Cálculo de Transformada de Laplace

Resumo Completo

Introdução

Aqui a gente vai ver como calcular a transformada de Laplace. Lá na frente, ela vai nos ajudar a resolver EDOs de uma forma bem tranquila, então é importante que a gente aprenda esses conceitos aqui. Vamos lá!

Transformada de Laplace

A transformada de Laplace é uma transformação de uma função que vamos chamar de f ( t ) em outra função que vamos chamar de F ( s ) . Como?

Não, não! Fazemos essa transformação usando essa integral aqui:

F s = 0 f t e - s t d t

Ou seja, toda vez que quisermos a transformada de uma função f ( t ) , devemos realizar essa integral.

Fica atento a uma coisa: o domínio da função f são os valores de t , enquanto o domínio de F são os valores de s . Então, se ao realizar a integral você permanecer com t , refaz porque tem algum erro.

Mas como calculo a transformada de Laplace?

Tá, mas e aí? Vamos calcular nossa primeira transformada de Laplace. Imagina que temos a função f t = 1 .

Temos:

L 1 s = L 1 = 0 1 e - s t d t

Onde você pode usar tanto a notação com o L comum quanto com o L cursivo. Aqui nós vamos dar preferência para o a notação cursiva pois é a mais usual, mas de vez em quando vocês podem ver a outra também 😉

Voltando para a integral, como é que eu faço com aquele infinito no integrando? Isso se chama integral imprópria e você deve ter visto em cálculo I, mas vamos relembrá-las agora.

Integrais impróprias são integrais com intervalo ilimitado. Nós as resolvermos pelo seguinte princípio:

a f t d t = lim A a A f t d t

Ou seja, calculamos a integral com intervalo limitado e tomamos o limite do resultado. Então, se esse limite existir (se encontrarmos um número), a integral converge. Caso contrário, ela diverge.

Então:

0 x e - s t d t = lim x 0 x e - s t d t

0 x e - s t d t = - e - s t s 0 x = 1 - e - s x s

Tomando o limite:

lim x 1 - e - s x s = 1 s       s > 0

Portanto, podemos dizer que a Transformada de Laplace de f t = 1 é igual a 1 / s :

L 1 = 1 s

Era melhor que fosse mágica né? Dá um trabalhinho bom ficar resolvendo essas integrais toda vez, mas tem algumas que sempre estão aparecendo e que fica bem melhor se a gente já decorar. Faz uma tabelinha aí no canto do caderno pra elas serem fáceis de encontrar quando a gente precisar. Com o tempo a gente decora.

Transformadas que você precisa conhecer

  • L e a t = 1 s - a
  • L sen a t = a s 2 + a 2
  • L cos a t = s s 2 + a 2
  • L t n = n ! s n + 1

A transformada é uma integral!

Até aqui já vimos como calcular a transformada e algumas transformadas mais comuns para acelerar nossa vida, mas tem um detalhe que vai nos ajudar nas questões precisamos ver:

Já vimos que:

L f t = 0 f t e - s t d t

Show, mas e daí? O fato da transformada de Laplace ser uma integral nos dá vantagens bem legais. Veja:

A transformada de Laplace de uma constante vezes uma função:

L 3 cos t = 0 3 cos t e - s t d t = 3 0 cos t e - s t d t = 3 L cos t

É igual a mesma constante vezes a transformada de Laplace da função.

A transformada de Laplace de uma função f t = e t mais outra g t = cos t

L e t + cos t = 0 e t + cos t e - s t d t = 0 e t e - s t d t + 0 cos t e - s t d t =

L e t + L cos t

É igual à soma das transformadas das funções. O mesmo raciocínio serve para a subtração dessas funções.

Ou seja, de um modo bem geral:

L c 1 f 1 + c 2 f 2 = c 1 L f 1 + c 2 L f 2

Para c 1 e c 2 constantes.

A gente chama essas propriedades de linearidade da transformada de Laplace. Mas o nome mesmo não é interessante. Daqui a pouco vamos estar trabalhando com várias transformada já decoradas e não vamos ficar integrando o tempo todo, mas é importante nunca esquecer que a transformada é uma integral então tem as mesmas propriedades das integrais.

Fórmulas importantes do capítulo

Pronto! Já sabemos o princípio de como calcular transformadas de Laplace. Vamos juntar aqui o que você vai precisar usar nas questões:

L f t = 0 f t e - s t d t

L c 1 f 1 + c 2 f 2 = c 1 L f 1 + c 2 L f 2

L e a t = 1 s - a

L sen a t = a s 2 + a 2

L cos a t = s s 2 + a 2

L t n = n ! s n + 1

Beleza? Partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria.

