Representação de Funções via Função Degrau

Teoria Completa

Introdução

Imagina calcular a transformada de uma função que possui saltos (sai de um valor e vai para outro de repente)! Para isso, precisamos conhecer primeiro a função degrau unitário e como representar funções diversas que tem saltos em função desse tal de degrau. Vamos nessa?

Definição de Função Degrau

Essa é uma função que literalmente parece com um degrau: veja uma delas aqui:

É uma função, que graficamente podemos ver, que ela vale 0 até um certo ponto c ... E depois dele a função vale 1 sempre!

f t = 0 ,     p a r a       t < c 1 ,     p a r a       t ≥ c  

Como essa não é uma função qualquer e sim uma função muito importante, ela tem uma notação própria: é denotada por u c ( t ) ou por u t - c , ou seja:

u c t = 0 ,     p a r a       t < c 1 ,     p a r a       t ≥ c  

É muito importante que você entenda esse conceito! Por exemplo, a função u 2 ( t ) vale zero entre - ∞ ≤ t < 2 e vale 1 em 2 ≤ t < ∞ :

Nota: Se você quiser, pode escrever apenas u c em vez de u c ( t ) , mas não se esqueça de que se trata de uma função!

Escrevendo funções usando degrau

Viu? É bem simples. Podemos usar esse conceito para escrever diversas funções com saltos e que, antes, só podiam ser escritas com a chave como a própria definição de função degrau. Vamos ver!

Exemplo: Escreva a função y dada por:

y = 1 ;     0 ≤ t < 2 0 ;     2 ≤ t < ∞

Vamos desenhar essa função:

Veja que isso é o mesmo que você pegar o degrau começando em 0 e eliminar o degrau que começa a partir de x = 1 :

Pois assim, depois de x = 2 todo mundo vai zerar já que 1 - 1 = 0 :

Que é justamente o resultado que queremos ter! De uma forma matemática, quem é o degrau que começa em 0 ?

u 0 t

Certo? Agora quem é o degrau que começa depois de x = 2 :

u 2 t

Subtraindo os dois ganhamos a função y que queríamos sem precisar a notação em chaves:

y = 1 ;     0 ≤ t < 2 0 ;     2 ≤ t < ∞ =

u 0 t - u 2 t

Veja que, entre 0 e 2 , temos y = 1 - 0 = 1 e depois de t = 2 o u 2 t vale 1 ao invés de 0 ,logo temos y = 1 - 1 = 0 . Exatamente como o problema pediu!

OBS: Por vezes o u 0 t pode ser chamado simplesmente de u t . Então uma outra forma não muito complicada de se encontrar é assim:

y = u t - u t - 2

Exemplo: Escreva a função y dada por:

y = 0 ;         0 ≤ t < 1 2 ;       1 ≤ t < 2 0 ;       t ≥ 2                  

Vamos desenhar essas informações:

Veja que isso é o mesmo que:

Na esquerda, temos 2 u 1 ( t ) e na direita 2 u 2 ( t ) (multiplicamos por 2 porque as funções valem 2 , não 1 , como na definição de u c ( t ) ). Podemos escrever então;

y = 2 u 1 t - u 2 t

Dica: sempre que você tiver que escrever uma função em termos de u c ( t ) , faça o seu desenho! Se não conseguir visualizar as somas se subtrações, tente separar em dois ou mais gráficos.

Legal! Vamos ver como fica isso tudo agora nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-45. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

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Passo 1

Olha só o gráfico. É como se pegássemos f ( t ) e simplesmente cortássemos no ponto t = a e removêssemos tudo antes.

Uma função degrau centrada em x = a é zero à esquerda do ponto e 1 à direita. Então é só multiplicar f ( t ) por esta função.

f t μ a ( t )

Ou:

f t μ 0 ( t - a )

Resposta

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-49. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Agora temos o contrário aqui. A função é f ( t ) até t = a e zero depois. Não precisa aplicar inverso do degrau ou algo do tipo. É só a função por ela multiplicada pelo degrau em t = a :

f t - f t μ a ( t )

O termo a esquerda só é igual a f t para t < a e é zero para t > a então garantimos que a o gráfico será igual a:

f t , t < a 0 ,           t ≥ a

Resposta

Exercício Resolvido #3

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-46. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

-

Agora os gráficos só são iguais no intervalo [ a , b ] . Como fazemos? Vamos por partes. A função é zero para t < a . Então:

0 ,   t < a

É só colocar um degrau em t = a que a gente garante isso:

f t μ a ( t )

Por enquanto é isso. Mas ela volta a ser zero para t > b . 0 ,   t > b

Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em t = b , garantimos essa condição:

f t μ a t - f t μ b ( t )

Que garante:

0 , t < a f t , a ≤ t < b 0 , t ≥ b

Resposta

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Escreva função abaixo usando degrau unitário:

f t = 0 , t < 1 1 , 1 ≤ t < 3 2 , t ≥ 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Está bem, A função é zero antes de t = 1 e passa a ser 1 depois, então temos um degrau unitário nesse ponto:

f t → u ( t - 1 )

Passo 2

Só que, no ponto t = 3 , a função vale dois. Então, em cima do 1 que ela já tem, soma-se mais 1 a partir desse ponto t = 3 .

Como é a partir do ponto t = 3 , temos um degrau centrado nesse ponto. Então:

f t = u t - 1 + u ( t - 3 )

Não há mais nenhum ponto a considerar, então essa é a resposta final.

Resposta

f t = u t - 1 + u ( t - 3 )

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Escreva função abaixo usando degrau unitário:

f t = 1 , t < 1 0 , 1 ≤ t < 2 5 , t ≥ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Está bem, A função vale 1 antes de t = 1 e passa a ser 0 depois. Não temos um degrau aqui, pois um degrau seria zero e depois 1 e temos aqui justamente o contrário.

Como viver então? Muito bem. É só considerarmos uma função constante 1.

f t → 1

E que foi subtraída por um degrau centrado no ponto t = 1 . Pois com isso a função zera:

f t → 1 - u ( t - 1 )

Passo 2

Depois, no ponto t = 2 , a função passa a valer 5 , então tem um degrau multiplicado por 5 centrado em t = 2 :

f t = 1 - u t - 1 + 5 u ( t - 2 )

Não tem mais nada para analisar, então essa é a resposta da questão. O segredo é ir analisando termo a termo na função chaveada.

Resposta

f t = 1 - u t - 1 + 5 u ( t - 2 )

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