Exercícios Resolvidos de Ciclones

Massarani, G. ( 2002 ). Fluidodinâmica em Sistemas Particulados, 2 a   e d .

Deseja-se estudar o desempenho de uma bateria constituída por 2 ciclones Lapple em série com respectivamente 63,6   c m e 45   c m de diâmetro no tratamento de 27,7   m 3 / m i n de gás contendo 3 % em volume de sólido.

  • Propriedades do gás: ρ = 1,1 * 10 - 3   g / c m 3 e μ = 1,7 * 10 - 2   c P
  • Propriedades das partículas sólidas: ρ S = 2,5   g / c m 3 e distribuição granulométrica dada por:

y = 1 - exp ⁡ - d 17,3 1,5     c o m   d   e m   μ m

Pede-se:

  1. A eficiência global de coleta do sistema
  2. A potência do soprador para o serviço

Passo 1

Nessa questão, temos dois ciclones em série.

Tem uma vazão de gás “sujo”, a ser tratado, que passa pelo primeiro ciclone; um certo nível de separação ocorre e a vazão que sai desse primeiro ciclone vai, já mais “limpa”, para um segundo ciclone.

Sabemos que a vazão de alimentação é de 27,7   m 3 / m i n . Como vou trabalhar no CGS, vou converter logo:

Q = 27,7 m 3 m i n * 10 3   c m 3 1   m 3 * 1   m i n 60   s = 4,6 * 10 5 c m 3 s  

Essa vazão vai ser fixa nos dois ciclones, já que não há razão de fluido, isto é, as partículas saem puras, sem levar junto o fluido. Daí todo o fluido que sai de um ciclone vai para o outro. E, antes que você pergunte, eu sei que essa vazão não vai ser exatamente igual porque ela é a vazão de suspensão e a suspensão inclui partículas, que estão sendo parcialmente separadas. Mas repara que a concentração delas é baixa e não vai influenciar quase nada; é uma excelente aproximação dizer que é constante.

Agora, embora a vazão seja constante, o ∆ P vai ser diferente em cada ciclone; esses ciclones são da mesma família e, para uma mesma família, E u é constante; acontece que o D C é diferente pra cada um deles e, por isso, a queda de pressão muda. Pra você visualizar melhor:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2

Pra finalizar essa introdução à questão, algo muitoooo importante: repara que ele dá a concentração volumétrica de partículas, que é C v = 3 % . Embora essa concentração não seja tão importante no que diz respeito à vazão, vamos ter que considerar correção da velocidade terminal porque C v > 1 % .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular a eficiência granulométrica global de equipamentos em série, temos que usar:

G s é r i e = G 1 + 1 - G 1 * G 2

Em que G 1 é o G do equipamento 1 e G 2 é o G do equipamento 2 . Fisicamente, essa fórmula está nos dizendo que a separação granulométrica total G s é r i e é o que é separado no primeiro equipamento G 1 mais o que é separado do segundo G 2 , sendo que o que passa pela separação do segundo é só o que não foi separado no primeiro, daí o multiplicar G 2 por 1 - G 1 .

A expressão de G ,para cada um dos ciclones, é:

G = d d 50 2 1 + d d 50 2

E, como vimos na teoria, usamos o S t k 50 para obter o d 50 :

S t k 50 = 2 ( ρ S - ρ ) Q d 50 2 9 π μ D C 3

S t k 50 é tabelado e, de resto, na expressão, sabemos tudo menos d 50 . Daí 1 equação e 1 variável: solução única! Agora, vamos fazer assim: vamos, por um tempo, para o país das maravilhas com a Alice; enquanto a gente tiver lá, vamos fingir que não temos que corrigir a velocidade terminal e calcular d 50 para cada um dos dois ciclones; depois a gente volta pra realidade, ok? Vou chamar esses diâmetros de corte “imaginários” de ( d 50 ) 1 ∞   e   ( d 50 ) 2 ∞ . O é porque é relativo as condições de diluição infinita, sem efeito de concentração.

Para o primeiro ciclone:

S t k 50 = 2 ( ρ S - ρ ) Q [ ( d 50 ) 1 ∞ ] 2 9 π μ D C 3

6,33 * 10 - 4 = 2 * 2,5 - 1,1 * 10 - 3 * 4,6 * 10 5 [ ( d 50 ) 1 ∞ ] 2 9 π * 1,7 * 10 - 4 * ( 63,6 ) 3

( d 50 ) 1 ∞ = 5,82 * 10 - 4 = 5,82   μ m

Repara que eu passei a viscosidade de c P para P , porque Poise que é a unidade do CGS pra viscosidade.

De forma semelhante, para o segundo ciclone:

( d 50 ) 2 ∞ = 3,47 * 10 - 4 = 3,47   μ m

Agora está na hora de voltar pra realidade. Um ciclone não separa as partículas por tamanho, quem faz isso é um filtro, por exemplo, mas, mesmo assim, nos referimos a DIÂMETRO de corte e não “alguma outra coisa” de corte; o ciclone separa partículas pela velocidade terminal delas, separa quando a partícula tem um v t tal que consegue bater na parede do ciclone antes de sair dele; sabemos relacionar diâmetro e v t e daí falar em diâmetros. Mas lembra disso: ciclone separa por velocidade.

Daí, para o primeiro ciclone, a ( d 50 ) 1 ∞ só é chamada de diâmetro de corte porque tem uma v t tal que é separada com G = 0,5 . Se tiver efeito de concentração, efeito extraterrestre, efeito de Júpiter ou qualquer outro (eu inventei estes dois últimos agora hein haha Não se assuta!), o ciclone não tá nem aí; ele continua na dele e a separação continua sendo por uma dada velocidade.

Acontece que, quando tem efeito de concentração, a velocidade terminal das partículas é alterada. Para o primeiro ciclone, por exemplo, precisamos achar qual é o diâmetro que nas condições de C v = 3 % vai ter a mesma velocidade terminal da ( d 50 ) 1 ∞ @ = 5,82   μ m nas condições do país das maravilhas, ou seja, diluição infinita (concentração não afetando v t ), já que é a v t que amarra a separação.

Por esse último parágrafo, já sentiu um Coelho e Massarani no ar, né? Rs Bora lá! Temos um diâmetro, ( d 50 ) 1 ∞ = 5,82   μ m , e queremos a velocidade terminal dele nesse gás. Daí, vamos por:

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2 = 2,45 * 10 - 5

Agora, pra achar o R e p :

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Precisamos de k 1 e k 2 ; como o enunciado não falou nada sobre esfericidade, vou assumir Φ = 1 .

k 1 = 0,843 log ⁡ Φ 0,065 = 1

k 2 = 5,31 - 4,88 Φ = 0,43

Calculando:

R e p = 1,05 * 10 - 3

E, como isso tudo veio da condição de diluição infinita, esse R e p é o R e ∞ :

R e ∞ = 1,05 * 10 - 3

Ok. Achando a v t ∞ dessa partícula:

R e ∞ = ρ *   v t ∞ * ( d 50 ) 1 ∞ μ

Trabalhando com tudo no CGS:

1,05 * 10 - 3 = 1,1 * 10 - 3 * v t ∞ * 3,47 * 10 - 4 1,7 * 10 - 4

v t ∞ = 0,279   c m / s

Daí essa velocidade de 0,279   c m / s é a “velocidade de corte”, a velocidade associada com G = 0,5 . A questão agora é descobrir qual é o tamanho de partícula que, nas condições de C v = 3 % , vai ter essa velocidade, ou seja, descobrir o tamanho de partícula associado a v t C = 0,279   c m / s .

Passo 3

Para descobrir o tamanho de partícula associado a v t C = 0,279   c m / s , vamos ter que fazer a correção “inversa” de concentração e descobrir a v t ∞ dessa partícula. Depois, relacionamos essa v t ∞ com diâmetro. Vem comigo que vai ficar tudo mais claro. A fórmula pra correção de concentração é:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

Em que o valor de do n é calculado de forma diferente dependendo do R e p :

R e ∞ ≤ 0,2   → n = 4,65 0,2 < R e ∞ ≤ 1 → n = 4,35 R e ∞ - 0,03 1 < R e ∞ ≤ 500   → n = 4,45 R e ∞ - 0,1 R e ∞ > 500   → n = 2,39

Com R e ∞ sendo o Reynolds calculado supondo que a esfera está isolada.

Calculamos o R e ∞ para a partícula ( d 50 ) 1 ∞ = 5,82   μ m e NÃO para essa d 50 real do equipamento com C v = 3 % . Mas repara que achamos pra primeira R e ∞ = 1,05 * 10 - 3 , que é bem menor que 0,2 . Vou assumir que esse novo R e ∞ vai, também, ser menor que 0,2 e usar n = 4,65 . Sim, esse é um caminho iterativo mas não tem muito por onde fugir; se chegar lá na frente e o R e ∞ for maior que 0,2 , temos que voltar pra esse ponto...mas com uma folga dessas que temos, provavelmente não vai ser não.

Ok, aplicando:

v t C = v t ∞ ( 1 - C v ) n

0,279 = v t ∞ ( 1 - 0,03 ) 4,65

v t ∞ = 0,321   c m / s

Agora, temos uma velocidade e queremos saber o diâmetro correspondente:

C D R e p = 4 ρ S - ρ g μ 3 ρ 2 v t 3 = 13883695,3

Calculando R e p :

R e p = R e ∞ = 24 k 1 C D R e p 0,65 + k 2 C D R e p 1,3 0,77 = 1,31 * 10 - 3

Oba! Reynolds menor que 0,2 ! Não precisa voltar pra iterar. Bora continuar. Quem é o diâmetro que tem essa velocidade?

