Exercícios Resolvidos de Coordenadas Cilíndricas

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Enunciado

Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada:

  1. x 2 + y 2 + z 2 = 9 z
  2. x 2 + y 2 = 9

Passo 1

Vamos colocar em prática o que aprendemos sobre coordenadas cilíndricas na teoria!! Como queremos encontrar as equações em coordenadas cilíndricas vamos utilizar as seguintes relações:

x = r . cos ⁡ θ   ( 1 )

y = r . sin ⁡ θ     ( 2 )

z = z       3

x 2 + y 2 = r 2   ( 4 )

Bora, achar as equações!!

Passo 2

  1. x 2 + y 2 + z 2 = 9 z
  2. Pela relação (3), o z das coordenadas cartesianas é o mesmo das coordenadas cilíndricas, então não vamos mexer nele.

    Mas vamos precisar trocar o x 2     e o y 2 .

    Elevando as expressões (1) e (2) ao quadrado:

    x 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ

    y 2 = r 2 s e n 2 θ  

    Substituindo na expressão dada:

    r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ + z 2 = 9 z

    r 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + z 2 = 9 z

    Opa, mas sabemos que:

    cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

    Então temos:

    r 2 + z 2 = 9 z

    r 2 + z - 9 2 2 = 81 4

    Essa foi rápida!! Uhuull!!

    Vamos para a próxima!!

    Passo 3

  3. x 2 + y 2 = 9

Substituindo a relação ( 4 ) , temos:

r 2 = 9

De curiosidade, essa é a expressão de um círculo de centro na origem e raio 3 .

Resposta

a )   r 2 + z - 9 2 2 = 81 4

b )   r 2 = 9