Exercícios Resolvidos de Casos especiais - Lugar geométrico das raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes para um sistema com realimentação unitária positiva e a seguinte função de transferência em malha aberta:

G s = K s s + 1

Passo 1

Trata-se de um sistema com realimentação positiva, isso quer dizer que todas as regras que usamos até aqui são válidas com exceção de duas: o lugar das raízes existe no eixo dos reais se à sua esquerda existir uma quantidade par de polos e zeros, e a soma de todos os ângulos em qualquer ponto do lugar das raízes é um múltiplo par de 180 º .

Vamos começar, como sempre, representando os nossos polos e zeros no diagrama. Ness exercício temos dois polos: 0 e - 1 .

Passo 2

Nesse caso, temos dois polos a mais que zeros, o que significa que vamos ter dois zeros no infinito, e que precisaremos de duas assíntotas para nos mostrar onde esses zeros no infinito se encontram. Como é um sistema de realimentação positiva, a fórmula do ângulo da assíntota é um pouquinho diferente:

θ a = ± 180 2 r n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s

θ a = ± 180 2 r 2 - 0 = 90 2 r

Repare que se r = 0 , o ângulo é igual a 0 º , se r = 1 , o ângulo será 180 º , e se r continuar aumentando, esses dois ângulos vão se repetir.

Sendo assim, teremos duas assíntotas sobre o eixo dos reais, cada uma apontando para uma direção.

Como as assíntotas estão sobre o eixo dos reais, não faz sentido calcular o ponto de interseção delas com essse eixo, concorda?

Passo 3

Agora, já temos tudo que precisamos e podemos fazer nosso esboço, olha só:

Como é um sistema de realimentação positiva, o lugar das raízes só existe se a sua esquerda houver um número par de polos e zeros. Por isso, não existe lugar das raízes entre os dois polos, uma vez que nesse intervalo só existe um polo à esquerda.

Como as assíntota indicam 0 º e 180 º , um dos ramos tede a + ∞ sobre o eixo dos reais e o outro ramo tende a - ∞ , também sobre o eixo dos reais.

Repare também que esse sistema é instável independente do valor de K , já que não existe nenhum valor de K que deixe as duas raízes negativas.

Resposta