Exercícios Resolvidos de Concentradores de Tensões em Torção

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 187 & 191-3.85.

O eixo de seção variável da figura gira a 450   r p m . Sabendo que r = 5,08   m m , determine a potência máxima que pode ser transmitida sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 51,7   M P a .

Utilize o gráfico abaixo para a determinação do coeficiente de concentração de tensão K :

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo gira a uma frequência f = 450   r p m , transmitindo uma potência desconhecida P , de forma a suportar um torque T :

T = P 2 π f

Ele possui um seção maior de diâmetro D = 150   m m e uma seção menor de diâmetro d = 125   m m , e, consequentemente, raio c = d / 2 = 62,5   m m .

Além disso, existe um adoçamento de raio r = 5,08   m m entre essas seções.

Nesse adoçamento, haverá uma concentrações de tensões na peça de tal forma que a tensão de cisalhamento máxima na peça τ m á x vai ser:

τ m á x = K T c J

Onde:

  • K é o coeficiente de concentração de tensão, que deve ser encontrado a partir do gráfico fornecido;
  • & c e J são o raio e o momento polar de inércia da seção de diâmetro menor, uma vez que ela vai ter a razão c / J maior, e, consequentemente, a tensão τ m á x maior;

E o que é que o exercício quer?

Ele quer a potência máxima P que pode ser transmitida pelo eixo de tal forma que a tensão cisalhante máxima na peça τ m á x não ultrapasse a admissível τ a d m = 51,7   M P a :

τ m á x τ a d m

Desenvolvendo a condição acima, é possível isolar P e encontrar seu valor máximo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos pegar a nossa condição de projeto:

τ m á x τ a d m

E desenvolvê-la.

Primeiro, temos que, devido à concentração de tensões, τ m á x = K * T c / J .

Dessa forma, a nossa condição de projeto fica assim:

K T c J τ a d m

Em seguida, podemos aplicar a fórmula do torque T em função da potência P transmitida pelo eixo, deixando a condição assim:

K P 2 π f c J τ a d m

E depois, podemos aplicar a fórmula do momento polar de inércia J para uma seção transversal maciça e circular de raio c , deixando a condição assim:

K P 2 π f c π 2 c 4 τ a d m

Arrumando tudo, temos que:

K P π 2 f c 3 τ a d m

E, isolando a potência P , encontramos que:

P τ a d m π 2 f c 3 K

Agora, antes de podermos calcular essa expressão, temos que conhecer o coeficiente de concentração de tensão K .

Então vamos atrás dele.

Passo 3

Para encontrar o coeficiente K , precisamos recorrer ao seu gráfico:

Do gráfico, vemos que é necessário calcular as razões r / d e D / d .

Calculando essas razões, encontramos que:

r d = 5,08   m m 125   m m = 0,04

&

D d = 150   m m 125   m m = 1,2

Ao tentar inserir essas razões no gráfico, percebemos que não existe uma curva D / d = 1,2 .

Então vamos usar as curvas mais próximas ( D / d = 1,25 e D / d = 1,111 ) e usar para K um valor aproximado entre essas curvas.

Fazendo isso, encontramos que K 1,55 :

Passo 4

Agora, podemos voltar para a expressão que tínhamos:

P τ a d m π 2 f c 3 K

E substituir os valores:

  • τ a d m = 51,7   M P a = 51,7   N / m m 2 ;
  • f = 450   r p m = 450 * 1 / 60   s - 1 ;
  • c = 62,5   m m ;
  • & K = 1,55 ,

Para encontrarmos que:

P 51,7   N / m m 2 π 2 450 1 60 s - 1 62,5   m m 3 1,55

Calculando tudo isso, encontramos que:

P 602781487   N * m m * s - 1

Esse número é muito grande, então podemos reescrevê-lo em k N * m * s - 1 :

P 603   k N * m * s - 1

Agora pensa aí...

Newton ( N ) vezes metro ( m ) é o mesmo que Joule ( J ).

E Joule ( J ) por segundo ( s ) é o mesmo que Watt ( W ).

Então:

k N * m * s - 1 = k N * m s = k J s = k W

Sendo assim, temos que a potência máxima P que o eixo pode transmitir é:

Resposta

603   k W

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