Teoria

A função degrau unitário, também é conhecida como Função de Heaviside e ela é muito importante pra modelar fenômenos descontínuos! Ela tem essa carinha aqui 👇👇👇

Função Degrau
Função Degrau

Imagina calcular a transformada de uma função que possui saltos?! Por isso a gente precisa entender bem o que é a função degrau e como representa-la! Bora lá?

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O que é uma Função Degrau?

A função degrau tem esse nome porque ela parece um degrau de uma escadinha mesmo! Podemos escrever a função acima da seguinte forma:

Ou seja, quando é menor que , então é igual a zero, mas quando chegamos em a nossa função dá um salto, formando o degrau!

Função Degrau
Função Degrau

Como essa não é uma função qualquer e sim uma função muito importante, ela tem uma notação própria: é denotada por , então fica assim

O que estamos dizendo ai em cima é que a função vale zero entre $-∞≤t

No gráfico podemos representar isso da seguinte forma:

Função de Heaviside: Exemplo
Função de Heaviside: Exemplo

Quer saber mais sobre a representação de funções degrau? Então se liga nesse vídeo 👇👇👇

Como Escrever uma Função usando Degrau

Pra a gente aprender como escrever uma função usando degrau, vamos fazer um exemplo! Se liga na função abaixo:

A primeira coisa que vamos fazer é um rascunho do gráfico:

Função Degrau Unitário: Exemplo
Função Degrau Unitário: Exemplo

Podemos enxergar essa função de cima como sendo a subtração de duas funções. Na primeira teríamos , com o degrau começando em ? Então ela poderia ser escrita como :

Função Degrau: u_0(t)
Função Degrau: u_0(t)

Lembra que a função que a gente quer escrever é zero a partir de . Então a nossa segunda função da subtração será uma função degrau que comece em , ou seja, poderíamos escrever :

Função Degrau: u_2(t)
Função Degrau: u_2(t)

Agora vamos subtrair uma da outra:

Graficamente temos:

Função de Heaviside obtida por subtração
Função de Heaviside obtida por subtração

É chegamos na nossa função degrau! Agora vamos praticar com exercícios?

Como Escrever uma Função usando Degrau

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

Passo 1

Primeiro vamos lembrar como é uma função degrau,

E pode ser representada dessa forma: u a t . Isso significa que a nossa função é zero até o ponto a e depois ela assume valor igual a 1 .

No nosso problema, nós temos que a função que é zero até o ponto a e depois ela assume a cara de uma f t . Deste modo, para descrever a nossa função, podemos multiplicar a nossa função degrau a nossa f t .

f t u a ( t )

Outra forma de representar u a t é u ( t - a ) . Deste modo, escreveríamos a nossa função assim,

f t u 0 ( t - a )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

Passo 1

Agora temos o contrário aqui. A função é f ( t ) até t = a e zero depois. Não precisa aplicar inverso do degrau ou algo do tipo. É só a função por ela multiplicada pelo degrau em t = a :

f t - f t μ a ( t )

O termo a esquerda só é igual a f t para t < a e é zero para t > a então garantimos que a o gráfico será igual a:

f t , t < a 0 ,           t ≥ a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

Passo 1

-

Agora os gráficos só são iguais no intervalo [ a , b ] . Como fazemos? Vamos por partes. A função é zero para t < a . Então:

0 ,   t < a

É só colocar um degrau em t = a que a gente garante isso:

f t μ a ( t )

Por enquanto é isso. Mas ela volta a ser zero para t > b . 0 ,   t > b

Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em t = b , garantimos essa condição:

f t μ a t - f t μ b ( t )

Que garante:

0 , t < a f t , a ≤ t < b 0 , t ≥ b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Escreva função abaixo usando degrau unitário:

f t = 0 , t < 1 1 , 1 ≤ t < 3 2 , t ≥ 3

Passo 1

Está bem, A função é zero antes de t = 1 e passa a ser 1 depois, então temos um degrau unitário nesse ponto:

f t → u ( t - 1 )

Passo 2

Só que, no ponto t = 3 , a função vale dois. Então, em cima do 1 que ela já tem, soma-se mais 1 a partir desse ponto t = 3 .

Como é a partir do ponto t = 3 , temos um degrau centrado nesse ponto. Então:

f t = u t - 1 + u ( t - 3 )

Não há mais nenhum ponto a considerar, então essa é a resposta final.

Resposta

f t = u t - 1 + u ( t - 3 )

Exercício Resolvido #5

Escreva função abaixo usando degrau unitário:

f t = 1 , t < 1 0 , 1 ≤ t < 2 5 , t ≥ 2

Passo 1

Está bem, A função vale 1 antes de t = 1 e passa a ser 0 depois. Não temos um degrau aqui, pois um degrau seria zero e depois 1 e temos aqui justamente o contrário.

Como viver então? Muito bem. É só considerarmos uma função constante 1.

f t → 1

E que foi subtraída por um degrau centrado no ponto t = 1 . Pois com isso a função zera:

f t → 1 - u ( t - 1 )

Passo 2

Depois, no ponto t = 2 , a função passa a valer 5 , então tem um degrau multiplicado por 5 centrado em t = 2 :

f t = 1 - u t - 1 + 5 u ( t - 2 )

Não tem mais nada para analisar, então essa é a resposta da questão. O segredo é ir analisando termo a termo na função chaveada.

Resposta

f t = 1 - u t - 1 + 5 u ( t - 2 )