Classificação de Trajetórias
Produzido por Ludovic BeghinTeoria
Calculando a energia total de um sistema
Existe uma outra utilidade para o cálculo de energia além de somente usar o princípio da conservação.
Seja um sistema que contenha somente um planeta e o Sol. A energia total pode ser calculada da seguinte maneira:
Outra maneira de expressar a energia ao invés de em função da velocidade e da distância à estrela é em função do momento angular () e da distância. Se liga:
Portanto, com algumas informações sobre o sistema conseguimos o valor da energia.
Mas e aí? O que fazer com esse valor?
Interpretando a Energia de um sistema
Podemos relacionar a energia com a trajetória que o planeta está seguindo, saca só:
- – O sistema é ligado, ou seja, ele faz uma trajetória fechada, sendo uma circunferência ou uma elipse.
- – O sistema é não-ligado, ou seja, ele faz uma trajetória aberta, sendo necessariamente uma parábola.
- – O sistema é não-ligado, ou seja, ele faz uma trajetória aberta, sendo necessariamente uma hipérbole.
Os parâmetros das curvas podem ser obtidos com um pouco de conhecimento de geometria analítica e com os seguinte passos:
- Colocar o Sol na origem do sistema cartesiano;
- Substituir por ;
- Equacionar a relação de modo que fique na forma de uma das cônicas conhecidas.
Normalmente nas provas são pedidas questões conceituais sobre esse assunto mas, mesmo assim, não deixe de praticar.
Interpretando a Energia de um sistema
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Considere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas. A condição inicial do projétil é . Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a .
Agora, considere também um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas.
Sabendo que a energia total do projétil é e seu momento angular é .Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Passo 1
O enunciado nos informa que:
Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!
Passo 2
Analisando o potencial efetivo temos:
Utilizando o dado do enunciado de que :
O mínimo dessa função ocorre quando a derivada é igual a zero:
Isso quer dizer que ou . Como a primeira é impossível então ficamos com:
Passo 3
O enunciado nos disse que a condição inicial para o projétil é de que . Ou seja, como o planeta está na origem do sistema de coordenadas, isso quer dizer que o projétil está a uma distância de 2 do planeta, em outras palavras, ele inicia com uma órbita de raio 2. Como , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
Resposta
A forma geométrica que descreve a trajetória é elíptica
Exercício Resolvido #2
USP-P3-2014-3
Considere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a . Expresse seus resultados em função de onde for necessário.
O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por onde e são os versores dos eixos e , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.
Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens , e , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é e .
Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.
Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.
O planeta agora é uma esfera de raio com densidade que varia radialmente de a de acordo com
Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).
Passo 1
Lembrando que o momento angular pode ser calculado por:
O vetor nós já temos:
E o vetor velocidade nada mais é que a derivada do vetor posição:
Substituindo no momento angular:
Podemos reescrever como:
Lembrando que no produto vetorial, a multiplicação de vetores paralelos é nula. Logo . Sobrando apenas:
Pela regra da mão direita:
Passo 2
Nessas novas condições conseguimos observar que pouca coisa mudou. Segundo o enunciado, o vetor velocidade continua sendo e o vetor posição inicial se tornou , isso nos leva a crer que o vetor posição seja:
Logo, somente a componente na direção do vetor mudou com relação ao item anterior, e sabendo que esta componente é paralela à velocidade (não contribuindo, portanto, ao momento angular), temos que o momento angular é o mesmo do item anterior.
A energia total do projétil é:
Onde é a energia cinética e é a energia potencial gravitacional, que a grandes distâncias é dada por . Vamos aplicar ao nosso problema agora:
Onde e
Passo 3
No item anterior encontramos:
Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!
Analisando o potencial efetivo temos:
Lembrando que no item anterior, confirmamos que o momento angular continua .
O mínimo dessa função ocorre quando:
Como , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
Passo 4
Temos que e são perpendiculares entre si. Em uma órbita elíptica, essa situação ocorre somente nas distâncias e . Como , concluímos que . A origem, onde o planeta está localizado, é um dos pontos focais da elipse.
Passo 5
Na superfície do planeta a energia total do projétil é:
A velocidade de escape é aquela que resulta na anulação da energia potencial gravitacional que puxa o projetil de volta para a terra, ou seja:
Resposta
A órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.