ver a outra também 😉

Voltando para a integral, como é que eu faço com aquele infinito no integrando? Isso se chama integral imprópria e você deve ter visto em cálculo I, mas vamos relembrá-las agora.

Integrais impróprias são integrais com intervalo ilimitado. Nós as resolvermos pelo seguinte princípio:

∫ a ∞ f t d t = lim A → ∞ ⁡ ∫ a A f t d t

Ou seja, calculamos a integral com intervalo limitado e tomamos o limite do resultado. Então, se esse limite existir (se encontrarmos um número), a integral converge. Caso contrário, ela diverge.

Então:

∫ 0 x e - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e - s t d t

∫ 0 x e - s t d t = - e - s t s 0 x = 1 - e - s x s

Tomando o limite:

lim x → ∞ ⁡ 1 - e - s x s = 1 s       s > 0

Portanto, podemos dizer que a Transformada de Laplace de f t = 1 é igual a 1 / s :

L 1 = 1 s

Era melhor que fosse mágica né? Dá um trabalhinho bom ficar resolvendo essas integrais toda vez, mas tem algumas que sempre estão aparecendo e que fica bem melhor se a gente já decorar. Faz uma tabelinha aí no canto do caderno pra elas serem fáceis de encontrar quando a gente precisar. Com o tempo a gente decora.

Transformadas que você precisa conhecer

  • L e a t = 1 s - a
  • L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2
  • L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2
  • L t n = n ! s n + 1

A transformada é uma integral!

Até aqui já vimos como calcular a transformada e algumas transformadas mais comuns para acelerar nossa vida, mas tem um detalhe que vai nos ajudar nas questões precisamos ver:

Já vimos que:

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Show, mas e daí? O fato da transformada de Laplace ser uma integral nos dá vantagens bem legais. Veja:

A transformada de Laplace de uma constante vezes uma função:

L 3 cos ⁡ t = ∫ 0 ∞ 3 cos ⁡ t e - s t d t = 3 ∫ 0 ∞ cos ⁡ t e - s t d t = 3 L cos ⁡ t

É igual a mesma constante vezes a transformada de Laplace da função.

A transformada de Laplace de uma função f t = e t mais outra g t = cos ⁡ t

L e t + cos ⁡ t = ∫ 0 ∞ e t + cos ⁡ t e - s t d t = ∫ 0 ∞ e t e - s t d t + ∫ 0 ∞ cos ⁡ t e - s t d t =

L e t + L cos ⁡ t

É igual à soma das transformadas das funções. O mesmo raciocínio serve para a subtração dessas funções.

Ou seja, de um modo bem geral:

L c 1 f 1 + c 2 f 2 = c 1 L f 1 + c 2 L f 2

Para c 1 e c 2 constantes.

A gente chama essas propriedades de linearidade da transformada de Laplace. Mas o nome mesmo não é interessante. Daqui a pouco vamos estar trabalhando com várias transformada já decoradas e não vamos ficar integrando o tempo todo, mas é importante nunca esquecer que a transformada é uma integral então tem as mesmas propriedades das integrais.

Fórmulas importantes do capítulo

Pronto! Já sabemos o princípio de como calcular transformadas de Laplace. Vamos juntar aqui o que você vai precisar usar nas questões:

L f t = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

L c 1 f 1 + c 2 f 2 = c 1 L f 1 + c 2 L f 2

L e a t = 1 s - a

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

L t n = n ! s n + 1

Beleza? Partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Calcule, pela definição da Transformada de Laplace, L t e a t ( s ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A definição da Transformada de Laplace é a seguinte:

L f s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Podemos escrever então

L t e a t s = ∫ 0 ∞ t e a t e - s t d t =

= ∫ 0 ∞ t e a - s t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x t e a - s t d t

Passo 2

Vamos agora calcular essa integral. Não conseguimos fazer uma integração direta de cara, não é? Vamos tentar então integrar por partes. Temos:

∫ u ' v = u v - ∫ u v '

Se definirmos

u ' = e a - s t       →       u = e a - s t a - s

v = t       →       v ' = 1

Substituindo esses valores

∫ 0 x t e a - s t d t = e a - s t t a - s t = 0 t = x - ∫ 0 x e a - s t a - s d t

= e a - s t t a - s - e a - s t a - s 2 t = 0 t = x =

= e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2 =

Passo 3

Vamos agora tomar o limite dessa expressão que encontramos.

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

Bem, como a última fração não tem nenhum x , podemos tirar ela do limite.

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x a - s x - 1 a - s + 1 a - s 2

Agora vamos analisar com calma. Se fizermos a > s , teremos a exponencial tendendo pra infinito e o termo x - 1 a - s tendendo para infinito também! Então daria uma indeterminação de cara!

Por outro lado, quando s > a , o x da exponencial fica com um sinal de menos e ela vai tender pra 0 ! Vamos ver no que dá.

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s - lim x → ∞ ⁡ e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ e a - s x x a - s + 1 a - s 2

Nesse limite que sobrou temos um problema. Embora o limite da exponencial dê zero com s > a , tem um x multiplicando a fração e tendendo a infinito. Logo, quando aplicamos x → ∞ na expressão, encontramos uma indeterminação do tipo 0 × ∞ .

Você deve estar pensando “se tem indeterminação então posso usar L’Hospital”, não é? Calma, L’Hospital só pode ser aplicado com indeterminações do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ , não 0 × ∞ , que é o que temos aqui. Mas nós vamos mexer nesse limite para podermos usar a regra, olha só:

L t e a t s = lim x → ∞ ⁡ x a - s e - a - s x + 1 a - s 2

Passamos o e a - s x para baixo como e - a - s x . Como lim x → ∞ ⁡ e - a - s x = ∞ (para s > a ), agora temos ∞ / ∞ e podemos usar L’Hospital. Derivando o numerador e o denominador, temos:

lim x → ∞ ⁡ x a - s e - a - s x = lim x → ∞ ⁡ 1 - a - s 2 e - a - s x = 0