Exercícios Resolvidos de Casos especiais - Lugar geométrico das raízes

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Enunciado

Esboce o lugar geométrico das raízes para um sistema com realimentação unitária e a seguinte função de transferência em malha aberta:

G s = K s 2 + 1 s - 1 s + 2 s + 3

Passo 1

Primeiramente, vamos marcar no nosso diagrama todos os zeros e polos:

Passo 2

Temos um polo a mais que zero, o que significa que precisamos calcular uma assíntota que indique onde se encontra o zero no infinito.

θ a = ± 180 2 r + 1 n º   d e   p o l o s   f i n i t o s - n º   d e   z e r o s   f i n i t o s

θ a = ± 180 2 r + 1 3 - 2 = 180 2 r + 1

Termos então uma assíntota com ângulo de 180 º que se encontrará sobre o eixo dos reais. Sendo assim, não precisamos calcular o ponto de interseção dessa assíntota sobre o eixo.

Passo 3

Vamos agora calcular o ponto em que o lugar das raízes deixa o eixo dos reais. Para isso precisamos maximizar K na expressão:

1 + G s = 0

1 + K s 2 + 1 s - 1 s + 2 s + 3 = 0

K = - s - 1 s + 2 s + 3 s 2 + 1

Substituindo s por σ , e derivando em relação a σ :

d K d σ = σ 4 + 2 σ 2 + 20 σ + 1 σ 2 + 1 = 0

Existem dois valores para σ que satisfazem a igualdade: - 0,05 e - 2,49 , entretanto, não pode existir lugar das raízes em - 2,49 pois à esquerda desse ponto existem dois polos, e a condição para que exista lugar das raízes sobre o eixo real é que à esquerda deve existir sempre um número ímpar de zeros e polos.

Portanto, o lugar das raízes sairá do eixo dos reais em - 0,05 e para fins de esboço e práticos, vamos aproximar esse valor para 0 .

Passo 4

Agora devemos encontrar o ângulo com que os ramos saem dos polos, para isso precisamos fazer a soma de todos os ângulos, o resultado deve ser um múltiplo ímpar de 180 º .

θ 1 = 90 º

θ 2 = 180 º - t g - 1 1 = 135 º

θ 3 = t g - 1 1 2 = 26,56 º

θ 4 = t g - 1 1 3 = 18,43

Para achar θ 5 basta somar tudo e encontrar um ângulo cuja a soma seja um múltiplo ímpra de 180 º . Lembre-se sempre que os polos contribuem positivamente e os zeros negativamente:

- θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 - θ 5 = 180 º ( 2 r + 1 )

θ 5 ≅ - 90 º = 270 º

Passo 5

Agora já podemos fazer nosso esboço:

Os ramos que saem dos polos 1 e - 2 saem do eixo dos reais em - 0,05 e morrem nos dois zeros finitos fazendo um ângulo de - 90 º e + 90 º .

Além disso, o ramo que nasce no em - 3 tende a infinito conforme a assíntota que calaculamos.

Resposta