Cálculo de densidades volúmétricas, planares e lineares em células unitárias

Teoria Completa

E aí, tudo bem?

Em uma estrutura cristalina é necessário fazer alusão a alguns planos de átomos, e já se questionou o quão denso são? E como podem variar de estrutura para estrutura?

Vamos descobrir como calcular os diferentes tipos de densidades :D

Densidades volúmétricas

Através da célula unitária da estrutura cristalina de um metal e um valor para o raio atômico do metal, determinado por difração de raios-X, pode obter-se a densidade volúmétrica de um metal usando a fórmula alí embaixo.

p = n A V c N a

Onde:

n= número de átomos/cel. Unitária

A= massa atômica

Vc = volume da célula unitária

NA= numero de Avogadro 6,02 x 10 23

As densidades () (rô) variam conforme o tipo de material, a densidade dos metais é maior que dos cerâmicos que é maior que a dos materiais poliméricos.

metais > cerâmicas > polímeros

Metais: Alto empacotamento (FEA), (ligação metálica); elementos de elevada massa atômica

Cerâmicas: Baixo FEA; Elementos leves

Polímeros: Baixo FEA – ou amorfos, Elementos leves (C, H, O)

Densidade atômica planar

Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas de alguns planos cristalográficos. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica planar, ρP, usando a equação citada aqui:

P p = n °   e f e t i v o   d e   a t o m o s   c u j o   c e n t r o   é   i n t e r s e c t a d o   p e l a   á r e a   s e l e c i o n a d a á r e a   s e l e c i o n a d a

A área que devemos usar é a do plano que intercepta a célula unitária, por exemplo: para o plano (110) da célula unitária CCC. Nestes cálculos, para que a área de um átomo seja calculada, o plano considerado terá de interceptar o centro do átomo.

Vamos fazer um exemplo? Calcular a densidade atômica planar (DAP) dos planos [1 0 0 ] na rede CFC ( cúbica de face centrada).

1°) Desenhar a estrutura:

2°) Cálcular a área total de átomos

Número de átomos: ¼ de átomos nos 4 cantos do cubo ) 4*1/4 + 1 átomo= 2 átomos

Área total do átomo: 2 (átomos) x π x r²

Área do plano CFC= a= 2R √ 2

3°) Cálculo de DAP

D A P = 2 π r ² a ² = 2 π r ² ( 2 R 2 ) ² = 2 π r ² 8 R ² = π 4 = 0,785

Densidade atômica linear

Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas em determinadas direções das estruturas cristalinas. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica linear, ρL, usando a equação abaixo:

DL= Lc/LI

Onde:

Lc: comprimento linear que intercepta os círculos

LI: comprimento linear dentro da célula unitária =a

Vamos resolver um exemplo? Considerando a estrutura CCC (cúbica de corpo centrado) com direção [1 0 0].

1°) Desenharmos a estrutura CCC

2°) Encontrar a relação entre a e o R

4R= respectivo aos R de cada canto do cubo

a = 4 R 3

3°) Calcular a densidade linear (DL)

D L = 2 R   x   3 4 R = 0,866

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,31 nm. Determine a densidade planar de um plano (110) para a célula CCC

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

DP = N° de átomos do plano / área do plano

Passo 2

Vamos determinar a área do plano:

A = B x h

A = 2 a × a

A = 2 0 , 31 ²

A= 0,135 nm²

Passo 3

Determinando o número de átomos:

O plano intercepta o centro de 2 átomos (4 x ¼) + 1 = 2 átomos

DP = 2/ 0,135

DP= 14,71 átomos/ nm²

Resposta

DP= 14,71 átomos/ nm²

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,31 nm. Determine a densidade planar de um plano (010) para a célula CFC.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

DP = N° de átomos do plano / área do plano

Passo 2

Vamos determinar a área do plano:

A = B x h

A = a × a

A = 0,31 × 0,31

A= 0,0961 nm²

Passo 3

Determinando o número de átomos:

O plano intercepta o centro de 2 átomos (4 x ¼) + 1 = 2 átomos

DP = 2/ 0,0961

DP= 20,81 átomos/ nm²

Resposta

DP= 20,81 átomos/ nm

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine a densidade linear na direção [110] da rede cristalina do cobre, cujo parâmetro de rede é 0,43 nm.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

DL= Lc/LI

Passo 2

Vamos determinar o comprimento linear dentro da célula unitária (LI)

L c   ( x ) = a 2 + a ² (Pitágoras)

L c   x = 2 a 2  

L c   ( x ) = a 2

L c   ( x ) = 0,43 2

L c   ( x ) = 0,60

Passo 3

Comprimento linear que intercepta os círculos (Lc)

Lc: 1 átomo + 0,5 átomo + 0,5 átomo= 2 átomos

DL= 2/ 0,60 = 3,29 átomos /nm²

Resposta

DL= 3,29 átomos /nm²

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Determine a densidade linear do alumínio CFC na direção [110} com parâmetro de rede de 0,51 nm.

