Exercícios Resolvidos de Compensadores digitais

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Enunciado

Dado o sistema realimentado com T = 0,2 s , projete um compensador digital que atenda às especificações:

G z = 0,16 z - 0,67

T s 5 % = 2 s

ζ = 0,5

Passo 1

O primeiro passo para fazer o projeto no plano z é encontrar os polos dominantes no plano s e depois convertê-lo ao plano z .

O polo dominante no plano s terá forma:

s = - ω n ζ ± i ω n 1 - ζ 2

O valor de ζ nós já temos que foi dado como especificação de projeto, ζ = 0,5 . Para achar ω n vamos usar a especificação do tempo de assentamento. Para uma faixa de 5 % a fórmula para o tempo de decaimento é a seguinte:

T s ( 5 % ) = 3 ω n ζ

Substituindo os valores:

2 = 3 0,5 × ω n

ω n = 3 0,5 × 2 = 3

Os polos dominantes no plano s serão portanto:

s = - 1,5 ± 2,6 i

Passo 2

Agora precisamos determinar onde estarão esses polos no plano z atravé das seguintes fórmulas:

z = e - T ω n ζ  

∠ z = T ω n 1 - ζ 2

Portanto, podemos calcular o módulo e o ângulo do polo no plano z :

z = e - 1,5 × 0,2 = e - 0,3 = 0,74

∠ z = 2,6 × 0,2 = 0,52   r a d

Portanto, o polo no plano z em coordenadas angulares será:

z = 0,74 ∠ 0,52

Fazendo a conversão de coordenadas polares para retangulares teremos:

z = 0,64 ± 0,37 i

Passo 3

Vamos representar os polos dominantes e o polo da função de transferência do processo no diagrama abaixo:

O ponto preto indica o polo dominante em 0,64 ± 0,37 i e o “xis” vermelho representa o polo da função de transferência do processo. Agora precisamos encontrar o polo e o zero do compensador. Para isso, podemos simplesmente arbitrar um polo qualquer e então encontrar onde vai estar o zero correspondente.

Como o nosso compensador será de avanço sabemos que o polo tem que estar mais à direita que o zero. Sendo assim, vamos tentar arbitrar o nosso polo um pouco mais à direita do nosso diagrama.

Eu vou escolher 0,85 simplesmente porque eu quero, mas você poderia ter escolhido qualquer valor para o polo. Sendo assim, vamos representar nosso diagrama agora:

O “xis” azul representa o polo do compensador e o círculo azul o zero. O zero do compensador foi colocado em um lugar arbitrário, sendo assim, precisamos determiner qual é o ponto exato do zero considerando que o polo foi colocado em 0,85 .

Passo 4

Para determinar o ponto exato do zero, usaremos a regra dos ângulos que diz que a soma dos ângulos dos polos menos a soma dos ângulos dos zeros deve ser igual a um múltiplo ímpar de 180 ° .

Sendo assim, teremos:

θ 1 + θ 2 - θ 3 = 180 ° ( 2 r + 1 )

Vamos calcular os ângulos θ 1 e θ 2 :

θ 1 = 180 - tan - 1 ⁡ 0,37 0,85 - 0,64   = 118,6 °

θ 2 = 180 - tan - 1 ⁡ 0,37 0,67 - 0,64 = 94,6 °

Sendo assim, podemos determinar θ 3 :

118,6 + 94,6 - θ 3 = 180

θ 3 = 33,2 °

Podemos agora determinar o ponto exato do zero do compensar, já que encontramos o ângulo que ele faz com o polo dominante:

tan ⁡ θ 3 = 0,37 0,64 - b

tan ⁡ 33,2 ° = 0,37 0,64 - b

Isso vais nos dar:

b = 0,07

Portanto, nosso compensador por enquanto está assim:

G c z = K c z - 0,07 z - 0,85  

Falta apenas calcular o ganho.

Passo 5

Para calcular o ganho, usaremos o critério do módulo. Para isso, precisaremos calcular as distâncias entre os polos dominantes e os polos e zeros do sistema:

Precisamos calcular h 1 , h 2 e h 3 :

h 1 = 0,37 2 + 0,85 - 0,64 2 = 0,43

h 2 = 0,37 2 + 0,67 - 0,64 2 = 0,37

h 3 = 0,37 2 + 0,64 - 0 , 07 2 = 0,70

A regra do módulo diz que:

K c × K × h 3 h 1 × h 2 = 1

Sendo K c o ganho do compensador e K o ganho do processo. Sendo assim:

K c = h 1 × h 2 K × h 3

K c = 0,43 × 0,37 0,16 × 0,70 = 1,42

Sendo assim, calculamos finalmente a função de transferência do nosso compensador de avanço:

G c z = 1,42 z - 0,07 z - 0,85

Resposta

G c z = 1,42 z - 0,07 z - 0,85