Teoria Completa
E aí, tudo bem?
Em uma estrutura cristalina é necessário fazer alusão a alguns planos de átomos, e já se questionou o quão denso são? E como podem variar de estrutura para estrutura?
Vamos descobrir como calcular os diferentes tipos de densidades :D
Densidades volúmétricas
Através da célula unitária da estrutura cristalina de um metal e um valor para o raio atômico do metal, determinado por difração de raios-X, pode obter-se a densidade volúmétrica de um metal usando a fórmula alí embaixo.
Onde:
- = número de átomos/cel. Unitária
- = massa atômica
- = volume da célula unitária
- = numero de Avogadro
As densidades variam conforme o tipo de material, a densidade dos metais é maior que dos cerâmicos que é maior que a dos materiais poliméricos.
etais > cerâmicas > polímeros
Metais: Alto empacotamento (ligação metálica); elementos de elevada massa atômica
Cerâmicas: Baixo ; Elementos leves
Polímeros: Baixo – ou amorfos, Elementos leves
Densidade atômica planar
Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas de alguns planos cristalográficos. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica planar, , usando a equação citada aqui:
A área que devemos usar é a do plano que intercepta a célula unitária, por exemplo: para o plano da célula unitária. Nestes cálculos, para que a área de um átomo seja calculada, o plano considerado terá de interceptar o centro do átomo.
Vamos fazer um exemplo? Calcular a densidade atômica planar dos planosna rede (cúbica de face centrada).
1°) Desenhar a estrutura:
2°) Cálcular a área total de átomos
- Número de átomos: de átomos nos cantos do cubo ) *+ átomo= átomos
- Área total do átomo: (átomos) x x
- Área do plano
3°) Cálculo de DAP
Densidade atômica linear
Por vezes, é importante determinar as densidades atômicas em determinadas direções das estruturas cristalinas. Para isso, calcula-se uma quantidade designada por densidade atômica linear, , usando a equação abaixo:
Onde:
- : comprimento linear que intercepta os círculos
- : comprimento linear dentro da célula unitária =
Vamos resolver um exemplo? Considerando a estrutura (cúbica de corpo centrado) com direção
1°) Desenharmos a estrutura
2°) Encontrar a relação entre e o
- = respectivo aosde cada canto do cubo
3°) Calcular a densidade linear ()
Exercício Resolvido #1
Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,31 nm. Determine a densidade planar de um plano (110) para a célula CCC
Passo 1
Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:
DP = N° de átomos do plano / área do plano
Passo 2
Vamos determinar a área do plano:
A = B x h
A= 0,135 nm²
Passo 3
Determinando o número de átomos:
O plano intercepta o centro de 2 átomos (4 x ¼) + 1 = 2 átomos
DP = 2/ 0,135
DP= 14,71 átomos/ nm²
Resposta
DP= 14,71 átomos/ nm²
Exercício Resolvido #2
Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,31 nm. Determine a densidade planar de um plano (010) para a célula CFC.
Passo 1
Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:
DP = N° de átomos do plano / área do plano
Passo 2
Vamos determinar a área do plano:
A = B x h
A= 0,0961 nm²
Passo 3
Determinando o número de átomos:
O plano intercepta o centro de 2 átomos (4 x ¼) + 1 = 2 átomos
DP = 2/ 0,0961
DP= 20,81 átomos/ nm²
Resposta
DP= 20,81 átomos/ nm
Exercício Resolvido #3
Determine a densidade linear na direção [110] da rede cristalina do cobre, cujo parâmetro de rede é 0,43 nm.
Passo 1
Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:
Passo 2
Vamos determinar o comprimento linear dentro da célula unitária ()
Utilizando Pitágoras, teremos:
Como:
Passo 3
Comprimento linear que intercepta os círculos ()
Jogando na fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Determine a densidade linear do alumínio CFC na direção [110} com parâmetro de rede de 0,51 nm.
Passo 1
Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:
DL= Lc/LI
Passo 2
Passo 3
Pequenos grupos de átomos que se repetem, ou seja, a rede cristalina se subdivide em pVamos determinar o comprimento linear dentro da célula unitária (LI)
) DL = 1 átomo = 1 / (4² + 4²)1/2 = 1/5,657 = 0,177 * 108 átomos por A DL = 1,77 * 107 átomos/cm
(Pitágoras)
Passo 4
Comprimento linear que intercepta os círculos (Lc)
Lc: 2 átomos
DL=2 /= 2,77 átomos /nm²
Resposta
DL=2,77 átomos /nm²
Exercício Resolvido #5
Determine a densidade teórica do chumbo CFC que apresenta um parâmetro de rede de 0,495 nm e massa atômica de 207,2 g/g.mol
Passo 1
Primeiramente vamos definir a fórmula a ser aplicada:
Onde:
n= número de átomos/cel. Unitária
A= massa atômica
Vc = volume da célula unitária
NA= número de Avogadro 6,02 x 10 23
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Cálculo da densidade.
Convertendo pra m³:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Quantas células unitárias estão presentes em do alumínio - ? Sabendo que o raio atômico do alumínio é:
Passo 1
Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária. Para o cálculo do volume temos:
Sendo “a” o parâmetro de rede, para , temos:
Passo 2
Determinando o volume:
Passo 3
Pra gente fechar a questão e determinar a quantidade de células unitárias, basta a gente ver quantas vezes o volume de uma célula:
Cabe dentro do volume de de alumínio! Partiu:
Resposta
Aproximadamente células unitárias cabem dentro de de alumínio
Exercício Resolvido #7
Se o raio atômico do chumbo (Pb) é de 0,175 nm , determine o volume da célula unitária em m³, considere a estrutura cristalina CFC.
Passo 1
Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária:
Para o cálculo do volume temos:
Sendo “a” o parâmetro de rede, então temos:
Passo 2
Passo 3
Determinando o volume:
Resposta
12,13 m³
Exercício Resolvido #8
Calcule o raio de um átomo de ouro, que apresenta uma estrutura cristalina e massa especifica de e um peso atômico de .
Passo 1
Primeiramente vamos definir como calcular o volume da célula unitária. Para o cálculo do volume temos:
Sendo “a” o parâmetro de rede, onde temos:
Por Pitágoras, do triângulo retângulo no interior do cubo, tiramos
Passo 2
Para determinarmos o raio temos de utilizar a fórmula da densidade teórica:
Onde:
- = número de átomos=
- = massa atômica =
- = volume da célula unitária
- = número de Avogadro
Achando R:
Substituindo: