Exercícios Resolvidos de Circuito RLC com fonte

Livro Sadiku, p.322, Problema 8.26

A resposta a um degrau de um circuito R L C é descrita por

d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10

Dado que i 0 = 2 e d i ( 0 ) / d t = 4 , determine i ( t ) .

Passo 1

O enunciado forneceu para a gente a expressão para a corrente e suas condições iniciais. Então, para encontrarmos i ( t ) precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea.

d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A solução dessa EDO terá duas parcelas: uma referente à resposta natural e outra referente à resposta forçada.

i t = i h t + i p t

Primeiro, vamos encontrar a resposta natural, que é a solução da EDO homogênea associada a EDO do nosso circuito.

d 2 i h d t 2 + 2 d i h d t + 5 i h = 0

Passo 3

Essa EDO tem a seguinte equação característica,

r 2 + 2 r + 5 = 0

Vamos encontrar as raízes dessa equação.

r 1,2 = - 2 ± 2 2 - 20 2

r 1,2 = - 1 ± j 2

Passo 4

Encontramos raízes imaginárias. Para esse caso, a solução geral é:

i h t = e - α t ( A cos ω d t + B sin ω d t )

Onde,

r 1,2 = - α ± j ω d

Logo, para a nossa EDO

- α = - 1                 e                   ω d = 2

Então, nossa solução homogênea será:

i h t = e - t ( A cos 2 t + B sin 2 t )

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular, que é a resposta forçada do circuito.

d 2 i p d t 2 + 2 d i p d t + 5 i p = 10

Como 10 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = C ,

sendo C uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( C ) d t 2 + 2 d ( C ) d t + 5 ( C ) = 10

Como a derivada de uma constante é zero:

5 C = 10

C = 2

Logo,

i p t = 2

Passo 6

Agora que encontramos a resposta natural e a forçada é só somar as duas.

i t = i h t + i p t

Portanto, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

i t = e - t ( A cos 2 t + B sin 2 t ) + 2

Passo 7

Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes A e B . Para isso, vamos utilizar as condições iniciais.

i 0 = 2

e - 0 ( A cos 2 0 + B sin 2 ( 0 ) ) + 2 = 2

A + 2 = 2

A = 0

Para encontrarmos B , vamos derivar i ( t ) para usarmos a outra condição inicial. Já sabemos que A = 0 , então

i t = e - t ( B sin 2 t ) + 2

Derivando,

d i d t = - e - t ( B sin 2 t ) + e - t B ( 2 ) cos 2 t

Logo,

d i 0 d t = 2 B

Como o enunciado nos disse que

d i 0 d t = 4

Temos,

2 B = 4

B = 2

Passo 8

Portanto, substituindo os valores encontrados para as constantes, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

i t = e - t ( ( 0 ) cos 2 t + ( 2 ) sin 2 t ) + 2

i t = 2 e - t sin 2 t + 2       A

Resposta

i t = 2 e - t sin 2 t + 2       A

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