Transformada de Função vezes Exponencial

Teoria Completa

Introdução

Imagina que queremos calcular a transformada de f t = t . e 3 t . De cara a gente podia pensar em fazer

L t × L e 3 t

Certo? NÃÃÃÃÃO!!!

Se usarmos a definição de transformada de Laplace:

L t e 3 t = ∫ 0 ∞ t e 3 t e - s t d t

A resolvermos a integral

Vamos obter que

L t e 3 t = 1 s - 3 2

Opa! Isso parece com algo que a gente já viu antes, lembra da transformada de t ?

L t = 1 s 2

Tá vendo que a transformada de t e 3 t se parece com a transformada de t ? A única diferença é que apareceu s - 3 em vez de apenas s . Nesse caso, nós dizemos que a transformada foi transladada ou deslocada 3 unidades. Isso vai acontecer pra qualquer constante a que estiver na exponencial. Tem um teorema aqui pra nós fixarmos:

Teorema do deslocamento

O que esse teorema nos diz é que devemos calcular a transformada de f ( t ) (normalmente pela tabela) e depois transladar em a unidades.

Fique atento que e + a t gera o argumento ( s - a ) , ou seja, o sinal é trocado em relação a exponencial!

Olha aqui um exemplo:

L e t sen ⁡ t = ?

L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

L e t sen ⁡ t = 1 s - 1 2 + 1

Viu o que rolou? O s foi deslocado em 1 unidade que é a constante que multiplica o t   na exponencial.

Aqui tem outro caso:

L e 2 t cos ⁡ t = ?

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

L e 2 t cos ⁡ t = s - 2 s - 2 2 + 1

Pronto! Agora você não precisa ficar sempre resolvendo a integral nesses casos. Agora, partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Calcule L g t ( s ) , onde

g t = e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Queremos

L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) - sen ⁡ ( 2 t ) s = L e 2 t sen ⁡ ( 3 t ) s - L e 2 t sen ⁡ ( 2 t ) ( s )

Vamos aplicar, nesse problema, a seguinte fórmula:

e c t f t s = L f t ( s - c )

Nesse caso, temos, para a primeira transformada, f t = sen ⁡ ( 3 t ) e, para segunda, f t = sen ⁡ ( 2 t ) .

Então, podemos escrever o seguinte:

L g t s = L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 - L sen ⁡ ( 2 t ) ( s - 2 )

Passo 2

Agora vamos calcular essas transformadas.

Sabemos o seguinte:

L sen ⁡ ( a t ) s = a s 2 + a 2

Logo,

L sen ⁡ ( 3 t ) s = 3 s 2 + 9

Mas não queremos a transformada em s , queremos em ( s - 2 ) , não é? Então, basta substituir s por ( s - 2 ) na equação;

L sen ⁡ ( 3 t ) s - 2 = 3 s - 2 2 + 9 = 3 s 2 - 4 s + 13

Certo, agora vamos fazer o mesmo para a outra transformada:

L sen ⁡ ( 2 t ) s = 2 s 2 + 4

Mudando s para ( s - 2 ) , temos:

L sen ⁡ ( 2 t ) s - 2 = 2 s - 2 2 + 4 = 2 s 2 - 4 s + 8

Passo 3

Agora basta juntar os valores que encontramos:

L g t s = 3 s 2 - 4 s + 13 - 2 s 2 - 4 s + 8

Resposta

3 s 2 - 4 s + 13 - 2 s 2 - 4 s + 8

Exercício Resolvido #2

UFF - Equações - Lista 5 - 1c

Calcule a transformada de Laplace da seguinte função de t

e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui vamos basicamente fazer aplicação de fórmulas,

Ele quer

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - L 3 t 2 e 3 t

Vamos fazer por partes

Passo 2

Começando com

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t

Lembre-se que

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Então

cos 2 ⁡ 3 t = 1 + cos ⁡ 6 t 2

A nossa transformada fica

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t = L e - 2 t 1 + cos ⁡ 6 t 2 = L e - 2 t 2 + L e - 2 t cos ⁡ 6 t 2

= 1 2 L e - 2 t + 1 2 L e - 2 t cos ⁡ 6 t

Lembrando que

L e a t = 1 s - a

E

L e a t cos ⁡ b t = s - a s - a 2 + b 2

Então

1 2 L e - 2 t + 1 2 L e - 2 t cos ⁡ 6 t = 1 2 1 s - - 2 + 1 2 s - - 2   s - - 2 2 + 6 2 = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36

Passo 3

Vamos ver agora

L 3 t 2 e 3 t

Lembrando que

L e c t f t = L f t s - c

Então temos

L 3 t 2 e 3 t = 3 L t 2 e 3 t = 3 L t 2 s - 3

Precisamos lembrar também que

L t n = n ! s n + 1

Então

L t 2 = 2 ! s 3 = 2 s 3

Assim vamos ter

L 3 t 2 e 3 t = 3 L t 2 s - 3 = 3 2 s - 3 3 = 6 s - 3 3

Passo 4

A transformada vai ser a subtração do que achamos no passo 3 com o que achamos no passo 2

L e - 2 t cos 2 ⁡ 3 t - 3 t 2 e 3 t = 1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

Resposta

1 2 s + 2 + s + 2 2 s + 2 2 + 36 - 6 s - 3 3

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