Transformada de Laplace da Função Degrau

Teoria Completa

Introdução

Vamos ver agora qual é a Transformada de Laplace da Função degrau, se lembra dela? Para você que disse não, aqui vai um resumo:

A função degrau é uma função que antes de certo valor x = c ela vale 0 , e depois desse c ela dá um salto pra cima virando 1 :

Ela se chama função degrau justamente por ter o formato de um, saca? Denotamos assim a função degrau:

u c t = 0 , t < c 1 , t ≥ c

Lembre-se, c é um número qualquer como 1 ,   2 ,   3 etc.:

u 1 t = 0 , t < 1 1 , t ≥ 1 u 2 t = 0 , t < 2 1 , t ≥ 2 u 3 t = 0 , t < 3 1 , t ≥ 3

O importante é você saber que ela terá um formato de um degrau em x = 1 ,   2 e 3 respectivamente !

Transformada de Laplace da Função Degrau

Agora, como calcular a transformada de um degrau unitário? Lembra que tínhamos aquela tabelinha esperta? Está na hora de acrescentar mais uma linha nela! Anota mais essa aqui

L u c t = e - s c s

Já podemos calcular algumas outras transformadas com degrau usando as propriedades de linearidade, olhe só:

Exemplo: Vamos calcular a Transformada de Laplace da função abaixo y = 2 u 1 t - u 2 t

L y = 2 L u 1 t - u 2 t =

= 2 L u 1 t - L u 2 t =

= 2 e - s s - e - 2 s s

Viu? Bem simples. Agora vamos complicar um pouco as coisas.

Transformada de Laplace de uma função multiplicada por um degrau unitário

Já vimos como fazemos a transformada da função degrau, consequentemente, sabemos a transformada de seus múltiplos como a do exemplo passado.

Mas, e como calcular a transformada de

g t = u 0 t sen ⁡ t

Não é tão imediato quanto antes. Poderíamos fazer via definição, mas isso levaria a muitas contas. Então vou te dar A dica! Coloca na porta do teu guarda-roupa!

L u c t f t - c = e - c s L { f t }

Então, no exemplo:

L u 0 t sen ⁡ t =

Devemos escrever f t = sen ⁡ t como sendo f t - c = sen ⁡ ( t - c ) ... No nosso caso c = 0 , então podemos afirmar que sen ⁡ t = sen ⁡ t - 0 :

L u 0 t sen ⁡ t - 0 = e - 0 . s L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

Essa fórmula é conhecida por segundo o teorema do deslocamento Já que temos que ter a função f t deslocada em c unidades: f t - c . Mas isso é só uma curiosidade, vamos mesmo é entender o passo a passo de como se calcula:

  • A gente tem que ter um degrau num ponto c e uma função deslocada de c unidades (é escrever f ( t - c ) ). Tem que ser o mesmo c !
  • Achar a f ( t )
  • Transformar f ( t )
  • Multiplicar a transformada por e - c s

Vamos ver mais um exemplo para entender isso tudo melhor!

Exemplo: Calcule a Transformada de Laplace da função y dada por

y = 0 ;       t < 2 t - 2 2 ;       t ≥ 2    

Passo 1: Vamos desenhar essa função:

Vamos pensar: nós temos uma função que vale zero até t = 2 e, depois disso, vale t - 2 2 . Temos, então, uma função degrau que começa em t = 2 multiplicada por t - 2 2 , ou seja:

y t = u 2 t t - 2 2

Isso quer dizer que, antes de t = 2 , temos 0 × t - 2 2 = 0 . Depois de t = 2 , temos 1 × t - 2 2 = t - 2 2 , exatamente o que o problema pediu, não é? Beleza, precisamos agora calcular a transformada dessa função.

Passo 2: Encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) .

Vamos explicar. Queremos:

L y = L u 2 t - 2 2

Temos a seguinte fórmula:

L u c f t - c = e - c s L f t

Ou seja, sabemos calcular a transformada de f ( t - c ) multiplicada por u c ( t ) , então t - 2 2 tem que ser f ( t - c ) , olha só:

L { u 2 t - 2 2 ⏟ f t - 2 } = e - 2 s L f t

Mas como achar f t ? Comparando a expressão do teorema com a que a gente achou, vamos ter:

f t - 2 = t - 2 2

Para f ( t - 2 ) se tornar f ( t ) ? Basta eliminar o - 2 daí:

f t = t 2

Passo 3: Calcular L f t

Lá da nossa tabelinha, sabemos que

L t 2 = 2 s 3

Substituindo esse valor, temos:

L u 2 t - 2 2 = e - 2 s L f t         →

L u 2 t - 2 2 = e - 2 s 2 s 3

Lembre também que o sinal aparecerá trocado. A presença do unitário u + 2 t leva presença de uma exponencial e - 2 s multiplicando a transformada L f t ( s ) .

VOCÊ: “Mas e se a função f não estiver deslocada para ( t - c ) ?”

Ela tem que ser função de ( t - c ) para você aplicar essa fórmula! Então, você terá que manipular a função para fazer aparecer esse t - c . Calma que vamos ver isso melhor nos exercícios, então corre lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 178, exercício 9

Encontre a transformada de Laplace da função dada.

f t = 0 ,                                                 t < π t - π ,             π ≤ t < 2 π 0 ,                                             t ≥ 2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Precisamos escrever y ( t ) em função de u c t , para podermos calcular a transformada.

Vamos primeiro desenhar essa função:

Repare que isso é o mesmo que:

A função da figura da esquerda vale zero até t = π e depois tem valor igual à equação da reta, ( t - π ) , então, podemos escrevê-la como u π t [ t - π ] .

A função da direita vale zero até t = 2 π e depois vale ( t - π ) . Então, podemos escrevê-la como u 2 π t [ t - π ] .

Como a função do problema é a diferença entre essas duas, temos:

y t = u π t t - π - u 2 π t [ t - π ]

Precisamos calcular a transformada disso aí agora. Como temos dois u c ’s diferentes, vamos calcular cada transformada separadamente.

L y t s = L u π t - π s - L u 2 π t - π s

Passo 2

  1. Para L u π t - π s
  2. Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

    L [ u π t - π ⏟ f t - π ] ( s ) = e - π s L [ f t ] ( s )

    Sabemos que

    f t - π = t - π

    Para f ( t - π ) se tornar f ( t ) , temos que substituir t por ( t + π ) , não é? Então vamos somar π onde tem t , olha só:

    f t = t + π - π = t

    Pronto, descobrimos f ( t ) , agora basta substituir na fórmula:

    L u π t - π s = e - π s L t ( s )

  3. Para L u 2 π t - π s

Precisamos encontrar f ( t ) a partir de f ( t - c ) . Temos a seguinte fórmula:

L [ u 2 π t - π ⏟ f t - 2 π ] ( s ) = e - 2 π s L [ f t ] ( s )