R e ∞ = ρ *   v t ∞ * d 50 μ

d 50 = 6,31   μ m

E, depois disso tudo, achamos o d 50 para o primeiro ciclone!

Fizemos isso tudo pro primeiro ciclone devido a C v > 1 % nele. Para o segundo, será que precisa? Parte das partículas são separadas no primeiro então, talvez, C v seja menor que 1 % o segundo e não precisaremos corrigir. Então, guarda essa informação de d 50 para o primeiro ciclone e bora calcular a eficiência dele.

Passo 4

A fórmula de G para ciclone é:

G = d d 50 2 1 + d d 50 2

Para o primeiro ciclone, fica:

G = d 6,31 2 1 + d 6,31 2

Para saber quanto de partículas foi separado no primeiro ciclone, não basta a eficiência por tamanho... precisamos da eficiência global, E T , que obtemos integrando G de y = 0 até y = 1 , para varrer todos os diâmetros.

E T = ∫ 0 1 G   d y

Como vamos integrar em y , precisamos escrever d em função de y . Daí bora dar uma olhada na curva y que o enunciado deu:

y = 1 - exp ⁡ - d 17,3 1,5     c o m   d   e m   μ m

Manipulando:

exp ⁡ - d 17,3 1,5 = 1 - y

- d 17,3 1,5 = ln ⁡ 1 - y

d 17,3 1,5 = - ln ⁡ 1 - y

d = 17,3 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5

Jogando em G :

E T = ∫ 0 1 17,3 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 6,31 2 1 + 17,3 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 6,31 2   d y

É nessa hora que a gente fica muito grato a quem inventou as calculadoras haha Calculando isso aí:

E T = 0,718

Agora, concorda comigo que as partículas que vão pro segundo ciclone são as que NÃO são separadas do primeiro, isto é, ( 1 - E T 1 )   ? Então, chamando de C v 1 a concentração volumétrica na entrada do ciclone 1 e de C v 2 a concentração volumétrica na entrada do segundo:

C v 2 = 1 - E T 1 * C v 1 = 1 - 0,718 * 3 % = 0,846 %  

UFA! Como C v 2 < 1 % , não precisamos corrigir nada no segundo.

Passo 5

Escrevendo a expressão de G para o conjunto:

G s é r i e = G 1 + 1 - G 1 * G 2

G s é r i e = 17,3 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 6,31 2 1 + 17,3 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 6,31 2 + 1 - 17,3 * - ln ⁡ 1 - y 1 1,5 6,31 2 1 + 17,3 * - ln ⁡ 1 - y 1 1,5 6,31 2 * 17,3 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 3,47 2 1 + 17,3 * [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 3,47 2  

Como o problema pede a eficiência global, temos que integrar:

E T s é r i e = ∫ 0 1 G s é r i e   d y

Jogando esse monstro na calculadora:

E T s é r i e = 0,904 = 90,4 %

Passo 6

b) A potência do soprador para o serviço

O pior já foi. Agora só falta a potência.

P o t = ∆ P * Q T η

Como os ciclones estão em série: Q T = Q , porque a vazão que passa por um é a mesma que passa pelo outro...são as mesmas moléculas do fluido; passam por um e depois vão pro outro.

Temos que nos preocupar só com o ∆ P , porque a queda de pressão total no sistema é a soma das quedas no primeiro e segundo.

∆ P T = ∆ P 1 + ∆ P 2

Então, bora calculá-las! Temos que usar Euler, que é tabelado.

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2

Para o primeiro ciclone:

316 = π 2 * ∆ P 1 * ( 63,6 ) 4 8 * 1,1 * 10 - 3 * 4,6 * 10 5

∆ P 1 = 3670,3   d i n a / c m 2

Para o segundo:

316 = π 2 * ∆ P 2 * ( 45 ) 4 8 * 1,1 * 10 - 3 * 4,6 * 10 5

∆ P 2 = 14644,6   d i n a / c m 2

Daí:

∆ P T = 18314,9   d i n a / c m 2

Como o enunciado não deu a eficiência do soprador, vamos ter que supor uma. Não me bate! É isso mesmo haha Vou supor η = 0,5 . Daí:

P o t = 18314,9 * 4,6 * 10 5 0,5 = 1,7 * 10 10 e r g / s

Só pra ficar mais bonitinho, vou passar essa potência pra HP (horse power, ok? Não a calculadora haha)

P o t = 1,7 * 10 10 e r g s * 1   W 10 7 e r g s * 1   H P 745,7   W = 2,3   H P

Resposta

  1. E T s é r i e = 90,4 %
  2. P o t = 2,3   H P

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas