Classificação de Trajetórias

Teoria Completa

Existe uma outra utilidade para o cálculo de energia além de somente usar o princípio da conservação.

Seja um sistema que contenha somente um planeta e o Sol. A energia total pode ser calculada da seguinte maneira:

E = E c i n + E g r a v

E = m v 2 2 - G M m r

Outra maneira de expressar a energia ao invés de em função da velocidade e da distância à estrela é em função do momento angular ( L ) e da distância. Se liga:

E = L 2 2 m r 2 - G M m r

Portanto, com algumas informações sobre o sistema conseguimos o valor da energia.

Mas e aí? O que fazer com esse valor?

Podemos relacionar a energia com a trajetória que o planeta está seguindo, saca só:

  • E < 0 – O sistema é ligado, ou seja, ele faz uma trajetória fechada, sendo uma circunferência ou uma elipse.
  • E = 0 – O sistema é não-ligado, ou seja, ele faz uma trajetória aberta, sendo necessariamente uma parábola.
  • E > 0 – O sistema é não-ligado, ou seja, ele faz uma trajetória aberta, sendo necessariamente uma hipérbole.

Os parâmetros das curvas podem ser obtidos com um pouco de conhecimento de geometria analítica e com os seguinte passos:

  • Colocar o Sol na origem do sistema cartesiano;
  • Substituir r por x 2 + y 2 ;
  • Equacionar a relação de modo que fique na forma de uma das cônicas conhecidas.

Normalmente nas provas são pedidas questões conceituais sobre esse assunto mas, mesmo assim, não deixe de praticar.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Considere um projétil de massa m movimentando-se no plano x y de um sistema de coordenadas. A condição inicial do projétil é r → ( 0 ) = 2 j → . Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton G é igual a 1 .

Agora, considere também um planeta de massa M = 20 , com M ≫ m , fixo na origem do sistema de coordenadas.

Sabendo que a energia total do projétil é E = - 2 m e seu momento angular é L = 8 m .Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

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Passo 1

O enunciado nos informa que:

E = - 2 m < 0

Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!

Passo 2

Analisando o potencial efetivo temos:

U e f ( r ) = L 2 2 m r 2 - G M m r

Utilizando o dado do enunciado de que L = 8 m :

U e f r = 8 m 2 2 m r 2 - 20 m r

U e f ( r ) = 64 m 2 2 m r 2 - 20 m r

U e f ( r ) = m 32 r 2 - 20 r

U e f ( r ) = 4 m 8 r 2 - 5 r

O mínimo dessa função ocorre quando a derivada é igual a zero:

d U e f d r r   =   r e q = 0

- 2 × 8 r e q 3 + 5 r e q 2 = 0

1 r e q 3 - 16 + 5 r e q = 0

Isso quer dizer que 1 r e q 3 = 0 ou - 16 + 5 r e q = 0 . Como a primeira é impossível então ficamos com:

- 16 + 5 r e q = 0

r e q = 16 5 = 32 10 = 3,2

Passo 3

O enunciado nos disse que a condição inicial para o projétil é de que r → ( 0 ) = 2 j → . Ou seja, como o planeta está na origem do sistema de coordenadas, isso quer dizer que o projétil está a uma distância de 2 do planeta, em outras palavras, ele inicia com uma órbita de raio 2. Como r 0 ≠ r e q , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.

Resposta

A forma geométrica que descreve a trajetória é elíptica

Exercício Resolvido #2

USP-P3-2014-3

Considere um projétil de massa m movimentando-se no plano x y de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton G é igual a 1 . Expresse seus resultados em função de m onde for necessário.

a ) O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por r → ( t ) = 10 - 4 t i → + 2 j → onde i →   e j → são os versores dos eixos x e y , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.

Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa M = 20 , com M ≫ m , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens b , c e d , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é r → ( 0 ) = 2 j → e v → ( 0 ) = - 4 i → .

b ) Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.

c ) Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.

d ) Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.

e ) O planeta agora é uma esfera de raio R com densidade que varia radialmente de r = 0 a r = R de acordo com

ρ r = 4 M 3 R 2   R - r 2 ,   t a l   q u e   ∫ 0 R ρ r d r = M .

Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de R , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).

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Passo 1

a )

Lembrando que o momento angular pode ser calculado por:

L → = m r → × v →

O vetor r → nós já temos:

r → t = 10 - 4 t i → + 2 j →

E o vetor velocidade nada mais é que a derivada do vetor posição:

v → = d d t 10 - 4 t i → + 2 j →

v → = - 4 i →

Substituindo no momento angular:

L → = m 10 - 4 t i → + 2 j → × - 4 i →

Podemos reescrever como:

L → = m 10 - 4 t i → × - 4 i → + 2 m j → × - 4 i →

Lembrando que no produto vetorial, a multiplicação de vetores paralelos é nula. Logo i → × i → = 0 . Sobrando apenas:

L → = 2 m j → × - 4 i →

L → = - 8 m j → × i →

Pela regra da mão direita:

L → = - 8 m - k →

L → = 8 m k →

Passo 2

b )

Nessas novas condições conseguimos observar que pouca coisa mudou. Segundo o enunciado, o vetor velocidade continua sendo v = - 4 i → e o vetor posição inicial se tornou r 0 = 2 j → , isso nos leva a crer que o vetor posição seja:

r → t = - 4 t i → + 2 j →

Logo, somente a componente na direção i → do vetor r → mudou com relação ao item anterior, e sabendo que esta componente é paralela à velocidade (não contribuindo, portanto, ao momento angular), temos que o momento angular é o mesmo do item anterior.

L → = 8 m k →

A energia total do projétil é:

E = K + E p G

Onde K é a energia cinética 1 2 m v 2 e E p G é a energia potencial gravitacional, que a grandes distâncias é dada por U g = - G M m r . Vamos aplicar ao nosso problema agora:

E = 1 2 m v 0 2 - G M m r 0

Onde v 0 = | v → ( 0 ) | = - 4 e r 0 = | r → ( 0 ) | = 2

E = 1 2 m - 4 2 - 1   .   20   .   m 2

E = 16 m 2 - 20 m 2

E = 8 m - 10 m

E = - 2 m

Passo 3

c )

No item anterior encontramos:

E = - 2 m < 0

Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!

Analisando o potencial efetivo temos:

U e f ( r ) = L 2 2 m r 2 - G M m r

Lembrando que no item anterior, confirmamos que o momento angular continua 8 m .

U e f r = 8 m 2 2 m r 2 - 20 m r

U e f ( r ) = 64 m 2 2 m r 2 - 20 m r

U e f ( r ) = m 32 r 2 - 20 r

U e f ( r ) = 4 m 8 r 2 - 5 r

O mínimo dessa função ocorre quando:

d U e f d r r   =   r e q = 0