Exercícios Resolvidos de Casos especiais - Lugar geométrico das raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes para um sistema com realimentação unitária positiva e a seguinte função de transferência em malha aberta:

G s = K ( s + 3 ) s s + 1 ( s + 2 ) ( s + 4 )

Passo 1

Trata-se de um sistema com realimentação positiva. Isso quer dizer que todas as regras que usamos até aqui são válidas com exceção de duas: o lugar das raízes existe no eixo dos reais se à sua esquerda existir uma quantidade par de polos e zeros, e a soma de todos os ângulos em qualquer ponto do lugar das raízes é um múltiplo par de 180 º .

Vamos começar, como sempre, representando os nossos polos e zeros no diagrama. Nesse exercício temos dois polos: 0 e - 1 .

Passo 2

Nesse caso, temos três polos a mais que zeros, o que significa que vamos ter três zeros no infinito, e que precisaremos de duas assíntotas para nos mostrar onde esses zeros no infinito se encontram. Como é um sistema de realimentação positiva, a fórmula do ângulo da assíntota é um pouquinho diferente:

θ a = ± 180 2 r n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s

θ a = ± 180 2 r 4 - 1 = 60 2 r

Repare que se r = 0 , o ângulo é igual a 0 º , se r = 1 , o ângulo será 120 º , se r = 2 , o ângulo será 240 º e se r continuar aumentando, esses ângulos vão se repetir.

Sendo assim, teremos duas assíntotas sobre o eixo dos reais, cada uma apontando para uma direção.

Agora, vamos calular onde essas assíntotas interceptam o eixo dos reais para podermos representa-las:

σ a = ∑ p o l o   f i n i t o s - ∑ z e r o s   f i n i t o s n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s

σ a = 0 - 1 - 2 - 4 - - 3 4 - 1 = - 4 3

Vamos representar as assíntoas agora:

Uma assíntota tem inclinação 120 º , outra 240 º , e uma terceira tem inclinação 0 º e está sobre o eixo dos reais. Além disso essas assíntotas interceptam o eixo dos reais em - 4 3 .

Passo 3

Agora, já temos tudo que precisamos e podemos fazer nosso esboço, olha só:

Como é um sistema de realimentação positiva, o lugar das raízes só existe se à sua direita houver um número par de polos e zeros. Além disso todas as outras regras foram satisfeitas: o número de ramos é igual ao número de polos, cada ramo nasce em um polo e morre em um zero e a simetria em relação ao eixo dos reais foi respeitada.

Nesse problema, a gente tinha três polos a mais que zero, e por isso três ramos tenderam aos zeros no infinito que são determinados pelas assíntotas.

Resposta