Representação de Funções via Função Degrau

Teoria Completa

Introdução

Imagina calcular a transformada de uma função que possui saltos (sai de um valor e vai para outro de repente)! Para isso, precisamos conhecer primeiro a função degrau unitário. Neste tópico a gente vai aprender como representar funções diversas que tem saltos em função desse tal de degrau. Vamos nessa?

Definição de Função Degrau

Essa se chama assim porque ela literalmente parece com um degrau! Cada linha vermelha no gráfico seria um degrau

É uma função, que graficamente podemos ver, que ela vale 0 até um certo ponto c ... E depois dele a função vale 1 sempre! A gente pode escrever ela assim,

f t = 0 ,     p a r a       t < c 1 ,     p a r a       t ≥ c  

Como essa não é uma função qualquer e sim uma função muito importante, ela tem uma notação própria: é denotada por u c ( t ) , então fica assim

u c t = 0 ,     p a r a       t < c 1 ,     p a r a       t ≥ c  

É muito importante que você entenda esse conceito! Por exemplo, a função u 2 ( t ) vale zero entre - ∞ ≤ t < 2 e vale 1 em 2 ≤ t < ∞ . É só trocar o c pelo 2 no gráfico,

Agora se eu tenho uma função assim,

Repara que ela é igualzinha, só que o degrau em y = 2 . Então é só eu multiplicar u 2 ( t ) por 2. Ou seja, essa função é:

2 u 2 ( t )

Nota: Se você quiser, pode escrever apenas u c em vez de u c ( t ) , mas não se esqueça de que se trata de uma função! Ela também pode ter essa notação u ( t - c )

Escrevendo funções usando degrau

Viu? É bem simples. Podemos usar esse conceito para escrever diversas funções com saltos e que, antes, só podiam ser escritas com a chave como a própria definição de função degrau. Vamos ver!

Exemplo: Escreva a função y dada por:

y = 1 ;     0 ≤ t < 2 0 ;     2 ≤ t < ∞

Vamos desenhar essa função:

E como escreveria essa função usando a notação da equação degrau?

A gente pode enxergar essa função de cima como sendo a subtração de duas funções.

A primeira teríamos y = 1 , com o degrau começando em 0 ? Então ela poderia ser escrita como   u 0 t

Lembra que a função que a gente quer escrever é zero a partir de t = 2 . Então a nossa segunda função da subtração será uma função degrau que comece em t = 2 , ou seja, poderíamos escrever assim u 2 t

Pronto, agora vamos subtrair uma da outra, ou seja, fazer

u 0 t - u 2 t

Pois assim, depois de t = 2 todo mundo vai zerar já que 1 - 1 = 0 :

Então a gente já sabe que essa função é,

u 0 t - u 2 t

Agora, se liga: Por vezes o u 0 t pode ser chamado simplesmente de u t . Então uma outra forma não muito complicada de se encontrar é assim:

y = u t - u t - 2

Vamos complicar mais um pouquinho! Escreva a função y dada por:

y = 0 ;         0 ≤ t < 1 2 ;       1 ≤ t < 2 0 ;       t ≥ 2                  

Vamos desenhar essas informações:

Opa! Parece que complicou, né? Porque essa função aumenta de degrau, mas depois desce de novo. Então, mas olha com calma e pensa nessa subtração aqui,

Na esquerda, temos 2 u 1 ( t ) , esse 2 multiplicando na frente é pra indicar que o degrau tá em y = 2 . Na direita 2 u 2 ( t ) , note que aqui também multiplicamos por 2. Podemos escrever então;

y = 2 u 1 t - u 2 t

Repara que ficou certinho:

De zero até 1, teremos: 0   –   0   =   0

De 1 até 2, teremos: 2   –   0   =   2

E de 2 em diante, teremos: 2   –   2   =   0

Dica: sempre que você tiver que escrever uma função em termos de u c ( t ) , faça o seu desenho! Se não conseguir visualizar as somas se subtrações, tente separar em dois ou mais gráficos.

Legal! Vamos ver como fica isso tudo agora nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-45. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro vamos lembrar como é uma função degrau,

E pode ser representada dessa forma: u a t . Isso significa que a nossa função é zero até o ponto a e depois ela assume valor igual a 1 .

No nosso problema, nós temos que a função que é zero até o ponto a e depois ela assume a cara de uma f t . Deste modo, para descrever a nossa função, podemos multiplicar a nossa função degrau a nossa f t .

f t u a ( t )

Outra forma de representar u a t é u ( t - a ) . Deste modo, escreveríamos a nossa função assim,

f t u 0 ( t - a )

Resposta

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-49. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Agora temos o contrário aqui. A função é f ( t ) até t = a e zero depois. Não precisa aplicar inverso do degrau ou algo do tipo. É só a função por ela multiplicada pelo degrau em t = a :

f t - f t μ a ( t )

O termo a esquerda só é igual a f t para t < a e é zero para t > a então garantimos que a o gráfico será igual a:

f t , t < a 0 ,           t ≥ a

Resposta

Exercício Resolvido #3

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 383-46. MODIFICADO

Se f ( t ) tem o seguinte gráfico:

Então qual a expressão da função a seguir?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

-

Agora os gráficos só são iguais no intervalo [ a , b ] . Como fazemos? Vamos por partes. A função é zero para t < a . Então:

0 ,   t < a

É só colocar um degrau em t = a que a gente garante isso:

f t μ a ( t )

Por enquanto é isso. Mas ela volta a ser zero para t > b . 0 ,   t > b

Se subtrairmos a função por ela mesma com um degrau que começa em t = b , garantimos essa condição:

f t μ a t - f t μ b ( t )

Que garante:

0 , t < a f t , a ≤ t < b 0 , t ≥ b

Resposta

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Escreva função abaixo usando degrau unitário:

f t = 0 , t < 1 1 , 1 ≤ t < 3 2 , t ≥ 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Está bem, A função é zero antes de t = 1 e passa a ser 1 depois, então temos um degrau unitário nesse ponto:

f t → u ( t - 1 )

Passo 2

Só que, no ponto t = 3 , a função vale dois. Então, em cima do 1 que ela já tem, soma-se mais 1 a partir desse ponto t = 3 .

Como é a partir do ponto t = 3 , temos um degrau centrado nesse ponto. Então:

f t = u t - 1 + u ( t - 3 )

Não há mais nenhum ponto a considerar, então essa é a resposta final.

Resposta

f t = u t - 1 + u ( t - 3 )

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Escreva função abaixo usando degrau unitário:

f t = 1 , t < 1 0 , 1 ≤ t < 2 5 , t ≥ 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Está bem, A função vale 1 antes de t = 1 e passa a ser 0 depois. Não temos um degrau aqui, pois um degrau seria zero e depois 1 e temos aqui justamente o contrário.

Como viver então? Muito bem. É só considerarmos uma função constante 1.

f t → 1

E que foi subtraída por um degrau centrado no ponto t = 1 . Pois com isso a função zera:

f t → 1 - u ( t - 1 )

Passo 2

Depois, no ponto t = 2 , a função passa a valer 5 , então tem um degrau multiplicado por 5 centrado em t = 2 :

f t = 1 - u t - 1 + 5 u ( t - 2 )

Não tem mais nada para analisar, então essa é a resposta da questão. O segredo é ir analisando termo a termo na função chaveada.

Resposta

f t = 1 - u t - 1 + 5 u ( t - 2 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas