Enunciado

  1. Considere para a solidificação do ferro (Problema 10.4) que a nucleação seja homogênea e que o número de núcleos estáveis seja de 1 0 6 núcleos por metro cúbico. Calcule o raio crítico e o número de núcleos estáveis existentes nos seguintes graus de super-resfriamento: 200 K e 300 K.\
  2. O que é significativo em relação às magnitudes desses raios críticos e números de núcleos estáveis?

Passo 1

Fala aí galera, hoje vou ensinar vocês essa questão aqui que é muito massa!

a) Para esta parte do problema, é-nos pedido que calcule o raio crítico para a solidificação do ferro (por Problema 10.4), para 200 K e 300 K graus de super-resfriamento, e assumindo que existem 106 núcleos por metro em cubos para homogêneo nucleação. Para calcular os raios críticos, substituímos o termo T m - T na Equação 10.6 pelo grau de super-resfriamento (indicado como Δ T ) citado no problema. Para super-resfriamento de 200 K,

r * 200 = ( - 2 γ T m Δ H f ) ( 1 Δ T ) = 2.00   n m

E, para super-resfriamento de 300 K,

r * 200 = ( - 2 γ T m Δ H f ) ( 1 Δ T ) = 1.33   n m

Para calcular o número de núcleos estáveis ​​que existem a 200 K e 300 K graus de super-resfriamento, é necessário usar a Equação 10.8. No entanto, devemos primeiro determinar o valor de K 1 na Equação 10.8, que por sua vez exige que calculemos Δ G * na temperatura de nucleação homogênea usando a Equação 10.7; isso foi feito no Problema 10.4 e produziu um valor de ∆G * = 1,57 × 10-18 J. Agora, para o cálculo de K 1 , usando o valor de n* para a temperatura de nucleação homogênea ( 1 0 6 / m 3 ):

K 1 = n * e x p ( - Δ G * k T ) = 5.62 × 1 0 45 n ú c l e o s / m 3

Lembrando que a constante k é a constante de Boltzmann que é igual a:

k = 1 , 380649   ×   10 - 23   m 2   k g   s - 2   K - 1

Agora, para super-resfriamento de 200 K, é necessário recalcular o valor ∆G * da Equação 10.7, onde, novamente, o termo T m - T é substituído pelo número de graus de super-resfriamento, denotado como Δ T , que neste caso é 200 K. Assim:

Δ G * 200 = ( 16 π γ 3 T m 2 3 Δ H f 2 ) 1 ( Δ T ) 2 = 3.41 × 1 0 - 18 J

E, da Equação 10.8, o valor de n * é

n * 200 = K 1 e x p ( - Δ G * 200 k T ) = 3.5 × 1 0 - 35   n ú c l e o s   e s t á v e i s

Agora, para super-resfriamento de 300 K, o valor de ∆G * é igual a

Δ G * 300 = 1.51 × 1 0 - 18   J

a partir da qual calculamos o número de núcleos estáveis ​​a 300 K de super-resfriamento como

n * 300 = K 1 e x p ( - Δ G * 300 k T )

n * = 2.32 × 1 0 7   n ú c l e o s   e s t á v e i s

Passo 2

Agora na letra b, temos:

Em relação ao raio crítico, r * para super-resfriamento de 300 K é um pouco menor que para 200 K (1,33 nm versus 2,00 nm). Mais significativo, porém, são os valores de n* nesses dois graus de super-resfriamento, que são dramaticamente diferentes - 3,5 × 10 -35 núcleos estáveis ​​em T = 200 K, contra 2,32 × 107 núcleos estáveis ​​em T = 300 K!

Resposta

  1. n * = 2.32 × 1 0 7   n ú c l e o s   e s t á v e i s
  2. Em relação ao raio crítico, r * para super-resfriamento de 300 K é um pouco menor que para 200 K (1,33 nm versus 2,00 nm). Mais significativo, porém, são os valores de n* nesses dois graus de super-resfriamento, que são dramaticamente diferentes - 3,5 × 10 -35 núcleos estáveis ​​em T = 200 K, contra 2,32 × 107 núcleos estáveis ​​em T = 300 K!
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