Exercícios Resolvidos de Classificação de Trajetórias

Elaboração Própria

Considere um projétil de massa m movimentando-se no plano x y de um sistema de coordenadas. A condição inicial do projétil é r → ( 0 ) = 2 j → . Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton G é igual a 1 .

Agora, considere também um planeta de massa M = 20 , com M ≫ m , fixo na origem do sistema de coordenadas.

Sabendo que a energia total do projétil é E = - 2 m e seu momento angular é L = 8 m .Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

Passo 1

O enunciado nos informa que:

E = - 2 m < 0

Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!

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Passo 2

Analisando o potencial efetivo temos:

U e f ( r ) = L 2 2 m r 2 - G M m r

Utilizando o dado do enunciado de que L = 8 m :

U e f r = 8 m 2 2 m r 2 - 20 m r

U e f ( r ) = 64 m 2 2 m r 2 - 20 m r

U e f ( r ) = m 32 r 2 - 20 r

U e f ( r ) = 4 m 8 r 2 - 5 r

O mínimo dessa função ocorre quando a derivada é igual a zero:

d U e f d r r   =   r e q = 0

- 2 × 8 r e q 3 + 5 r e q 2 = 0

1 r e q 3 - 16 + 5 r e q = 0

Isso quer dizer que 1 r e q 3 = 0 ou - 16 + 5 r e q = 0 . Como a primeira é impossível então ficamos com:

- 16 + 5 r e q = 0

r e q = 16 5 = 32 10 = 3,2

Passo 3

O enunciado nos disse que a condição inicial para o projétil é de que r → ( 0 ) = 2 j → . Ou seja, como o planeta está na origem do sistema de coordenadas, isso quer dizer que o projétil está a uma distância de 2 do planeta, em outras palavras, ele inicia com uma órbita de raio 2. Como r 0 ≠ r e q , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.

Resposta

A forma geométrica que descreve a trajetória é elíptica

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