Exercícios Resolvidos de Circuito RLC com fonte

Livro Sadiku, p.322, Problema 8.27

Uma tensão de ramo em um circuito R L C é descrita por

d 2 v d t 2 + 4 d v d t + 8 v = 24

Se as condições iniciais forem v 0 = 0 = d v ( 0 ) / d t , determine v ( t ) .

Passo 1

O enunciado forneceu para a gente qual a expressão para a tensão e suas condições iniciais. Então, para encontrarmos v ( t ) precisamos resolver a EDO de segunda ordem não homogênea.

d 2 v d t 2 + 4 d v d t + 8 v = 24

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A solução dessa EDO terá duas parcelas: uma referente à resposta natural e outra referente à resposta forçada.

v t = v h t + v p t

Primeiro, vamos encontrar a resposta natural, que é a solução da EDO homogênea associada a EDO do nosso circuito.

d 2 v h d t 2 + 4 d i h d t + 8 v h = 0

Passo 3

Essa EDO tem a seguinte equação característica,

r 2 + 4 r + 8 = 0

Vamos encontrar as raízes dessa equação.

r 1,2 = - 4 ± 4 2 - 32 2

r 1,2 = - 2 ± j 2

Passo 4

Encontramos raízes imaginárias. Para esse caso, a solução geral é

v h t = e - α t ( A cos ω d t + B sin ω d t )

Onde,

r 1,2 = - α ± j ω d

Logo, para a nossa EDO

- α = - 2               e                   ω d = 2

Então, nossa solução homogênea será

v h t = e - 2 t ( A cos 2 t + B sin 2 t )

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular, que é a resposta forçada do circuito.

d 2 v p d t 2 + 4 d v p d t + 8 v p = 24

Como 24 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = C ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d 2 ( C ) d t 2 + 4 d ( C ) d t + 8 ( C ) = 24

Como a derivada de uma constante é zero:

8 C = 24

C = 3

Logo,

v p t = 3

Passo 6

Agora que encontramos a resposta natural e a forçada é só somar as duas.

v t = v h t + v p t

Portanto, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

v t = e - 2 t ( A cos 2 t + B sin 2 t ) + 3

Passo 7

Para terminar, precisamos encontrar o valor das constantes A e B . Para isso, vamos utilizar as condições iniciais.

v 0 = 0

e - 2 0 ( A cos 2 0 + B sin 2 ( 0 ) ) + 3 = 0

A + 3 = 0

A = - 3

Para encontrarmos B , vamos derivar v ( t ) para usarmos a outra condição inicial. Já sabemos que A = - 3 , então

v t = e - 2 t ( - 3 cos 2 t + B sin 2 t ) + 3

Derivando,

d v d t = - 2 e - 2 t ( - 3 cos 2 t + B sin 2 t ) + e - 2 t ( 3 ( 2 ) sin 2 t + B ( 2 ) cos 2 t )

Logo,

d v 0 d t = 6 + 2 B

Como o enunciado nos disse que

d v 0 d t = 0

Temos,

6 + 2 B = 0

B = - 3

Passo 8

Portanto, substituindo os valores encontrados para as constantes, a solução completa para a EDO de segunda ordem é

v t = e - 2 t ( - 3 cos 2 t - 3 sin 2 t ) + 3

v t = - 3 e - 2 t ( cos 2 t + sin 2 t ) + 3       V

Resposta

v t = - 3 e - 2 t ( cos 2 t + sin 2 t ) + 3       V

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