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Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

DL= Lc/LI

Passo 2

Passo 3

Pequenos grupos de átomos que se repetem, ou seja, a rede cristalina se subdivide em pVamos determinar o comprimento linear dentro da célula unitária (LI)

) DL = 1 átomo = 1 / (4² + 4²)1/2 = 1/5,657 = 0,177 * 108 átomos por A DL = 1,77 * 107 átomos/cm

L c   ( x ) = a 2 + a ² (Pitágoras)

L c   x = 2 a 2  

L c   ( x ) = a 2

L c   ( x ) = 0,51 2

L c   ( x ) = 0,721

Passo 4

Comprimento linear que intercepta os círculos (Lc)

Lc: 2 átomos

DL=2 / 0,721 = 2,77 átomos /nm²

Resposta

DL=2,77 átomos /nm²

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Determine a densidade teórica do chumbo CFC que apresenta um parâmetro de rede de 3,147 e massa atômica de 207,2 g/g.mol

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Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

ρ = n A V c N a

Onde:

n= número de átomos/cel. Unitária

A= massa atômica

Vc = volume da célula unitária

NA= número de Avogadro 6,02 x 10 23

Passo 2

Passo 3

V c = a ³

V c = ( 3,147   ) ³

V c = 31,166   m 3 / c é l u l a

Passo 4

Cálculo da densidade.

ρ = n A V c N a

ρ = 2 × 207,2   31,166 × 6,02 × 10 ² ³

ρ = 2,21 × 10 - 23 g/m³

Resposta

ρ = 2,21 × 10 - 23 g/m³

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Quantas células unitárias estão presentes em 1cm³ do alumínio - CFC? Sabendo que o raio atômico do Al=0,1430 ×10-7 cm.

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Passo 1

Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária:

Para o cálculo do volume temos:

V =   a ³ Sendo “a” o parâmetro de rede, então temos:

  a = 4 r 2

Passo 2

Passo 3

Determinando o volume:

V = 4 r 2 ³

V = 4 ×   0,1430   × 10 - 7   2 ³

V = 6,61 × 10 - 23 cm³

Passo 4

Determinar a quantidade de células unitárias

Fazendo a proporção temos:

1   c m ³ 6,61 × 10 - 23   c m ³

Resposta

1,51 ×   10 22 células unitárias

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Se o raio atômico do chumbo (Pb) é de 0,175 nm , determine o volume da célula unitária em m³, considere a estrutura cristalina CFC.

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Passo 1

Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária:

Para o cálculo do volume temos:

V =   a ³ Sendo “a” o parâmetro de rede, então temos:

  a = 2 R 2

Passo 2

Passo 3

Determinando o volume:

V = 2 R 2 ³

V = 2 × 0,175 × 10 - 9 ³

Resposta

V = 12,13 × 10 - 29

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Calcule o raio de um átomo de ouro, que apresenta uma estrutura cristalina CCC e massa especifica de 19, 32 g/cm³ e um peso atômico de 196,96 g/mol.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária:

Para o cálculo do volume temos:

V =   a ³ Sendo “a” o parâmetro de rede, então temos:

  a = 2 R 2

Passo 2

Passo 3

Determinando o volume:

V = 2 R 2 ³

V = 16 R ³ 2

Passo 4

Para determinarmos o raio temos de utilizar a fórmula da densidade teórica:

ρ = n A V c N a

Onde:

n= número de átomos= 4

A= massa atômica = 207,2 g/mol

Vc = volume da célula unitária= 16 R ³ 2

NA= número de Avogadro 6,02 x 10 23

Achando R:

R   = n × A 16 p 2 × N a 1 / 3

R   = 4 × 207,2 16 × 19,32 × 2 × 6,02   x   10 23 1 / 3

R = 14,65 x   10 - 9 m   o u   14,65   n m

Resposta

R = 14,65   n m

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