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Cálculo de densidades volúmétricas, planares e lineares em células unitárias

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Teoria Completa

E aí, tudo bem?

Em uma estrutura cristalina é necessário fazer alusão a alguns planos de átomos, e já se questionou o quão denso são? E como podem variar de estrutura para estrutura?

Vamos descobrir como calcular os diferentes tipos de densidades :D

Densidades volúmétricas

Através da célula unitária da estrutura cristalina de um metal e um valor para o raio atômico do metal, determinado por difração de raios-X, pode obter-se a densidade volúmétrica de um metal usando a fórmula alí embaixo.

p = n A V C N a

Onde:

  • n = número de átomos/cel. Unitária
  • A = massa atômica
  • V C = volume da célula unitária
  • N a = numero de Avogadro 6,02   x   10 23

As densidades ( )   ( r ô ) ô variam conforme o tipo de material, a densidade dos metais é maior que dos cerâmicos que é maior que a dos materiais poliméricos.

  m etais > cerâmicas > polímeros

Metais: Alto empacotamento ( F E A ) , (ligação metálica); elementos de elevada massa atômica

Cerâmicas: Baixo F E A ; Elementos leves

Polímeros: Baixo F E A – ou amorfos, Elementos leves ( C ,   H ,   O )

Densidade atômica planar

Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas de alguns planos cristalográficos. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica planar, ρ P , usando a equação citada aqui:

ρ P = n °   e f e t i v o   d e   a t o m o s   c u j o   c e n t r o   é   i n t e r s e c t a d o   p e l a   á r e a   s e l e c i o n a d a á r e a   s e l e c i o n a d a é á á

A área que devemos usar é a do plano que intercepta a célula unitária, por exemplo: para o plano ( 110 ) da célula unitária   C C C . Nestes cálculos, para que a área de um átomo seja calculada, o plano considerado terá de interceptar o centro do átomo.

Vamos fazer um exemplo? Calcular a densidade atômica planar ( D A P ) dos planos   [ 1   0   0   ]   na rede C F C (cúbica de face centrada).

1°) Desenhar a estrutura:

2°) Cálcular a área total de átomos

  • Número de átomos: ¼ ¼ de átomos nos 4 cantos do cubo ) 4 * 1 / 4   + 1 átomo= 2 átomos
  • Área total do átomo: 2 (átomos) x π x r ² ²
  • Área do plano C F C =   a =   2 R 2

3°) Cálculo de DAP

D A P = 2 π r ² a ² = 2 π r ² 2 R 2 2 = 2 π r ² 8 R ² = π 4 = 0,785 ² ² ² ² ²

Densidade atômica linear

Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas em determinadas direções das estruturas cristalinas. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica linear, ρ L , usando a equação abaixo:

ρ L = L C L I  

Onde:

  • L C : comprimento linear que intercepta os círculos
  • L I : comprimento linear dentro da célula unitária = a

Vamos resolver um exemplo? Considerando a estrutura C C C (cúbica de corpo centrado) com direção [ 1   0   0 ] .

1°) Desenharmos a estrutura C C C

2°) Encontrar a relação entre a e o R

  • 4 R = respectivo aos   R   de cada canto do cubo

a = 4 R 3

3°) Calcular a densidade linear ( ρ L )

ρ L = 2 R   x   3 4 R = 0,866

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,31 nm. Determine a densidade planar de um plano (110) para a célula CCC

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

DP = N° de átomos do plano / área do plano

Passo 2

Vamos determinar a área do plano:

A = B x h

A = 2 a × a

A = 2 0 , 31 ² ²

A= 0,135 nm²

Passo 3

Determinando o número de átomos:

O plano intercepta o centro de 2 átomos (4 x ¼) + 1 = 2 átomos

DP = 2/ 0,135

DP= 14,71 átomos/ nm²

Resposta

DP= 14,71 átomos/ nm²

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,31 nm. Determine a densidade planar de um plano (010) para a célula CFC.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

DP = N° de átomos do plano / área do plano

Passo 2

Vamos determinar a área do plano:

A = B x h

A = a × a

A = 0,31 × 0,31

A= 0,0961 nm²

Passo 3

Determinando o número de átomos:

O plano intercepta o centro de 2 átomos (4 x ¼) + 1 = 2 átomos

DP = 2/ 0,0961

DP= 20,81 átomos/ nm²

Resposta

DP= 20,81 átomos/ nm

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine a densidade linear na direção [110] da rede cristalina do cobre, cujo parâmetro de rede é 0,43 nm.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

D L = L c L I  

Passo 2

Vamos determinar o comprimento linear dentro da célula unitária ( L I )

Utilizando Pitágoras, teremos:

L c   ( x ) = a 2 + a ² ²

L c   x = 2 a 2  

L c   ( x ) = a 2

Como:

a = 0,43

L c   ( x ) = 0,43 2

L c   x = 0,6 1   n m

Passo 3

Comprimento linear que intercepta os círculos ( L c )

L c :     1   á t o m o   +   0,5   á t o m o   +   0,5   á t o m o =   2   á t o m o s   á á á á

Jogando na fórmula:

D L = L c L I = 2 0,6 1 = 3 , 28   á t o m o s / n m á

Resposta

D L =     3,2 8   á t o m o s   / n m á

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Determine a densidade linear do alumínio CFC na direção [110} com parâmetro de rede de 0,51 nm.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

DL= Lc/LI

Passo 2

Passo 3

Pequenos grupos de átomos que se repetem, ou seja, a rede cristalina se subdivide em pVamos determinar o comprimento linear dentro da célula unitária (LI)

) DL = 1 átomo = 1 / (4² + 4²)1/2 = 1/5,657 = 0,177 * 108 átomos por A DL = 1,77 * 107 átomos/cm

L c   ( x ) = a 2 + a ² ² (Pitágoras)

L c   x = 2 a 2  

L c   ( x ) = a 2

L c   ( x ) = 0,51 2

L c   ( x ) = 0,721

Passo 4

Comprimento linear que intercepta os círculos (Lc)

Lc: 2 átomos

DL=2 / 0,721 = 2,77 átomos /nm²

Resposta

DL=2,77 átomos /nm²

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Determine a densidade teórica do chumbo CFC que apresenta um parâmetro de rede de 0,495 nm e massa atômica de 207,2 g/g.mol

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:

ρ = n A V c N a

Onde:

n= número de átomos/cel. Unitária

A= massa atômica

Vc = volume da célula unitária

NA= número de Avogadro 6,02 x 10 23

Passo 2

Passo 3

V c = a ³ ³

V c = ( 0,495 ) ³ ³

V c = 0,121   n m 3 / c é l u l a é

Passo 4

Cálculo da densidade.

ρ = n A V c N a

ρ = 4 × 207,2   0,121 × 6,02 × 10 ² ³ ² ³

ρ = 2,21 × 10 - 23 g / n m ³ ³

Convertendo pra m³:

ρ = 4 , 4 2 × 10 - 23 g n m ³ × ( 1   n m ) ³ ( 10 - 9 m ) ³ ³ ³ ³

ρ = 4,42 × 10 4 g m ³ ³

Resposta

ρ = 4,42 × 10 4 g / m ³ ³

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Quantas células unitárias estão presentes em 1   c m 3 do alumínio - C F C ? Sabendo que o raio atômico do alumínio é:

r A l = 0,1430   ∙ 10 - 7   c m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária. Para o cálculo do volume temos:

V = a 3

Sendo “a” o parâmetro de rede, para C F C , temos:

a 2 = 4 r

  a = 4 r 2

Passo 2

Determinando o volume:

V = 4 r 2 3

V = 4 ∙   0,1430   ∙ 10 - 7   2 3

V = 64 ∙   0,002924207   ∙ 10 - 21   2 2

V ≅ 6,62   ∙ 10 - 23   c m 3

Passo 3

Pra gente fechar a questão e determinar a quantidade de células unitárias, basta a gente ver quantas vezes o volume de uma célula:

V ≅ 6,62   ∙ 10 - 23   c m 3

Cabe dentro do volume de 1   c m ³ ³ de alumínio! Partiu:

X ∙ V = 1   c m 3

X = 1 V = 1   c m ³ 6,62   ∙ 10 - 23   c m ³ ³ ³

X = 1 V = 1   c m ³ 6,62   ∙ 10 - 23   c m ³ ³ ³

X ≅ 1,51   ∙ 10 22

Resposta

Aproximadamente 1,51   ∙ 10 22 células unitárias C F C cabem dentro de 1   c m 3 de alumínio

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Se o raio atômico do chumbo (Pb) é de 0,175 nm , determine o volume da célula unitária em m³, considere a estrutura cristalina CFC.

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Passo 1

Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária:

Para o cálculo do volume temos:

V =   a ³ ³ Sendo “a” o parâmetro de rede, então temos:

  a = 2 R 2

Passo 2

Passo 3

Determinando o volume:

V = 2 R 2 ³ ³

V = 2 × 0,175 × 10 - 9 ³ ³

Resposta

V = 12,13 × 10 - 29 m³

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Calcule o raio de um átomo de ouro, que apresenta uma estrutura cristalina C C C e massa especifica de 19 ,   32 g c m 3 e um peso atômico de 196,96 g m o l .

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Passo 1

Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária. Para o cálculo do volume temos:

V =   a ³ ³

Sendo “a” o parâmetro de rede, onde temos:

Por Pitágoras, do triângulo retângulo no interior do cubo, tiramos

a 2 2 + a 2 = 4 r 2

2 ∙ a 2 + a 2 = 4 2 ∙ r 2

3 ∙ a 2 = 4 2 ∙ r 2

a 2 = 4 2 ∙ r 2 3

a 2 3 2 = 4 2 ∙ r 2 3 3 2

a 2 ∙ 3 2 = 4 2 ∙ 3 2 ∙ r 2 ∙ 3 2 3 3 2

a 3 = 4 3 ∙ r 3 3 3

V = 64 ∙ r 3 3 3

Passo 2

Para determinarmos o raio temos de utilizar a fórmula da densidade teórica:

ρ = n A V C N a

Onde:

  • n = número de átomos= 2
  • A = massa atômica = 196 ,   96 g m o l
  • V C = volume da célula unitária = 64 ∙ r 3 3 3
  • N a = número de Avogadro 6,02   ∙   10 23

Achando R:

ρ = n ∙ A 64 ∙ r 3 3 3 ∙ N a

ρ = n ∙ A ∙ 3 3 64 ∙ r 3 ∙ N a

64 ∙ r 3 ∙ N a ∙ ρ = n ∙ A ∙ 3 3

r 3 = n ∙ A ∙ 3 3 64 ∙ N a ∙ ρ

r = n ∙ A ∙ 3 3 64 ∙ N a ∙ ρ 1 3

Substituindo:

r = 2 ∙ 196,96 ∙ 3 3 64 ∙ 6,02   ∙   10 23 ∙ 19,32 1 3

r = 1,40 ∙ 10 - 8   c m

Resposta

r = 1,40 ∙ 10 - 8   c m

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