Transformada de Função Multiplicada por t^n

Teoria Completa

A gente viu lá atrás que a transformada de t n sendo n um número inteiro positivo qualquer é:

L t n = n ! s n + 1

Mas e quando t está multiplicando uma função f ( t ) qualquer? Tipo:

L t n cos ⁡ t = ? ?

Transformada de t n f ( t )

Se a gente aplicar a definição de transformada e ficar aqui um tempinho fazendo a demonstração, vamos ver que a ideia pra fazer essas transformada é:

L t f t = - 1 1 d F s d s

L t 2 f t = - 1 2 d 2 F ( s ) d s 2

Onde F s = L f t .

Repara que o expoente do t é o mesmo expoente desse ( - 1 ) que a gente vai multiplicar e também é a ordem da derivada que a gente vai usar. Então olha aqui a regrinha geral:

L t n f t = - 1 n d n d s n F s

Então vamos lá! Se a gente quiser calcular a transformada de Laplace de t 3 sen ⁡ ( t ) , primeiro a gente calcula a transformada do segundo fator:

L sen ⁡ t = 1 s 2 + 1

E usa nossa fórmulinha:

L t 3 sen ⁡ t = - 1 3 d 3 d s 3 1 s 2 + 1 = - d 3 d s 3 1 s 2 + 1

É tem que derivar ali 3 vezes. Deixa eu te contar um segredo:

d 3 d s 3 1 s 2 + 1 = - 24   s   s 2 - 1 1   +   s 2 4

Então vai ficar:

L t 3 sen ⁡ t = 24   s   s 2 - 1 1   +   s 2 4

Simples assim. Agora, partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP – Cálculo 3 – P2 2010 - 1a

Calcule a transformada de Laplace da função:

f t = 1 - cos ⁡ t - 1 2   t sen ⁡ t

Dica: L - t   f t = d d s L { f }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Queremos calcular:

L f t = L { 1 - cos ⁡ t - 1 2   t sen ⁡ t }

Como a transformada é linear:

L f t = L 1 - L cos ⁡ t - 1 2 L { t sen ⁡ ( t ) }

Vamos calcular as transformadas uma a uma.

Passo 2

Pelas transformadas tradicionais:

L 1 = 1 s

Passo 3

L cos ⁡ t = s s 2 + 1

Passo 4

E essa?

L t sen ⁡ t =   ? ?

Temos que usar o que gente aprendeu nessa teoria. A transformada de

L t f t = - 1 1 d d s F s

Assim, para:

L t sen ⁡ t

Temos:

L t sen ⁡ t = - d d s L sen ⁡ t = - d d s ⋅ 1 s 2 + 1 = 2 s ( 1 + s 2 ) 2

Lembre-se que é a derivada da transformada, não a transformada da derivada. Não vai derivar o seno e calcular a transformada do cosseno. Primeiro a gente transforma o seno e então deriva!

Passo 5

Lembrando que

L f t = L 1 - L cos ⁡ t - 1 2 L t sen ⁡ t

Juntando tudo então:

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - 1 2 2 s 1 + s 2 2

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - s ( 1 + s 2 ) 2

Resposta

L f t = 1 s - s s 2 + 1 - s ( 1 + s 2 ) 2

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 393-13.

Calcule:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Queremos calcular:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ

Gezuis, eu não sei como calcular transformada de integral? Como viver? Calma jovem, você não precisa calcular transformada de integral nenhuma. Essa integral é bem calculável.

Passo 2

Olhe só:

∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = - cos ⁡ τ | 0 t = 1 - c o s ⁡ ( t )  

Então vai ficar, já que a transformada é linear:

L t ( 1 - c o s ⁡ ( t )   ) = L t - L { t cos ⁡ ( t ) }

Passo 3

Então, vamos calcular uma a uma. Pelas transformadas tradicionais:

L t = 1 s 2

Passo 4

Agora, para:

L t cos ⁡ t =   ? ?

Temos que lembrar que:

L t n f t = - 1 n d n d s n L { f ( t ) }

Para a nossa transformada queremos:

L t cos ⁡ t = - d d s L cos ⁡ t = - d d s ⋅ s s 2 + 1 = - 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

Então, juntando tudo:

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = 1 s 2 + 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

Resposta

L t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = 1 s 2 + 1 - s 2 ( 1 + s 2 ) 2

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