Exercícios Resolvidos de Concentradores de Tensões em Torção

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Enunciado

Sabendo que o eixo de seção variável mostrado na figura deve transmitir 45   k W na velocidade de 2100   r p m , determine o raio r mínimo do adoçamento para que a tensão de cisalhamento admissível de 50   M P a não seja excedida.

Utilize o gráfico abaixo para a determinação do coeficiente de concentração de tensão K :

Passo 1

O que está acontecendo?

O eixo tem uma seção maior de diâmetro D = 60   m m e uma seção menor de diâmetro d = 30   m m , e, consequentemente, raio c = d / 2 = 15   m m .

Entre essas seções, existe um adoçamento de raio r .

Além disso, o eixo transmite uma potência P = 45   k W a uma frequência f = 2100   r p m , resistindo assim a um torque:

T = P 2 π f

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o raio mínimo r de adoçamento para que a tensão de cisalhamento máxima no eixo τ m á x não ultrapasse a admissível τ a d m = 50   M P a :

τ m á x ≤ τ a d m

Sendo que, devido à concentração de tensões, sabemos que essa tensão máxima absoluta τ m á x , a b s vai ser:

τ m á x = K T c J

Onde:

  • K é o coeficiente de concentração de tensões, encontrado a partir de seu gráfico;
  • & c e J são o raio e o momento polar de inércia da seção de diâmetro menor, uma vez que ela vai ter uma razão c / J maior, e, consequentemente, uma tensão τ m á x maior.

E como vamos resolver o exercício?

Vamos primeiro calcular qual é o coeficiente K necessário para que a condição τ m á x ≤ τ a d m seja satisfeita.

Feito isso, vamos buscar no gráfico de K qual é o valor de r correspondente.

Passo 2

Então vamos pegar a nossa condição de projeto:

τ m á x ≤ τ a d m

E desenvolvê-la, com o objetivo de encontrar qual o coeficiente K necessário para satisfazê-la.

Primeiro, fazemos que τ m á x = K * T c / J , devido à concentração de tensões.

Fazendo isso, temos que:

K T c J ≤ τ a d m

Agora, podemos substituir a fórmula do momento polar de inércia J para uma seção circular maciça de raio c & a fórmula do torque T :

J = π 2 c 4

&

T = P 2 π f

Fazendo isso, temos que:

K P 2 π f c π 2 c 4 ≤ τ a d m

Arrumando tudo, isso fica assim:

K P π 2 f c 3 ≤ τ a d m

E isolando K , encontramos que:

K ≤ τ a d m π 2 f c 3 P

Agora, substituindo:

  • τ a d m = 50   M P a = 50   N / m m 2 ;
  • f = 2100   r p m = 2100 * 1 / 60   s - 1 ;
  • c = 15   m m ;
  • & P = 45   k W = 45000   N * m * s - 1 = 45 * 10 6   N * m m * s - 1 ,

Encontramos que:

K ≤ 50   N / m m 2 π 2 2100 1 60 s - 1 15   m m 3 45 * 10 6   N * m m * s - 1

Como dessa forma, todas as unidades vão se cortar, isso fica assim:

K ≤ 50 π 2 * 2100 1 60 * 15 45 * 10 6

Calculando tudo, isso dá aproximadamente:

K ≤ 1,3

Passo 3

Agora, vamos observar o nosso gráfico para K :

Primeiro, vemos que precisamos calcular a razão D / d para identificarmos qual curva do gráfico devemos usar.

Fazendo isso, temos:

D d = 60   m m 30   m m = 2

Destacando a curva D / d = 2 e traçando uma linha em K = 1,3 , vemos que uma estimativa para a menor razão r / d que satisfaz a condição K ≤ 1,3 é r / d = 0,175 :

Passo 4

Usando a estimativa do passo anterior, temos que:

r d ≅ 0,175

Isolando r , isso significa que:

r ≅ 0,175   d

Substituindo d = 30   m m , encontramos que:

r ≅ 0,175   ( 30   m m )

Calculando isso, encontramos nossa resposta final:

r ≅ 5,25   m m

Observação: Como esse resultado final é baseado em aproximações, é de se esperar que diferentes alunos obtenham resultados diferentes.

Valores como r ≅ 5   m m ou ≅ 5,5   m m também são boas aproximações!

Resposta

r ≅ 5,25

Por se tratar de uma aproximação, essa não é a única resposta possível, sendo respostas como r ≅ 5   m m ou r ≅ 5,5   m m também adequadas.

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