Exercícios Resolvidos de Compensadores digitais

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Enunciado

Projete um compensador de atraso que faça com que o erro em regime permanente do sistema abaixo seja de 0,1 para uma entrada rampa.

G z = ( z - 0,8 ) ( z - 1 ) ( z - 0 , 2 )

Passo 1

Vamos primeiro descobrir qual o k v que faz com que o sistema produza o erro desejado. Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona o erro com o k v :

e ∞ = 1 k v

Para o erro ser 0 , 1 :

0,1 = 1 k v

k v = 1 0

Passo 2

Agora, com o k v precisamos encontrar a relação entre o polo e zero do compensador usando a fórmula do próprio k v :

k v = lim z → 1 ⁡ ( z - 1 ) G O L z

Onde G O L ( z ) representa a função de transferência em malha aberta que é o produto da função de transferência do processo com a função de transferência do compensador que estamos projetando. Ou seja:

k p = lim z → 1 ⁡ [ z - 1 ] z - a z - b ( z - 0,8 ) ( z - 1 ) ( z - 0,2 )

Obs: Nessa etapa, podemos considerar o ganho do compensador como sendo 1 .

Como o k v deve ser 10 , teremos:

lim z → 1 ⁡ [ z - 1 ] z - a z - b ( z - 0,8 ) ( z - 1 ) ( z - 0,2 ) = 1 0

Fazendo o limite:

1 - a 1 - b 0 , 8 0,2 = 1 0

1 - a 1 - b = 2,5

Passo 3

Agora que já temos a relação entre o polo e o zero do compensador, podemos arbitrar um dos dois e encontrar o outro.

Para isso, geralmente arbitramos o polo e encontramos o zero. O melhor a se fazer é arbitrar um valor para o polo bem próximo de 1 para que o zero não fique muito longe do polo.

Quanto mais próximos o zero e o polo estão, menor é o impacto do compensador na resposta trtansitória do sistema. Dessa forma diminui-se o erro em regime permanente sem alterar ζ e o tempo de acomodação.

Vamos então arbitrar b = 0,99 . Assim teremos:

1 - a 1 - 0,99 = 2,5

1 - a 0,01 = 2,5

a = 0,9 7 5

Dessa forma, a expressão para o compensador será:

G C ( z ) = 1 - 0,9 7 5 1 - 0,99

Como o polo e o zero estão bem próximos, não há necessidade de se calcular um ganho para o compensador uma vez que este será bem próximo de 1 .

Caso esses valores não fossem tão próximos, ou o rigor do projeto fosse maior, seria necessário encontrar os polos dominantes do sistema sem compensação e depois usar a lei dos módulos para encontrar o ganho do compensador.

Resposta

G C ( z ) = 1 - 0,9 7 5 1 - 0,99