Calcule, pela definição da Transformada de Laplace, L t e a t ( s ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A definição da Transformada de Laplace é a seguinte:

L f s = 0 f t e - s t d t

Podemos escrever então

L t e a t s = 0 t e a t e - s t d t =

= 0 t e a - s t d t = lim x 0 x t e a - s t d t

Passo 2

Vamos agora calcular essa integral. Não conseguimos fazer uma integração direta de cara, não é? Vamos tentar então integrar por partes. Temos:

u ' v = u v - u v '

Se definirmos

u ' = e a - s t             u = e a - s t a - s

v = t             v ' = 1

Substituindo esses valores

0 x t e a - s t d t = e a - s t t a - s t = 0 t = x - 0 x e a - s t a - s d t

= e a - s t t a - s - e a - s t a - s 2 t = 0 t = x =

= e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2 =

Passo 3

Vamos agora tomar o limite dessa expressão que encontramos.

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

Bem, como a última fração não tem nenhum x , podemos tirar ela do limite.

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s - e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

L t e a t s = lim x e a - s x a - s x - 1 a - s + 1 a - s 2

Agora vamos analisar com calma. Se fizermos a > s , teremos a exponencial tendendo pra infinito e o termo x - 1 a - s tendendo para infinito também! Então daria uma indeterminação de cara!

Por outro lado, quando s > a , o x da exponencial fica com um sinal de menos e ela vai tender pra 0 ! Vamos ver no que dá.

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s - lim x e a - s x a - s 2 + 1 a - s 2

L t e a t s = lim x e a - s x x a - s + 1 a - s 2

Nesse limite que sobrou temos um problema. Embora o limite da exponencial dê zero com s > a , tem um x multiplicando a fração e tendendo a infinito. Logo, quando aplicamos x na expressão, encontramos uma indeterminação do tipo 0 × .

Você deve estar pensando “se tem indeterminação então posso usar L’Hospital”, não é? Calma, L’Hospital só pode ser aplicado com indeterminações do tipo 0 / 0 ou / , não 0 × , que é o que temos aqui. Mas nós vamos mexer nesse limite para podermos usar a regra, olha só:

L t e a t s = lim x x a - s e - a - s x + 1 a - s 2

Passamos o e a - s x para baixo como e - a - s x . Como lim x e - a - s x = (para s > a ), agora temos / e podemos usar L’Hospital. Derivando o numerador e o denominador, temos:

lim x x a - s e - a - s x = lim x 1 - a - s 2 e - a - s x = 0

Então, encontramos:

L t e a t s = 1 a - s 2

Resposta

1 a - s 2

Exercício Resolvido #2

Enunciado

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 179-25. MODIFICADO

Encontre a transformada de Laplace da função abaixo:

f t = 1 , 0 t < 1 0 , 1 t < 2 1 , 2 t < 3 0 , t 3                  

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Legal, vamos usar a definição:

L f t = 0 f ( t ) e - s t d t    

Se a gente separar os intervalos da integral, dá para substituir a expressão:

= 0 f ( t ) e - s t d t = 0 1 1 e - s t d t + 1 2 0 e - s t d t + 2 3 1 e - s t d t + 3 0 e - s t d t

Que vai ficar:

= 0 1 e - s t d t + 2 3 1 e - s t d t = - e - s t s 0 1 - e - s t s 2 3 = - e - s s + 1 s - e - 3 s s + e - 2 s s

Pronto, é só isso :D

Resposta

- e - s s + 1 s - e - 3 s s + e - 2 s s

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Elaboração própria.

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t + 3 t 3 - t 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Queremos>

L e 2 t + 3 t 3 - t 2 2 s = L e 2 t ( s ) + 3 L t 3 s - 1 2 L t 2 ( s )

Sabemos que:

L [ e a t ] = 1 s - a

Aplicando essa fórmula:

L e 2 t ( s ) = 1 s - 2

Passo 2

Temos:

L t n s = n ! s n + 1

Aplicando ao problema:

3 L t 3 s = 3 × 6 s 4 = 18 s 4

1 2 L t 2 s = 1 2 × 2 s 3 = 1 s 3

Passo 3

Substituindo esses valores, então:

L g t s = 1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3

Resposta

1 s - 2 + 18 s 4 - 1 s 3

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria.

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = 5 cos ( 2 t ) + s e n 3 t 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Queremos:

L 5 cos 2 t + s e n 3 t 4 ( s ) = 5 L cos 2 t ( s ) + 1 4 L s e n 3 t ( s )

Essa questão é basicamente aplicação de fórmulas. Sabemos que:

L c o s a t s = s s 2 + a 2

Logo:

5 L cos 2 t ( s ) = 5 × s s 2 + 4 = 5 s ( s 2 + 4 )

Passo 2

Temos também

L s e n a t s = a s 2 + a 2

Aplicando isso à nossa questão:

1 4 L s e n 3 t ( s ) = 1 4 × 3 s 2 + 9 = 3 4 ( s 2 + 9 )

Passo 3

Agora é só substituir os valores:

L g t s = 5 s ( s 2 + 4 ) + 3 4 ( s 2 + 9 )

Resposta

5 s ( s 2 + 4 ) + 3 4 ( s 2 + 9 )

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